【數(shù)學(xué)】13空間幾何體的表面積與體積課件（人教版A必修2）2

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1、 上面提到的物體的幾何結(jié)構(gòu)特征大致有以上面提到的物體的幾何結(jié)構(gòu)特征大致有以下幾類(lèi)：下幾類(lèi)：?jiǎn)栴}:1.長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖與其表面積有何關(guān)系？水立方的長(zhǎng)，寬，高分別為177m 177m30m試求它的表面積(1)矩形面積公式：矩形面積公式： _。(2)三角形面積公式：三角形面積公式：_。 正三角形面積公式：正三角形面積公式：_。(3)圓面積面積公式：圓面積面積公式：_。(4)圓周長(zhǎng)公式：圓周長(zhǎng)公式： _。(5)扇形面積公式：扇形面積公式： _。(6)梯形面積公式：梯形面積公式： _。(7)扇環(huán)面積公式：扇環(huán)面積公式： _。Sab12Sah234Sa2Sr2Cr12Srl1()2Sab h1()()2Sl

2、lrr如何用展開(kāi)圖來(lái)計(jì)算棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積？如何用展開(kāi)圖來(lái)計(jì)算棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積？側(cè)面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖的構(gòu)成展開(kāi)圖的構(gòu)成幾何體的展開(kāi)圖幾何體的展開(kāi)圖表面積表面積=側(cè)面積側(cè)面積+底面積底面積一組平行四邊形一組平行四邊形一組梯形一組梯形一組三角形一組三角形例例1 已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面，各面均為等邊三角形的四面體體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 D分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形組分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形組成。成。因?yàn)橐驗(yàn)镾B=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體因此，四面體S-A

3、BC 的表面積的表面積 交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過(guò)點(diǎn)的面積，過(guò)點(diǎn)S作作SBCBCSD BCASa23a例例2.下圖是一個(gè)幾何體的三視圖下圖是一個(gè)幾何體的三視圖(單位單位:cm)想想象對(duì)應(yīng)的幾何體象對(duì)應(yīng)的幾何體，并求出它的表面積，并求出它的表面積66101081012解：直觀圖是四棱臺(tái),側(cè)面是四個(gè)全等的梯形,上下底面為不同的正方形4SS側(cè)梯形SSS側(cè)表底2566610102392()cm2(6 10) 84256()2cm 如何根據(jù)圓柱、圓錐、的幾何結(jié)構(gòu)特征求它們的表面積.表面積側(cè)側(cè)面積 側(cè)面展開(kāi)圖22Sr lrl側(cè)122Sr lrl側(cè)2()Sr rl()Sr rl1(2 2

4、)2( )Srr lrrl側(cè)22( )Srrr l rl圓臺(tái)呢？圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別和矩形、三角形、梯形的面積有什么相似的地方？梯梯形形三三角角形形矩矩形形平面圖形面積空間體的側(cè)空間體的側(cè)面積空間體側(cè)面展開(kāi)圖22Sr lrl側(cè)122Sr lrl側(cè)1(2 2)2( )Srr lrrl側(cè)1()2Sa bhSab12Sah圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式有什么聯(lián)系？ 側(cè)面積側(cè)面展開(kāi)圖2Srl側(cè)Srl側(cè)( )Srrl側(cè)_SS 圓圓柱柱側(cè)側(cè)圓圓柱柱表表_SS 圓圓錐錐側(cè)側(cè)圓圓錐錐表表1.看圖回答問(wèn)題看圖回答問(wèn)題_SS圓圓臺(tái)臺(tái)側(cè)側(cè)圓圓臺(tái)臺(tái)表表2463116 做一做做一做 3.以直角邊長(zhǎng)為以直角邊長(zhǎng)為1

