5.第22課時 矩形、菱形、正方形

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1、第22課時 矩形、菱形、正方形 第七章 圖形的變化 考點(diǎn)特訓(xùn)營 考點(diǎn)精講 矩形、菱形、正方形 矩形 菱形 正方形 四邊形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 中間四邊形 邊：矩形的對邊平行且相等 ABCD,ADBC ABCD,AD_ 角：四個角都是直角：ABCBCDCDA DAB90 對角線：矩形的對角線相等且互相平分：ACBD， OAOC，OBOD 對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形， 有_條對稱軸 性質(zhì) BC 2 有一個角是_的平行四邊形是矩形 判定 有三個角都是直角的四邊形是矩形 對角線_的四邊形是矩形 面積：S=_（a、b分別表示長和寬） 直角 互相平分且相等 ab 邊 菱形的四條邊都相等:AB=BC

2、=CD=DA 對邊平行：ABCD,ADBC 性質(zhì) 角：對角相等DAB=DCB,ADC=ABC 對角線 對稱性 判定 面積 菱形的對角線互相垂直且_ ACBD AOCO,DOBO 對角線平分一組對角 AC平分DAB與_ BD平分ABC與ADC 對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有_ 條對稱軸 平分 DCB 2 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 平行四邊形ABCD _ 四邊形ABCD是菱形 四條邊都相等的四邊形是菱形 四邊形ABCD ABBCCDAD 四邊形ABCD是菱形 面積：S_(m、n分別表示兩條對角線的長) ACBD 12mn 邊 四條邊都相等:A

3、B=BC=CD=DA 對邊平行：ABCD,ADBC 性質(zhì) 角：四個角都是直角： ABC=BCD=CDA=DAB=90 對角線 對稱性 判定 面積 ACBD 對角線互相_且相等 AO=CO,DO=BO AC=BD 對角線平分一組對角 DAC=BAC=_,DCA=BCA=45 ADB=CDB=_,ABD=CBD=45 對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有4條對稱軸 垂直平分 45 45 有一個角是_的菱形是正方形 有一組鄰邊_的矩形是正方形 有一組鄰邊_,并且有一個角是_的平行四邊形是正方形 對角線互相垂直的矩形是正方形: 矩形ABCD _ 四邊形ABCD是正方形 直角(或90) 相等 相

4、等 直角(或90) ACBD 對角線相等的菱形是正方形： 菱形ABCD AC=BD 四邊形ABCD是正方形 對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形： ACBD AO=CO,DO=BO 四邊形ABCD是正方形 AC=BD 面積：S_ (a表示正方形邊長) a2 相等 直角 直角 相等 中點(diǎn)四邊形：平行四邊形的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形；矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形；菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形；正方形的 中點(diǎn)四邊形是正方形. 重難點(diǎn)突破 一 與矩形有關(guān)的證明及計(jì)算（重點(diǎn)） 例1如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ABC=ADC=90，對角線AC，BD 交于點(diǎn)O，DE平分ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE （1）求證

5、：四邊形ABCD是矩形； 【思維教練】可利用三個角是直角的四邊形是矩形來證明； 自主作答: 例1題圖 (1)證明：ADBC， ABCBAD180， ABC90， BAD90， BADABCADC90， 四邊形ABCD是矩形； （2）若AB=2，求OEC的面積 【思維教練】作OFBC于F求出EC、OF的長，然后利用三角形的面積公式求解即可. 自主作答： (2)解：如解圖，作OFBC于點(diǎn)F. 四邊形ABCD是矩形， CDAB2，BCD90， ACBD, AOBOCODO, BFFC, OF CD1， DE平分ADC，ADC90， EDC45，在RtEDC中，ECCD2， OEC的面積 EC OF1

6、. 例1題解圖 1212滿 分 技 法 對于以矩形為背景的相關(guān)計(jì)算，要掌握以下內(nèi)容： 1.矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長； 2.矩形對角線相等且互相平分，故可借助對角線的關(guān)系得到全等三角形； 3.矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形； 4.當(dāng)已知條件中有一個角為30時，應(yīng)聯(lián)想到“在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì). 練習(xí)1如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，若AB=6，BC=8，則AEF的周長為( ) A.6 B.8 C.9 D.10 練習(xí)1題圖 C 【解析】四邊

7、形ABCD是矩形，ADBC8，BAD90，OBODOAOC，在RtBAD中， BD 10， ODOAOB5，E、F分別是AO，AD的中點(diǎn)，EF OD ，AE ，AF4，AEF周長為9. 2222= 68A BA D125252練習(xí)2如圖，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8連接AC，BD，CE平分ACD交BD于點(diǎn)E，則DE=_. 練習(xí)2題圖 3011【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DFAC交CE的延長線于點(diǎn)F，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O，CE平分ACD，ACEDCEDFE, DFCDAB6，AB6，BC8, ACBD 10, ODOC5, DFAC, DEFOEC， ， 且OEODDE5DE， ， 解

8、得DE . 301122A B B C =DEDFOEOC6=55DEDE 練習(xí)2題解圖 二 與菱形有關(guān)的證明及計(jì)算（重點(diǎn)） 例2在RtABC中，BAC=90，D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，過A作AFBC,交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF. （1）求證：AEFDEB； 自主作答： 例2題圖 (1)證明：AFBC， AFEDBE, E是AD的中點(diǎn)， AEDE， 在AEF和DEB中， AEFDEB(AAS)； =FEABEDAFEDBEAEDE （2）求證：四邊形ADCF是菱形； 【思維教練】利用（1）中全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF=BD結(jié)合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”

