高中數(shù)學(xué)精講精練新人教A版第04章 平面向量與復(fù)數(shù)

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.520xx高中數(shù)學(xué)精講精練 第四章 平面向量與復(fù)數(shù)【知識圖解】.平面向量知識結(jié)構(gòu)表向量的加、減法向量的概念向量向量的運算兩個向量垂直的充要條件件件兩個向量平行的充要條件件件向量的數(shù)量積實數(shù)與向量的積向量的運用.復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)表數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的運算數(shù)系的擴充 【方法點撥】由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識內(nèi)容的媒介。所以，向量成為了“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”的很好載體。從高考新課程卷來看，對向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、

2、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，在知識交匯點處命題，既是當(dāng)今高考的熱點，又是重點。復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識，又要注意平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，站在新的高度來認識和理解向量。1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問題時注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2. 平面向量基本定理是處理向量問題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合.3. 向量的坐標(biāo)表示實際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把

3、幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法.第1課向量的概念及基本運算【考點導(dǎo)讀】1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義.3. 了解平面向量基本定理及其意義.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.出下列命題：若，則；若A、B、C、D是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；若，則；的充要條件是且；若，則。其中，正確命題材的序號是2. 化簡得 3.在四邊形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為梯形OAPQBab第4題4.如圖

4、，設(shè)點P、Q是線段AB的三等分點，若a，b，則， (用a、b表示)【范例導(dǎo)析】 D C E FA B例1 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F，求證：.分析:構(gòu)造三角形,利用向量的三角形法則證明.證明：如圖，連接EB和EC ， 例1 由和可得， （1） 由和可得， （2）（1）+（2）得， （3）E、F分別為AD和BC的中點，代入（3）式得，點撥:運用向量加減法解決幾何問題時,需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形.例2.已知不共線，,求證：A,P,B三點共線的充要條件是分析：證明三點共線可以通過向量共線來證明.解：先證必要性：若A,P,B三點共線，則存在實數(shù)，使得,即,，再證充

5、分性：若則=,與共線，A,P,B三點共線. 點撥:向量共線定理是向量知識中的一個基本定理,通?？梢宰C明三點共線、直線平行等問題.【反饋練習(xí)】1已知向量a和b反向，則下列等式成立的是（C）A. |a|b|=|ab| B. |a|b|=|a+b| C.|a|b|=|ab| D. |a|b|=|a+b|2.設(shè)四邊形ABCD中，有則這個四邊形是（C）A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形3.設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：， ， 。解析：原式= ；原式= ；原式= 。4.設(shè)為未知向量， 、為已知向量，滿足方程2-(5+3-4)+-3=0，則=（用、表示）5.在四面體O-ABC

6、中，為BC的中點，E為AD的中點，則=（用a，b，c表示）6如圖平行四邊形OADB的對角線OD,AB相交于點C，線段BC上有一點M滿足BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CD3CN,設(shè)第6題解： . 第2課向量的數(shù)量積【考點導(dǎo)讀】1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義.2. 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律.3. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式.4. 能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長度的問題.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么2.在直角坐標(biāo)系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，則的可能值個數(shù)為2個3. 若,，與的夾角為，若，則的值為4.若，且，則向量與

7、的夾角為 120【范例導(dǎo)析】例1.已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角的余弦值。分析:利用及求解.解：由題意，且與的夾角為，所以，同理可得 而，設(shè)為與的夾角，則 點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。例2.已知平面上三個向量、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120，（1）求證：；（2）若，求的取值范圍.分析:問題（1）通過證明證明,問題（2）可以利用解：（1） ，且、之間的夾角均為120， （2） ，即 也就是 ， 所以 或解:對于有關(guān)向量的長度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運用平面向量的數(shù)量積解決.例3.如圖，在直角ABC中，已知，若長為的線段以點為中點，問的夾角取何

8、值時的值最大？并求出這個最大值分析:本題涉及向量較多,可通過向量的加減法則得,再結(jié)合直角三角形和各線段長度特征法解決問題解：例3 點撥:運用向量的方法解決幾何問題,充分體現(xiàn)了向量的工具性,對于大量幾何問題,不僅可以用向量語言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的向量運算.【反饋練習(xí)】第2題1.已知向量滿足則與的夾角為 2.如圖，在四邊形ABCD中，則的值為43.若向量滿足,的夾角為60，則=4.若向量,則5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求： ab ；(2ab) (a+3b)解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a

9、|2+2ab+|b|2，（2）（2ab）（a+3b）=2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab3|b|2=242+5（10）352=93. 6.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.解：且a+3b與7a-5b垂直，a4b與7a2b垂直，（a+3b）（7a-5b）=0，（a4b）（7a2b）=0 7a216 ab15 b2=0，7a230 ab8 b2=0，b2=2 ab，|a|=|b| 第3課向量的坐標(biāo)運算【考點導(dǎo)讀】1. 掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.2. 會用坐標(biāo)表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運算.3.掌握平面向量平行的充要條件的坐

