高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學(xué)案 理 北師大版

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1、 第六節(jié)拋物線考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第141頁)基礎(chǔ)知識(shí)填充1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn),直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y0x0焦點(diǎn)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xx

2、yy范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR焦半徑(其中P(x0,y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0知識(shí)拓展已知y22px,過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),l的傾斜角為,如圖8­6­1,則圖8­6­1(1)|AB|x1x2p;(2)x1x2,y1y2p2;(3);(4)SAOB;(5)|CD|2p,即通徑,通徑是過拋物線焦點(diǎn)弦中最短的弦基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2

3、)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是x.()(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形()(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1y2p2,弦長|AB|x1x2p.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2,x24y,準(zhǔn)線方程為y1.3(教材改編)若拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()ABCD0BM到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離,又準(zhǔn)線方程為y,設(shè)M(x,y),

4、則y1,y.4頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸,并且經(jīng)過點(diǎn)P(4,2)的拋物線方程是_x28y設(shè)拋物線的方程為x2my,將點(diǎn)P(4,2)代入x2my,得m8,所以拋物線方程是x28y.5(20xx·浙江高考)若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是_9設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x1的距離為x1,由拋物線的定義知x110,x9,點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第142頁)拋物線的定義及應(yīng)用(1)已知拋物線C:y28x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若4 ,則|QF|()ABC3D2(2)(20xx·全國卷)已知F是拋物線

5、C:y28x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|_.(1)C(2)6(1)4 ,|4|,.如圖,過Q作QQl,垂足為Q,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A,則|AF|4,|QQ|3.根據(jù)拋物線定義可知|QF|QQ|3.(2)如圖,不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)P,PMOF.由題意知,F(xiàn)(2,0),|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn),PMOF,|MP|FO|1.又|BP|AO|2,|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3,故|FN|2|MF|6.規(guī)律方法應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)由拋

6、物線定義,把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化.(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x,y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x|或|PF|y|.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·廣東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q是圓(x3)2(y1)21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn),則|PQ|PN|的最小值為()A3B4C5 D1(2)動(dòng)圓過點(diǎn)(1,0),且與直線x1相切,則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140289】(1)A(2)y24x(1)由拋物線方程y24x,可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),又N(1,0),所以N與F重合過圓(x3)2(y1)21的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂

7、線MH,交圓于Q,交拋物線于P,則|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.(2)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x,y),則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y24x.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)(20xx·全國卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn)已知|AB|4,|DE|2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2B4C6D8(1)D(2)B(1)將yax2化為x2y.當(dāng)a&g

8、t;0時(shí),準(zhǔn)線y,則36,a.當(dāng)a<0時(shí),準(zhǔn)線y,則6,a.拋物線方程為x212y或x236y.(2)設(shè)拋物線的方程為y22px(p0),圓的方程為x2y2r2.|AB|4,|DE|2,拋物線的準(zhǔn)線方程為x,不妨設(shè)A,D.點(diǎn)A,D在圓x2y2r2上,85,p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.規(guī)律方法1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法,因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需一個(gè)條件確定p值即可.(2)拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時(shí),需先定位,再定量.2.研究拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程,必須把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程,正確的求出p.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx&

9、#183;河南中原名校聯(lián)考)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為拋物線上一點(diǎn),且|MF|4|OF|,MFO的面積為4,則拋物線的方程為 ()Ay26xBy28xCy216xDy2(2)若拋物線y22x上一點(diǎn)M到它的焦點(diǎn)F的距離為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則MFO的面積為()A BC D(1)B(2)B(1)設(shè)M(x,y),因?yàn)閨OF|,|MF|4|OF|,所以|MF|2p,由拋物線定義知x2p,所以xp,所以y±p.又MFO的面積為4,所以××p4,解得p4(p4舍去)所以拋物線的方程為y28x.(2)由題意知,拋物線準(zhǔn)線方程為x.設(shè)M(a,b),

10、由拋物線的定義可知,點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為,所以a1,代入拋物線方程y22x,解得b±,所以SMFO××.直線與拋物線的位置關(guān)系角度1直線與拋物線的交點(diǎn)問題(20xx·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:yt(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y22px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長交C于點(diǎn)H.(1)求;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說明理由解(1)如圖,由已知得M(0,t),P.又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故N,故直線ON的方程為yx,將其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10,x2.因此H.所以N

11、為OH的中點(diǎn),即2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)理由如下:直線MH的方程為ytx,即x(yt)代入y22px得y24ty4t20,解得y1y22t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外,直線MH與C沒有其他公共點(diǎn)角度2與拋物線弦長或中點(diǎn)有關(guān)的問題(20xx·北京高考)已知拋物線C:y22px過點(diǎn)P(1,1)過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn)(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn)解(1)由拋物線C:y22px過點(diǎn)P(1,1),得p.所以拋物線C的方程為y

12、2x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x.(2)證明:由題意,設(shè)直線l的方程為ykx(k0),l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2)由得4k2x2(4k4)x10,則x1x2,x1x2.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為yx,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,x1)直線ON的方程為yx,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)閥12x10,所以y12x1,故A為線段BM的中點(diǎn)規(guī)律方法解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的三種常用方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式

13、|AB|x1x2p,若不過焦點(diǎn),則必須用弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、弦中點(diǎn)等相關(guān)問題時(shí),一般采用“設(shè)而不求,整體代入”的解法.提醒:涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.跟蹤訓(xùn)練已知拋物線C:y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1:yx的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程;(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP|PB|,求FAB的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140290】解(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8,8),(8)22p×8,2p8,拋物線方程為y28x.(2)直線l2與l1垂直,故可設(shè)直線l2:xym,A(x1,y1),B(x2,y2),且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.由得y28y8m0,6432m>0,m>2.y1y28,y1y28m,x1x2m2.由題意可知OAOB,即x1x2y1y2m28m0,m8或m0(舍),直線l2:xy8,M(8,0)故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.

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