5、的等腰直角的等腰直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為_(kāi)._ .1m224 2.一個(gè)圓柱形鍋爐的底面半徑為一個(gè)圓柱形鍋爐的底面半徑為 ,側(cè)面展側(cè)面展開(kāi)圖為正方形，則它的表面積開(kāi)圖為正方形，則它的表面積為為212m21 4.已知圓錐的表面積為已知圓錐的表面積為 ，且它的側(cè)面展開(kāi)，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，這個(gè)圓錐的底面直徑圖是一個(gè)半圓，這個(gè)圓錐的底面直徑_.2 a m23 3am分析分析 (1)(1)花盆外壁的面積花盆外壁的面積= =花盆的側(cè)花盆的側(cè) 面積面積+ +底面積底面積- -底面圓孔面積底面圓孔面積2322221515201.5

6、()1515()22221000()0.1()Scmm(2)涂100個(gè)需漆: y=0.1100100=1000(毫升) 答答:每個(gè)涂漆面積0.1 , 100個(gè)需涂漆1000毫升.2m24解解:(1)蜜蜂爬行的最短路線問(wèn)題蜜蜂爬行的最短路線問(wèn)題.易拉罐的易拉罐的底面直徑底面直徑為為8cm,高高25cm.分析分析: 可以把圓柱沿開(kāi)始時(shí)蜜蜂所在位置的母線展開(kāi)可以把圓柱沿開(kāi)始時(shí)蜜蜂所在位置的母線展開(kāi),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題. AB)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺(tái)圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么

7、關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的表面柱體、錐體、臺(tái)體的表面積積各面面積之和各面面積之和rr0 r展開(kāi)圖展開(kāi)圖)(22rllrrrS 圓臺(tái)圓臺(tái)圓柱圓柱)(2lrrS)(lrrS圓錐圓錐一、基本知識(shí)二、思想方法由特殊到一般由特殊到一般類(lèi)比、歸納、猜想類(lèi)比、歸納、猜想轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化的思想直棱柱直棱柱 ：側(cè)棱和底面垂直的棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱chS直棱柱側(cè)1332214側(cè)面展開(kāi)斜高斜高h(yuǎn)21chS正棱錐側(cè)正棱錐正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面的中心，則稱這樣的棱錐為的正投影是底面的中心，則稱這樣的棱錐為正棱錐。正棱錐。側(cè)面展開(kāi))

8、(21hccS正棱臺(tái)側(cè)cc正棱臺(tái)正棱臺(tái)正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做面之間的部分叫做正棱臺(tái)正棱臺(tái)練習(xí)v5. 已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長(zhǎng)為3cm。它的展開(kāi)圖的形狀為_(kāi)。該圖形的弧長(zhǎng)為_(kāi)cm，半徑為_(kāi)cm，所以圓錐的側(cè)面積為_(kāi)cm2。扇形634扇形面積公式rlS21 學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來(lái)所以學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來(lái)所以我們先來(lái)回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法我們先來(lái)回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法球的體積球的體積 我們把一個(gè)半徑為我們把一個(gè)半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新的圓分成若干等分，然后

9、如上圖重新拼接起來(lái)，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是拼接起來(lái)，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是.的的矩矩形形和和RR .2R 于于那那么么圓圓的的面面積積就就近近似似等等當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來(lái)越高；當(dāng)當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來(lái)越高；當(dāng)份數(shù)無(wú)窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式份數(shù)無(wú)窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式法法導(dǎo)導(dǎo)出出球球的的體體積積公公式式下下面面我我們們就就運(yùn)運(yùn)用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變變?yōu)?/p>

10、無(wú)窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積為無(wú)窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積球的體積球的體積分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和,21RRr ,)(222nRRr 問(wèn)題問(wèn)題: :已知球的半徑為已知球的半徑為R,R,用用R R表示球的體積表示球的體積. .,)2(223nRRr AOB2C2AOOR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球的體積球的體積nininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半球半球)1(2122223nnnnR 6) 12