9、得到四邊形ADCF是平行四邊形，要證四邊形ADCF為菱形，還需證得一組鄰邊相等，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到BD=AD=DC，從而得出結(jié)論 自主作答： (2)證明：由(1)知，AFEDBE， AFDB. AD是BC邊上的中線， DBDC, AFCD.AFBC， 四邊形ADCF是平行四邊形， BAC90，D是BC的中點(diǎn)， ADDC BC， 四邊形ADCF是菱形； 12（3）若AB=5，AC=4，求菱形ADCF的面積 【思維教練】由三角形中線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出SABD =SACD =SACF，得出S 菱形ADCF =S RtABC= AB AC，即可得出答案 自主作答: 12解

10、：D是BC的中點(diǎn)，四邊形ADCF是菱形， SABDSACDSACF, S菱形ADCFS RtABC AB AC 5410. 1212滿 分 技 法 與菱形有關(guān)的計(jì)算，一般有以下三種設(shè)問：求角度；求長度（線段長或者周長）；求面積. 1.求角度時，應(yīng)注意菱形的四條邊相等和對角相等、鄰角互補(bǔ)等，可利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化要求的角，直到找到與已知的角存在的關(guān)系； 2.求長度（線段長或者周長）時，應(yīng)注意使用等腰三角形的性質(zhì)；若菱形中存在一個頂角為60，則連接120頂角所對的頂點(diǎn)的對角線所分割的兩個三角形為等邊三角形，在計(jì)算時可借助等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；連接對角線構(gòu)成直角三角形，則

11、應(yīng)注意使用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含特殊角的直角三角形等進(jìn)行求解； 3.求面積時，可直接利用S=底高來求解，也可利用菱形的兩條對角線互相垂直，其面積等于對角線之積的一半來進(jìn)行求解. 練習(xí)3如圖，在菱形ABCD中，AEBC于點(diǎn)E，AFCD于點(diǎn)F，且E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，則EAF等于( ) A 75 B 45 C 60 D 30 練習(xí)3題圖 C 【解析】如解圖，連接AC, AEBC，AFCD，且E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)， ABAC，ADAC，四邊形ABCD是菱形，ABBCCDAD，ABBCAC，ACCDAD，BD60，BAEDAF30，BAD180B120， E

12、AFBADBAEDAF60. 故選C. 練習(xí)3題解圖 練習(xí)4如圖，在菱形ABCD中，BAD=120，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，BEF與GEF關(guān)于直線EF對稱，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是G，且點(diǎn)G在邊AD上，若EGAC，AB=2，則FG的長為. 練習(xí)4題圖 【解析】四邊形ABCD是菱形，BAD120，ABBCCDAD，CABCAD60， ABC，ACD是等邊三角形， EGAC，AEGAGE30，BEGF60， AGF90，即FGAD，又BCAD，F(xiàn)GBC, 2 SABCBC FG，2 222 FG，F(xiàn)G . 343三與正方形有關(guān)的證明及計(jì)算（重點(diǎn)） 例3如圖，已知正方形ABCD，P是對角線AC上任意一點(diǎn)

13、，E為AD上的點(diǎn)，且EPB=90，作PMAD，PNAB，垂足分別為M、N （1）求證：四邊形PMAN是正方形； 【思維教練】要證四邊形PMAN為正方形，由已知可得NAM=90，AMP=ANP=90，可得四邊形PMAN為矩形；AC平分BAD，則可得PM=PN，可證得四邊形PMAN是正方形. 自主作答： 例3題圖 證明： (1)四邊形ABCD是正方形， BAD90，AC平分BAD， PMAD，PNAB， PMPN，PMAPNA90， 四邊形PMAN是矩形， PMPN, 四邊形PMAN是正方形； （2）求證：EM=BN 【思維教練】由四邊形PMAN是正方形，易證得EPMBPN，即可證得：EM=BN.

14、 自主作答： (2)四邊形PMAN是正方形， PMPN，MPN90， EPB90， MPEEPNNPBEPN90， MPENPB, 在EPM和BPN中， PMAPNB90，PMPN，MPENPB， EPMBPN(ASA)， EMBN. 滿 分 技 法 對于正方形性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算問題，應(yīng)注意合理運(yùn)用其性質(zhì)及由性質(zhì)得到的一些結(jié)論： 1.四邊相等，四角相等且均為90； 2.對角線垂直平分且相等； 3.對角線平分一組對角得到45角； 4.邊長與對角線的長度比為12. 練習(xí)5如圖，E為邊長為2的正方形ABCD的對角線上一點(diǎn)，BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQBC于點(diǎn)Q，PRBE于點(diǎn)R，則PQ+PR的值為

15、( ) A. B. C. D. 練習(xí)5題圖 2212322D 【解析】如解圖，連接BP，設(shè)點(diǎn)C到BE的距離為h，則SBCESBCPSBEP，即 BE h BC PQ BE PR， BEBC，hPQPR， 即h AC BD 2 . 練習(xí)5題解圖 22121212121212練習(xí)6ABC是邊長為18的正三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，且BD=BE當(dāng)四邊形DEFG是邊長為6的正方形時，點(diǎn)F到AC的距離為_. 練習(xí)6題圖 6 3 - 6【解析】如解圖，作BLAC于點(diǎn)L交DE于點(diǎn)H，交FG于點(diǎn)K，ABC是等邊三角形，ACBCAB18，C60，BLBC sin60 ，BEBD，BED是等邊三角形，BEBDDE6，BHEB sin60 HKEF6，BK 6，KLBLBK ( 6) ，BEDC60，DEAC，DEFG，F(xiàn)GAC，點(diǎn)F到AC的距離為 . 6 3 - 693333393336 3 - 6練習(xí)6題解圖