高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第11節(jié) 第3課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題學(xué)案 理 北師大版

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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第11節(jié) 第3課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題學(xué)案 理 北師大版_第1頁
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1、 第3課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題(對應(yīng)學(xué)生用書第40頁)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的有關(guān)問題角度1證明不等式(20xx·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a<0時,證明f(x)2.解(1)f(x)的定義域為(0,),f(x)2ax2a1.若a0,則當(dāng)x(0,)時,f(x)>0,故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增若a<0,則當(dāng)x時,f(x)>0;當(dāng)x時,f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明:由(1)知,當(dāng)a<0時,f(x)在x處取得最大值,最大值為fln1.所以f(x)2等價于ln12,

2、即ln10.設(shè)g(x)ln xx1,則g(x)1.當(dāng)x(0,1)時,g(x)>0;當(dāng)x(1,)時,g(x)<0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減故當(dāng)x1時,g(x)取得最大值,最大值為g(1)0.所以當(dāng)x>0時,g(x)0.從而當(dāng)a<0時,ln10,即f(x)2.角度2解決不等式恒(能)成立問題(20xx·廣州綜合測試(二)已知函數(shù)f(x)axb在點(e,f(e)處的切線方程為yax2e.(1)求實數(shù)b的值;(2)若存在xe,e2,滿足f(x)e,求實數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號:79140086】解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,1)

3、(1,)因為f(x)axb,所以f(x)a.所以函數(shù)f(x)在點(e,f(e)處的切線方程為y(eaeb)a(xe),即yaxeb.已知函數(shù)f(x)在點(e,f(e)處的切線方程為yax2e,比較可得be.所以實數(shù)b的值為e.(2)f(x)e,即axee,所以問題轉(zhuǎn)化為a在e,e2上有解令h(x)(xe,e2),則h(x).令p(x)ln x2,所以當(dāng)xe,e2時,有p(x)0.所以函數(shù)p(x)在區(qū)間e,e2上單調(diào)遞減所以p(x)p(e)ln e20.所以h(x)0,即h(x)在區(qū)間e,e2上單調(diào)遞減所以h(x)h(e2).所以實數(shù)a的取值范圍為.規(guī)律方法1.利用導(dǎo)數(shù)證明含“x”不等式方法,證

4、明:f(x)g(x).法一:移項,f(x)g(x)0,構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x),轉(zhuǎn)化證明F(x)min0,利用導(dǎo)數(shù)研究F(x)單調(diào)性,用上定義域的端點值.法二:轉(zhuǎn)化證明:f(x)ming(x)max.法三:先對所求證不等式進(jìn)行變形,分組或整合,再用法一或法二.2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略(1)首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(2)也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.3.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系,即f(x)g(a)對于xD恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在xD,使

5、得f(x)g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值.應(yīng)特別關(guān)注等號是否成立問題.跟蹤訓(xùn)練(20xx·東北三省三校二聯(lián))已知函數(shù)f(x)sin x.(1)當(dāng)x0時,證明:f(x)1;(2)若當(dāng)x時,f(x)ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解(1)證明:設(shè)g(x)f(x)cos x(x0),則g(x)sin xx(x0)令M(x)g(x)(x0),則M(x)1cos x0,g(x)在(0,)上單調(diào)遞增g(x)g(0)0.g(x)在(0,)上單調(diào)遞增g(x)g(0)0.f(x)1成立(2)當(dāng)x時,f(x)axsin xtan xax.設(shè)h(x)sin xtan xax,則h(x)cos xa.令t

6、cos x,由0x,得0t1.設(shè)k(t)t(0t1),則k(t)10.k(t)在(0,1)上單調(diào)遞減k(t)k(1)2.當(dāng)a2時,h(x)0,h(x)在上單調(diào)遞增h(x)h(0)0,即原不等式成立當(dāng)a2時,關(guān)于t的方程ta在(0,1)僅有一根,設(shè)根為t0,設(shè)cos mt0,0m,則存在唯一m,使得cos mt0.當(dāng)x(0,m)時,t0cos x1h(x)0,h(x)在(0,m)上單調(diào)遞減h(x)h(0)0,這與條件矛盾,a2時不成立綜上所述,a2,即實數(shù)a的取值范圍為(,2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點、方程的根、極值個數(shù)問題(20xx·北京高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲

7、線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程;(2)設(shè)ab4,若函數(shù)f(x)有三個不同零點,求c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb.因為f(0)c,f(0)b,所以曲線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當(dāng)ab4時,f(x)x34x24xc,所以f(x)3x28x4.令f(x)0,得3x28x40,解得x2或x.當(dāng)x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下:x(,2)2f(x)00f(x)cc所以,當(dāng)c0且c0,存在x1(4,2),x2,x3,使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c時,函數(shù)f(x)x34x2

8、4xc有三個不同零點規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法(1)研究方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等.(2)根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖像的走勢規(guī)律,標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置.(3)可以通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).跟蹤訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)kln x,k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:若f(x)存在零點,則f(x)在區(qū)間(1,上僅有一個零點. 【導(dǎo)學(xué)號:79140087】解(1)由f(x)kln x(k0),得x0且f(x)x.由f(x)0,解得x(負(fù)值舍去)f(x)與f(x)在區(qū)間(0,)上的變化情況如下表:

9、x(0,)(,)f(x)0f(x)所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,),單調(diào)遞增區(qū)間是(,)f(x)在x處取得極小值f()無極大值(2)證明:由(1)知,f(x)在區(qū)間(0,)上的最小值為f().因為f(x)存在零點,所以0,從而ke,當(dāng)ke時,f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減,且f()0,所以x是f(x)在區(qū)間(1,上的唯一零點當(dāng)ke時,f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減,且f(1)0,f()0,所以f(x)在區(qū)間(1,上僅有一個零點綜上可知,若f(x)存在零點,則f(x)在區(qū)間(1,上僅有一個零點利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與

10、銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2,其中3<x<6,a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解(1)因為x5時,y11,所以1011,a2.(2)由(1)可知,該商品每日的銷售量為y10(x6)2,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.從而,f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6),于是,當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(3,4)4(4

11、,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得,x4時,函數(shù)f(x)取得極大值,也是最大值,所以,當(dāng)x4時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.即當(dāng)銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)設(shè)自變量、因變量,建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x),并確定其定義域.(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),解方程f(x)0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f(x)0的點的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實際問題作答.(5)注意f(x)在開區(qū)間(a,b)與在閉區(qū)間a,b上求最值的區(qū)別,f(x)在開區(qū)間(a,b)上只有一個極值點,則該點即為最值點.跟蹤訓(xùn)練某品牌電動汽車的耗電量y與速度x之間有關(guān)系yx3x240x(x0),為使耗電量最小,則速度應(yīng)定為_40由yx239x400,得x1或x40,當(dāng)0x40時,y0;x40時,y0.所以當(dāng)x40時,y有最小值

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