1743944668江蘇省南京市高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)試題及答案

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1、南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試-數(shù)學(xué)參考公式樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的方差s2 nn(xi)2,其中 nnxi錐體的體積公式:V13Sh,其中S為錐體的底面積,h為錐體的高一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分不需要寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上)1已知集合A1,0,1,2,Bx|x210,則AB_2已知復(fù)數(shù)z滿足:z(1i)24i,其中i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z的模為_3. 某射擊選手連續(xù)射擊5槍命中的環(huán)數(shù)分別為:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,則這組數(shù)據(jù)的方差為_4從2個紅球,2個黃球,1個白球中隨機取出兩個球,則兩球顏色不同的概率是_5已知向量a(1

2、,2),b(m,4),且 a(2ab),則實數(shù)m的值為_6如圖,它是一個算法的流程圖,最后輸出的k值為_ 7如圖,它是函數(shù)f(x)Asin(wxj)(A0,w0,j0,2p) )圖象的一部分,則f (0)的值為_8已知雙曲線1 (a0,b0)的一條漸近線的方程為2xy0,則該雙曲線的離心率為_9直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長均為2,E為棱CC1的中點,則三棱錐A1B1C1E的體積為_10對于直線l,m,平面,m,則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的_條件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個)11已知函數(shù)f(x)x3x22ax1,若函數(shù)f(x)在(1,2)上有極

3、值,則實數(shù)的取值范圍為_12已知平行四邊形ABCD中,AD2,BAD60若E為DC中點,且1,則的值為_13已知等比數(shù)列an的公比q1,其前n項和為Sn若S42S21,則S6的最小值為_14在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個動點,P(異于原點O)為y軸上的一個定點若以AB為直徑的圓與圓x2(y2)21相外切,且APB的大小恒為定值,則線段OP的長為_二、解答題(本大題共6小題,共90分解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi))15(本小題滿分14分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosBbcosA(1)求的值;(2)

4、若sinA,求sin(C)的值 16(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,E為側(cè)棱PA的中點(1)求證:PC / 平面BDE;(2)若PCPA,PDAD,求證:平面BDE平面PAB 17(本小題滿分14分)某市對城市路網(wǎng)進行改造,擬在原有a個標(biāo)段(注:一個標(biāo)段是指一定長度的機動車道)的基礎(chǔ)上,新建x個標(biāo)段和n個道路交叉口,其中n與x滿足nax5已知新建一個標(biāo)段的造價為m萬元,新建一個道路交叉口的造價是新建一個標(biāo)段的造價的k倍(1)寫出新建道路交叉口的總造價y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)設(shè)P是新建標(biāo)段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比若新建的標(biāo)段數(shù)是原有

5、標(biāo)段數(shù)的20%,且k3問:P能否大于,說明理由 18(本小題滿分16分)已知橢圓1(ab0)的離心率e,一條準(zhǔn)線方程為x = 2過橢圓的上頂點A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點P,P關(guān)于x軸的對稱點為Q(1)求橢圓的方程;(2)若直線AP,AQ與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為m,n,求證:mn為常數(shù),并求出此常數(shù) 19(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)ex,g(x)xb,bR (1)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切,求b的值; (2)設(shè)T(x)f(x)ag(x),aR,求函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間;(3)設(shè)h(x)|g(x)|f(x),b1若存在x1,x20,1,使|h(x1

6、)h(x2)|1成立,求b的取值范圍 20(本小題滿分16分)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且2a5a313,S416 (1)求數(shù)列an的前n項和Sn; (2)設(shè)Tn(1)iai,若對一切正整數(shù)n,不等式Tnan1(1)n1an2n1 恒成立,求實數(shù)的取值范圍; (3)是否存在正整數(shù)m,n(nm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n;若不存在,說明理由 南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)附加題 2015.09注意事項:1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分,考試時間30分鐘3答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫在答題紙上試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題

7、目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后,交回答題紙21【選做題】在A、B、C、D四小題中只要選做2題,每小題10分,共計20分請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41:幾何證明選講在圓O中,AB,CD是互相平行的兩條弦,直線AE與圓O相切于點A,且與CD的延長線交于點E,求證:AD2ABED B選修42:矩陣與變換已知點P(3,1)在矩陣A變換下得到點P(5,1)試求矩陣A和它的逆矩陣A C選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù),m為常數(shù))以原點O為極點,以x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為cos()=若直線l與圓C有

