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1、柳暗花明又一法圓的切線在物理解題中應(yīng)用一、 問題提出高考第一輪第一章力復(fù)習(xí)時，我做到一個練習(xí)題，它費(fèi)了我好些時間思考后才找到解題思路，得以求解。題目是這樣的：一個重為G的物體被懸掛后，再對物體施加一個大小一定的作用力FFG，使物體在某一位置重新獲得平衡，如圖所示，若不計(jì)懸線質(zhì)量，求懸線與豎直方向的最大夾角?我通過對題意的分析明確以下幾點(diǎn)：力F大小已知，方向不確定，是一個變力；懸線與豎直方向夾角未知（即懸線拉力T方向未知）；物體受到的力G、T、F合力為零。從上述分析，無法應(yīng)用平行四邊形定則畫出力G、T、F構(gòu)成的平行四邊形或三角形。此時，我覺得：山窮水復(fù)疑無路。二、問題探索過程我先畫出重力G和T、
2、F的合力G，如圖1所示，分析F的特點(diǎn)，以重心O為圓心，F(xiàn)的大小為半徑畫圓，此時，就有“柳暗花明又一村”的感覺。如圖2所示，連接G的端點(diǎn)E與圓上任意一點(diǎn)，與圓O相切于A，相交于B。可知，切線AE與豎直方向的夾角最大，設(shè)最大夾角為，得：，則。解出此題后，我思索著：數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法解物理題也是物理解題的基本方法之一，運(yùn)用數(shù)學(xué)圖形與物理矢量的之間關(guān)系，畫出相應(yīng)的圖象，可能會使物理題得以巧解。下面舉例說明圓的切線在物理解題中應(yīng)用。三、問題延伸1、應(yīng)用圓的切線求解最值問題圓的切線與圓的位置關(guān)系是有且僅有一個交點(diǎn)。如果物理量的變化可以用圓描述或者物體的運(yùn)動軌跡是圓，求相關(guān)的最值問題，我們
3、可以考慮應(yīng)用圓的切線解題?！纠?】如圖所示，有一工廠車間需要在安全隔離板AB的下方安裝一個光滑斜槽，將AB上面的原料沿斜槽由靜止開始送入水平地面上的加工入口C，欲使原料從送料口沿光滑的斜槽以最短的時間滑落到加工入口C，斜槽的安裝位置應(yīng)該：A 過C點(diǎn)作豎直線CD，沿CD方向安裝斜槽B 過C點(diǎn)向AB作垂線段CE，沿CE方向安裝斜槽C 考慮路程和速度因素，應(yīng)在CD和CE之間某一適當(dāng)位置安裝斜槽D 上述三種方法原料滑落到加工入口C點(diǎn)所用的時間相等解析：由題意可知，滑落到C點(diǎn)的時間，構(gòu)建一個等時圓O（圓上各點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時間相等），與水平地面相切于C點(diǎn)， 圓上的任意一點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)的時間相等，若過B點(diǎn)作O的
4、切線AB與O相切于F，由圖可知，直線 AB上的其它任意點(diǎn)運(yùn)動到C的時間都大于沿FC運(yùn)動的時間，而且F點(diǎn)在D、E之間，所以，可得出沿FC方向安裝斜槽，可以使原料以最短的時間落到加工入口C。故選C。2、應(yīng)用圓的切線求解矢量問題 物理題目中涉及許多矢量問題，這些物理量在題目中如果大小不變，方向改變。我們可以通過畫圓找出矢量的變化規(guī)律，作圓的切線找到正確的解題思路?！纠?】某人乘船橫渡一條河，船在靜水中的速度及水速一定，此人過河最短時間為T1，若船速小于水速，此船用最短的位移過河，則需時間T2，則船速與水速之比為 。解析：如圖1所示，設(shè)河岸寬為d，船在靜水中航行的速度為v1，當(dāng)船垂直于對岸方向航行時，
5、時間最短為T1，則，以水的速度v2的端點(diǎn)C為圓心，v1的大小為半徑畫圓，如圖2所示，過點(diǎn)O作圓的切線OB與圓相切于點(diǎn)D，可知，船沿OB方向航行位移最短。因?yàn)镺CDBOA，則：整理得：所以，=【例3】如圖所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場中，場強(qiáng)大小為E，方向一定，在圓周平面內(nèi)，將一帶正電q的小球從a點(diǎn)以相同的動能拋出，拋出方向不同時，小球會經(jīng)過圓上不同的點(diǎn)，在這些所有的點(diǎn)中，到達(dá)c點(diǎn)時小球的動能最大。已知cab30，若不計(jì)重力和空氣阻力，求電場方向與ac間的夾角為多大？ 解析：由于不計(jì)重力和空氣阻力，帶電小球自點(diǎn)拋出后，僅受電場力作用，則小球的動能變化等于電場力做功，即Ek=
6、W=Uq 。要使到達(dá)c點(diǎn)動能最大，電場力做正功且a、c兩點(diǎn)間的電勢差U最大。若過點(diǎn)C畫任意一條直線MN，且直線上各點(diǎn)的電勢相等，如圖1，那么只有當(dāng)直線MN與圓相切時，a、c兩點(diǎn)間的電勢差才最大。則過c點(diǎn)作該圓的切線PQ，相切于點(diǎn)c，如圖所示，過a點(diǎn)作直線PQ的垂線交PQ于d，ad方向即為所求的電場方向。由幾何關(guān)系可知，cad=30，即夾角=30。 3、應(yīng)用圓的切線求解磁場問題 帶電粒子（重力不計(jì)）垂直射入勻強(qiáng)磁場中，它將在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動，受到向心力的方向與速度方向垂直，而且速度方向是圓上該點(diǎn)的切線方向。如果畫出運(yùn)動軌跡作出圓的切線，也許會使題目迎刃而解?！纠?】一勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂
7、直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O(shè)為圓心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動，初速度為v，方向沿x軸正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時速度方向與y軸的夾角為30，P到O的距離為L，如圖所示。不計(jì)重力的影響。求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R。解析：帶電粒子在磁場中受到洛侖茲力力作用做勻速圓周運(yùn)動。設(shè)其半徑為，則圖1由于v沿x軸正方向，圓心必定在y軸上，設(shè)圓心為O1，則OO1=r。如圖1所示，以O(shè)1為圓心，r為半徑畫圓，可知粒子沿弧OA運(yùn)動并從A點(diǎn)射出磁場，出磁場后沿直線AP作勻速直線運(yùn)動，則AP與圓O1相切于點(diǎn)A，連接OA，OA即為圓形磁場區(qū)域的半徑R。延長PA交x軸于Q。由圖中幾何關(guān)系得：L=3r，則，將代入，得由幾何關(guān)系可知，OQ=R因?yàn)镻AO1POQ，得所以，。四、問題總結(jié)1、如果題目中出現(xiàn)某一矢量（如力F、速度V、電場強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B等物理量）大小已知，方向不確定，則可以先確定圓心畫出一個矢量圓，然后結(jié)合矢量合成方法即平行四邊形定則或三角形定則，尋找相應(yīng)的規(guī)律，通過畫圓的切線，找到解題的突破口，使題目得以巧解。2、在圓周運(yùn)動中速度方向是曲線上該點(diǎn)的切線方向，我們可以通過畫圓及圓的切線，來尋求解題思路。參考資料：任志鴻主編高中總復(fù)習(xí)全優(yōu)設(shè)計(jì)物理 南方出版社2005年5月
高中物理論文：柳暗花明又一法——圓的切線在物理解題中應(yīng)用