11、() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的體積球的體積6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).343233RVRV 從從而而半半球球334RVR 的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是球的體積球的體積2)2)若每小塊表面看作一個(gè)平面若每小塊表面看作一個(gè)平面, ,將每小塊平面作為底面將每小塊平面作為底面, ,球心作為球心作為頂點(diǎn)便得到頂點(diǎn)便得到n n個(gè)棱錐個(gè)棱錐, ,這些棱錐體積之和近似為球的體積這些棱錐體積之和近似為球的體積. .當(dāng)當(dāng)n n越大越大, ,越接近于球的體積越接近于球的體積, ,當(dāng)當(dāng)n n趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球

12、的體積趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果將表面平均分割成但如果將表面平均分割成n n個(gè)小塊個(gè)小塊, ,每小塊表面可近似看作一個(gè)平面每小塊表面可近似看作一個(gè)平面, ,這這n n小塊平面面積之和可近似小塊平面面積之和可近似看作球的表面積看作球的表面積. .當(dāng)當(dāng)n n趨近于無(wú)窮大時(shí)趨近于無(wú)窮大時(shí), ,這這n n小塊平面面積之和接小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積近于甚至等于球的表面積. . 球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公

13、式呢求出，如何求球的表面積公式呢? ?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法, ,是否也可借助于這種是否也可借助于這種極限極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式呢思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式呢? ? 下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式球的表面積球的表面積oiS o球的表面積球的表面積第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnV

14、VVVV 321iSO OO O球的表面積球的表面積第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面積球的表面積第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小小錐體錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 從從而而球的表面積球的表面

15、積Rhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 例例1.1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmRV (變式變式1 1)一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它求它的內(nèi)徑的內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )例題講解例題講解(變式變式1 1)一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它求它的內(nèi)徑的內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為設(shè)空

16、心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是則鋼球的質(zhì)量是答答:空心鋼球的內(nèi)徑約為空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由計(jì)算器算得由計(jì)算器算得:24. 2 x5 . 42 x例題講解例題講解( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中, ,至少要用多少紙至少要用多少紙? ?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS 側(cè)側(cè)側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為5cm例題講解例題講解例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD

17、-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球個(gè)頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問(wèn)球的球面上，問(wèn)球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1

18、 1A A1 1O O例題講解例題講解OABCO 例已知過(guò)球面上三點(diǎn)例已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距離等于球半徑的一半，且離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的體積，表面積體積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例題講解例題講解.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例.已知過(guò)球面上三點(diǎn)已知過(guò)球面上三

19、點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，求球的體積，表面積表面積例題講解例題講解2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是它的棱長(zhǎng)是4cm,這個(gè)球的體積為這個(gè)球的體積為cm3. 8 3323.有三個(gè)球有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于一球切于正方體的各側(cè)棱正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn)一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這求這三個(gè)球的體積之比三個(gè)球的體積之比_.1.球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉?lái)的倍體積變?yōu)樵瓉?lái)的倍.練習(xí)一練習(xí)一課堂練

20、習(xí)課堂練習(xí)33:22:14.4.若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是_. .練習(xí)二練習(xí)二2422:134:11.若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的_倍倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍倍.3.若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是，則其體積之比是_.課堂練習(xí)課堂練習(xí)7.7.將半徑為將半徑為1 1和和2 2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么 這個(gè)大鉛球的表面積是這個(gè)大鉛球的表面積是_.5.5.長(zhǎng)

21、方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為 ， 則它的外接球的表面積為則它的外接球的表面積為_(kāi). .15,5,36.6.若兩球表面積之差為若兩球表面積之差為4848 , ,它們大圓周長(zhǎng)之和為它們大圓周長(zhǎng)之和為1212 , , 則兩球的直徑之差為則兩球的直徑之差為_(kāi). .練習(xí)二練習(xí)二課堂練習(xí)課堂練習(xí) 94 3312l了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割分割求近似和求近似和化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法一種重要的數(shù)學(xué)思想方法極限思想，它極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分定積分”內(nèi)內(nèi)容的一個(gè)應(yīng)用；容的一個(gè)應(yīng)用；l熟練掌握球的體積、表面積公式：熟練掌握球的體積、表面積公式：23434RSRV 課堂小結(jié)課堂小結(jié)