8、兩個公共點,求實數(shù)m的取值范圍 D選修45:不等式選講設(shè)實數(shù)x,y,z滿足x5yz9,求xyz的最小值 【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計20分請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22(本小題滿分10分)假定某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為現(xiàn)有4發(fā)子彈,該射手一旦射中目標(biāo),就停止射擊,否則就一直獨立地射擊到子彈用完設(shè)耗用子彈數(shù)為X,求:(1)X的概率分布;(2)數(shù)學(xué)期望E(X) 23(本小題滿分10分)如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF中,AB,CE1,CE平面ABCD(1)求異面直線DF與BE所成角的余弦值; (2)求二面角ADFB的大小 南京市201

9、6屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2015.09說明:1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定給分,但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤,就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù),填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分 12 2 30.032 4 5265 7 8 9 10必要不充分 11(,4) 123 13

10、23 14二、解答題:本大題共6小題,共90分15解:(1)由acosBbcosA,得sinAcosBsinBcosA, 3分 即sin(AB)0 因為A,B(0,),所以AB(,),所以AB0, 所以ab,即1 6分 (2)因為sinA,且A為銳角,所以cosA 8分 所以sinCsin(2A)sin2A2sinAcosA, 10分 cosCcos(2A)cos2A12sin2A12分 所以sin(C)sinCcoscosCsin14分16證明:(1)連結(jié)AC,交BD于O,連結(jié)OE 因為ABCD是平行四邊形,所以O(shè)AOC2分 因為 E為側(cè)棱PA的中點,所以O(shè)EPC4分 因為PC平面BDE,O

11、E平面BDE,所以PC / 平面BDE6分 (2)因為E為PA中點,PDAD,所以PADE8分 因為PCPA,OEPC,所以PAOE 因為OE平面BDE,DE平面BDE,OEDEE, 所以PA平面BDE12分 因為PA平面PAB,所以平面BDE平面PAB 14分 17解:(1)依題意得 ymknmk(ax5),xN* 4分 (2)方法一 依題意x0.2a 6分所以P 8分 13分 答:P不可能大于 14分方法二 依題意x0.2a 6分所以P8分假設(shè)P,得ka220a25k0 10分因為k3,所以100(4k2)0,不等式ka220a25k0無解13分 答:P不可能大于 14分18解: 因為,

12、= 2, 所以a,c1,所以b 故橢圓的方程為y21 4分 解法一 設(shè)P點坐標(biāo)為(x1,y1),則Q點坐標(biāo)為(x1, y1) 因為kAP,所以直線AP的方程為yx1令y = 0,解得m. 8分 因為kAQ,所以直線AQ的方程為yx1 令y0,解得n 12分 所以mn 14分 又因為(x1,y1)在橢圓+ y2 = 1上,所以1 + y= 1,即1y= 1, 所以2,即mn2 所以mn為常數(shù),且常數(shù)為2 16分解法二 設(shè)直線AP的斜率為k(k0),則AP的方程為y = kx +1, 令y = 0,得m 6分 聯(lián)立方程組 消去y,得(12k2)x24kx0,解得xA0,xP =, 8分 所以yPk

13、xP1, 則Q點的坐標(biāo)為(,) 10分所以kAQ,故直線AQ的方程為yx1令y0,得n2k, 14分 所以mn()(2k)2 所以mn為常數(shù),常數(shù)為2 16分19解:(1)設(shè)切點為(t,et),因為函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切, 所以et1,且ettb, 解得b1 2分 (2)T(x)exa(xb),T(x)exa 當(dāng)a0時,T(x)0恒成立 4分 當(dāng)a0時,由T(x)0,得xln(a) 6分 所以,當(dāng)a0時,函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,); 當(dāng)a0時,函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln(a),) 8分(3) h(x)|g(x)|f(x)當(dāng)xb時,h(x)(xb1) ex0,所以

