高中物理論文：柳暗花明又一法——圓的切線在物理解題中應用

柳暗花明又一法圓的切線在物理解題中應用一、 問題提出高考第一輪第一章力復習時，我做到一個練習題，它費了我好些時間思考后才找到解題思路，得以求解。題目是這樣的：一個重為G的物體被懸掛后，再對物體施加一個大小一定的作用力FFG，使物體在某一位置重新獲得平衡，如圖所示，若不計懸線質量，求懸線與豎直方向的最大夾角?我通過對題意的分析明確以下幾點：力F大小已知，方向不確定，是一個變力；懸線與豎直方向夾角未知（即懸線拉力T方向未知）；物體受到的力G、T、F合力為零。從上述分析，無法應用平行四邊形定則畫出力G、T、F構成的平行四邊形或三角形。此時，我覺得：山窮水復疑無路。二、問題探索過程我先畫出重力G和T、F的合力G，如圖1所示，分析F的特點，以重心O為圓心，F(xiàn)的大小為半徑畫圓，此時，就有“柳暗花明又一村”的感覺。如圖2所示，連接G的端點E與圓上任意一點，與圓O相切于A，相交于B?？芍芯€AE與豎直方向的夾角最大，設最大夾角為，得：，則。解出此題后，我思索著：數(shù)學是學習物理的基礎，應用數(shù)學的方法解物理題也是物理解題的基本方法之一，運用數(shù)學圖形與物理矢量的之間關系，畫出相應的圖象，可能會使物理題得以巧解。下面舉例說明圓的切線在物理解題中應用。三、問題延伸1、應用圓的切線求解最值問題圓的切線與圓的位置關系是有且僅有一個交點。如果物理量的變化可以用圓描述或者物體的運動軌跡是圓，求相關的最值問題，我們可以考慮應用圓的切線解題?！纠?】如圖所示，有一工廠車間需要在安全隔離板AB的下方安裝一個光滑斜槽，將AB上面的原料沿斜槽由靜止開始送入水平地面上的加工入口C，欲使原料從送料口沿光滑的斜槽以最短的時間滑落到加工入口C，斜槽的安裝位置應該：A 過C點作豎直線CD，沿CD方向安裝斜槽B 過C點向AB作垂線段CE，沿CE方向安裝斜槽C 考慮路程和速度因素，應在CD和CE之間某一適當位置安裝斜槽D 上述三種方法原料滑落到加工入口C點所用的時間相等解析：由題意可知，滑落到C點的時間，構建一個等時圓O（圓上各點運動到C點時間相等），與水平地面相切于C點， 圓上的任意一點運動到C點的時間相等，若過B點作O的切線AB與O相切于F，由圖可知，直線 AB上的其它任意點運動到C的時間都大于沿FC運動的時間，而且F點在D、E之間，所以，可得出沿FC方向安裝斜槽，可以使原料以最短的時間落到加工入口C。故選C。2、應用圓的切線求解矢量問題 物理題目中涉及許多矢量問題，這些物理量在題目中如果大小不變，方向改變。我們可以通過畫圓找出矢量的變化規(guī)律，作圓的切線找到正確的解題思路?！纠?】某人乘船橫渡一條河，船在靜水中的速度及水速一定，此人過河最短時間為T1，若船速小于水速，此船用最短的位移過河，則需時間T2，則船速與水速之比為 。解析：如圖1所示，設河岸寬為d，船在靜水中航行的速度為v1，當船垂直于對岸方向航行時，時間最短為T1，則，以水的速度v2的端點C為圓心，v1的大小為半徑畫圓，如圖2所示，過點O作圓的切線OB與圓相切于點D，可知，船沿OB方向航行位移最短。因為OCDBOA，則：整理得：所以，=【例3】如圖所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強電場中，場強大小為E，方向一定，在圓周平面內，將一帶正電q的小球從a點以相同的動能拋出，拋出方向不同時，小球會經(jīng)過圓上不同的點，在這些所有的點中，到達c點時小球的動能最大。已知cab30，若不計重力和空氣阻力，求電場方向與ac間的夾角為多大？ 解析：由于不計重力和空氣阻力，帶電小球自點拋出后，僅受電場力作用，則小球的動能變化等于電場力做功，即Ek=W=Uq 。要使到達c點動能最大，電場力做正功且a、c兩點間的電勢差U最大。若過點C畫任意一條直線MN，且直線上各點的電勢相等，如圖1，那么只有當直線MN與圓相切時，a、c兩點間的電勢差才最大。則過c點作該圓的切線PQ，相切于點c，如圖所示，過a點作直線PQ的垂線交PQ于d，ad方向即為所求的電場方向。由幾何關系可知，cad=30，即夾角=30。 3、應用圓的切線求解磁場問題 帶電粒子（重力不計）垂直射入勻強磁場中，它將在勻強磁場中作勻速圓周運動，受到向心力的方向與速度方向垂直，而且速度方向是圓上該點的切線方向。如果畫出運動軌跡作出圓的切線，也許會使題目迎刃而解?！纠?】一勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O為圓心的一個圓形區(qū)域內。一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速度為v，方向沿x軸正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30，P到O的距離為L，如圖所示。不計重力的影響。求磁場的磁感應強度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R。解析：帶電粒子在磁場中受到洛侖茲力力作用做勻速圓周運動。設其半徑為，則圖1由于v沿x軸正方向，圓心必定在y軸上，設圓心為O1，則OO1=r。如圖1所示，以O1為圓心，r為半徑畫圓，可知粒子沿弧OA運動并從A點射出磁場，出磁場后沿直線AP作勻速直線運動，則AP與圓O1相切于點A，連接OA，OA即為圓形磁場區(qū)域的半徑R。延長PA交x軸于Q。由圖中幾何關系得：L=3r，則，將代入，得由幾何關系可知，OQ=R因為PAO1POQ，得所以，。四、問題總結1、如果題目中出現(xiàn)某一矢量（如力F、速度V、電場強度E、磁感應強度B等物理量）大小已知，方向不確定，則可以先確定圓心畫出一個矢量圓，然后結合矢量合成方法即平行四邊形定則或三角形定則，尋找相應的規(guī)律，通過畫圓的切線，找到解題的突破口，使題目得以巧解。2、在圓周運動中速度方向是曲線上該點的切線方向，我們可以通過畫圓及圓的切線，來尋求解題思路。參考資料：任志鴻主編高中總復習全優(yōu)設計物理 南方出版社2005年5月