10、標(biāo)表示,并利用它解決向量平行的有關(guān)問題.【基礎(chǔ)練習(xí)】1若=，=，則=2平面向量中，若，=1，且，則向量=3.已知向量，且A、B、C三點共線，則k=4.已知平面向量，且，則1【范例導(dǎo)析】例1.平面內(nèi)給定三個向量，回答下列問題：（1）求滿足的實數(shù)m,n；（2）若，求實數(shù)k；（3）若滿足，且，求分析:本題主要考察向量及向量模的坐標(biāo)表示和向量共線的充要條件.解：（1）由題意得所以，得（2）（3）設(shè)，則由題意得得或點撥:根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解。例2.已知ABC的頂點分別為A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC邊上的高為AD，求及點D的坐標(biāo)、

11、分析:注意向量坐標(biāo)法的應(yīng)用,及平行、垂直的充要條件.解：設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y)AD是邊BC上的高，ADBC，又C、B、D三點共線，又=(x2,y1), =(6,3)=(x3,y2)例2解方程組，得x=,y=點D的坐標(biāo)為(，)，的坐標(biāo)為(，)點撥:在解題中要注意綜合運用向量的各種運算解決問題.例3已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。分析:利用向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.解：（1），。（2）（1） 當(dāng)時，（2） 當(dāng)時，（3） 當(dāng)時，綜上所述：。點撥:注意運用不同章節(jié)知識綜合處理問題,對于求二次函數(shù)得分最值問題,注意分類討論.【反饋練習(xí)】1已知向量，則與 （A）A垂直 B

12、不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2.與向量a=b=的夾解相等，且模為1的向量是 3.已知向量且則向量等于4.已知向量1205.若，試判斷則ABC的形狀_直角三角形_6.已知向量，向量，則的最大值是 4 7.若是非零向量且滿足， ，則與的夾角是8.已知： 、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 =（1，2）（1）若|，且，求的坐標(biāo)；（2）若|=且與垂直，求與的夾角.解：（1）設(shè)，由和可得： 或 ，或 （2） 即 ， 所以 . 9.已知點是且試用.解：以O(shè)為原點，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.由OA=2，所以，第9題易求，設(shè).第4課 向量綜合應(yīng)用【考點導(dǎo)讀】1. 能綜合運用

13、所學(xué)向量知識及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決向量知識內(nèi)部綜合問題和與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識的綜合問題.2. 能從實際問題中提煉概括數(shù)學(xué)模型,了解向量知識的實際應(yīng)用.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.已知a（5，4），b（3，2），則與2a3b平行的單位向量為2.已知1，1，a與b的夾角為60，x2ab,y3ba，則x與y的夾角的余弦值為【范例導(dǎo)析】例1.已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在實數(shù)k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，試求函數(shù)的關(guān)系式kf（t）；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間。分析:利用向量知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.解:（1）法一：由題意知x(,),

14、y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0。整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t2,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.點撥:第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運算分別求得兩個向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運

15、算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數(shù)的極值運用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用。例2.已知兩個力（單位：牛）與的夾角為，其中，某質(zhì)點在這兩個力的共同作用下，由點移動到點（單位：米）（1） 求；（2） 求與的合力對質(zhì)點所做的功分析:理解向量及向量數(shù)量積的物理意義,將物理中的求力和功的問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決.點撥:學(xué)習(xí)向量要了解向量的實際背景,并能用向量的知識解決方一些簡單的實際問題.【反饋練習(xí)】1.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A(3, 1)，B(1, 3)， 若點C滿足，其中，R且+=1，則點C的軌跡方程為x2y5=02.已知a,b是非零向量且滿足（a2b）a，（

16、b2a）b，則a與b的夾角是 第5題3. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|+|=|-|,其中O為原點,則實數(shù)a的值為2或-24.已知向量a=()，向量b=()，則|2ab|的最大值是 4 5如圖， ，（1）若，求x與y間的關(guān)系；（2）在（1）的條件下，若有，求x,y的值及四邊形ABCD的面積.解（1）又 （2）由，得（x2）(6x)(y3)(y1)0,即x2y24x2y150由，得或第5課復(fù)數(shù)的概念和運算【考點導(dǎo)讀】1.了解數(shù)系的擴充的基本思想,了解引入復(fù)數(shù)的必要性.2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.設(shè)、，若為實數(shù)，則2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)

17、數(shù)是3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1i)2對應(yīng)的點位于第二象限4.若復(fù)數(shù)滿足方程，則【范例導(dǎo)析】例 .m取何實數(shù)時，復(fù)數(shù)（1）是實數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？分析：本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)由于所給復(fù)數(shù)z已寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即，所以只需按題目要求，對實部和虛部分別進行處理，就極易解決此題解：（1）當(dāng)即 時，z是實數(shù)（2）當(dāng)即 當(dāng)且時，z是虛數(shù)（3）當(dāng)即當(dāng)或時，z是純虛數(shù)點撥：研究一個復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時，首先要保證這個復(fù)數(shù)的實部、虛部是有意義的，這是一個前提條件，學(xué)生易忽略這一點如本題易忽略分母不能為0的條件，丟掉，導(dǎo)致解答出錯【反饋練習(xí)】1.如果復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)2.已知復(fù)數(shù)z滿足（3i）z3i，則z 3.若復(fù)數(shù)Z=，則Z+Z+1+i的值為04.設(shè)、為實數(shù)，且，則+=4.