14、h(x)在(b,)上為增函數(shù);當(dāng)xb時,h(x)(xb1) ex,因為b1xb時,h(x)(xb1) ex0,所以h(x)在(b1,b)上是減函數(shù);因為xb1時, h(x)(xb1) ex0,所以h(x)在(,b1)上是增函數(shù)10分 當(dāng)b0時,h(x)在(0,1)上為增函數(shù)所以h(x)maxh(1)(1b)e,h(x)minh(0)b由h(x)maxh(x)min1,得b1,所以b0 12分當(dāng)0b時,因為bx1時, h(x)(xb1) ex0,所以h(x)在(b,1)上是增函數(shù),因為0xb時, h(x)(xb1) ex0,所以h(x)在(0,b)上是減函數(shù)所以h(x)maxh(1)(1b)e,

15、h(x)minh(b)0由h(x) maxh(x) min1,得b因為0b,所以0b 14分當(dāng)b1時,同理可得,h(x)在(0,b)上是減函數(shù),在(b,1)上是增函數(shù)所以h(x)maxh(0)b,h(x)minh(b)0因為b1,所以h(x)maxh(x)min1不成立 綜上,b的取值范圍為(,) 16分20解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d 因為2a5a313,S416, 所以解得a11,d2,2分 所以an2n1,Sn n2 4分(2)當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n2k,kN*,則T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k 5分代入不等式Tnan1(1)n1an2n1 ,得2k4k,從而設(shè)f(k

16、),則f(k1)f(k)因為kN*,所以f(k1)f(k)0,所以f(k)是遞增的,所以f(k)min2,所以2 7分當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)n2k1,kN*,則T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k 8分代入不等式Tnan1(1)n1an2n1 ,得(12k)(2k1)4k,從而4k因為kN*,所以4k的最大值為4,所以4綜上,的取值范圍為42 10分(3)假設(shè)存在正整數(shù)m,n(nm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比數(shù)列,則(SmS2)2S2(SnSm),即(m24)24(n2m2),所以4n2(m22)212,即4n2(m22)212, 12分即(2nm22)(2nm22)12

17、14分因為nm2,所以n4,m3,所以2nm2215因為2nm22是整數(shù),所以等式(2nm22)(2nm22)12不成立,故不存在正整數(shù)m,n(nm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比數(shù)列 16分 南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2015.0921【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共20分 A選修41:幾何證明選講證明:連接BD, 因為直線AE與圓O相切,所以EADABD4分 又因為ABCD, 所以BADADE, 所以EADDBA 8分 從而,所以AD2ABED 10分B選修42:矩陣與變換解:依題意得 13b11,2分所以解得

18、所以A 6分因為det(A)1(1)021,8分所以A 10分C選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程解:圓C的普通方程為(xm)2y24 2分直線l的極坐標(biāo)方程化為 (cossin),即xy,化簡得xy20 4分因為圓C的圓心為C(m,0),半徑為2,圓心C到直線l的距離d,所以d2, 8分解得22m22 10分D選修45:不等式選講解:由柯西不等式得(xyz)(125212)(1x5y1z)2 6分因為x5yz9,所以xyz3, 8分當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z時取等號所以xyz的最小值為3 10分 【必做題】第22題、第23題,每題10分,共20分22解:耗用子彈數(shù)X的所有可能取值為1,2,3,4當(dāng)X1時,表

19、示射擊一次,命中目標(biāo),則P(X1); 當(dāng)X2時,表示射擊兩次,第一次未中,第二次射中目標(biāo),則P(X2)(1);2分當(dāng)X3時,表示射擊三次,第一次、第二次均未擊中,第三次擊中,則P(X3)(1)(1); 4分當(dāng)X4時,表示射擊四次,前三次均未擊中,第四次擊中或四次均未擊中,則P(X4)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) X1234P X的概率分布為 6分(2)E(X)123+4 10分23解:以,為正交基底,建立如圖空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則D(,0,0),F(xiàn)(,1),E(0,0,1),B(0,0),C(0,0,0),所以(0,1),(0,1),2分從而cos 4分所以直線DF與BE所成角的余弦值為5分(2)平面ADF的法向量為m (,0,0).6分設(shè)面BDF的法向量為n = (x,y,z)又(,0,1)由n0,n0,得yz0,xz0,取x1,則y1,z,所以n = (1,1,),8分所以cos又因為0,p,所以所以二面角A DF B的大小為 10分

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