1743944668江蘇省南京市高三上學期學情調研考試 數學試題及答案

南京市2016屆高三學情調研考試-數學參考公式樣本數據x1，x2，xn的方差s2 nn(xi)2，其中 nnxi錐體的體積公式：V13Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分不需要寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1已知集合A1，0，1，2，Bx|x210，則AB_2已知復數z滿足：z(1i)24i，其中i為虛數單位，則復數z的模為_3. 某射擊選手連續(xù)射擊5槍命中的環(huán)數分別為：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，則這組數據的方差為_4從2個紅球，2個黃球，1個白球中隨機取出兩個球，則兩球顏色不同的概率是_5已知向量a(1，2)，b(m，4)，且 a(2ab)，則實數m的值為_6如圖，它是一個算法的流程圖，最后輸出的k值為_ 7如圖，它是函數f(x)Asin(wxj)(A0，w0，j0，2p) )圖象的一部分，則f (0)的值為_8已知雙曲線1 (a0，b0)的一條漸近線的方程為2xy0，則該雙曲線的離心率為_9直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長均為2，E為棱CC1的中點，則三棱錐A1B1C1E的體積為_10對于直線l，m，平面，m，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的_條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個）11已知函數f(x)x3x22ax1，若函數f(x)在(1，2)上有極值，則實數的取值范圍為_12已知平行四邊形ABCD中，AD2，BAD60若E為DC中點，且1，則的值為_13已知等比數列an的公比q1，其前n項和為Sn若S42S21，則S6的最小值為_14在平面直角坐標系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點若以AB為直徑的圓與圓x2(y2)21相外切，且APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_二、解答題（本大題共6小題，共90分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內）15（本小題滿分14分）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosBbcosA（1）求的值；（2）若sinA，求sin(C)的值 16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側棱PA的中點（1）求證：PC / 平面BDE；（2）若PCPA，PDAD，求證：平面BDE平面PAB 17（本小題滿分14分）某市對城市路網進行改造，擬在原有a個標段（注：一個標段是指一定長度的機動車道）的基礎上，新建x個標段和n個道路交叉口，其中n與x滿足nax5已知新建一個標段的造價為m萬元，新建一個道路交叉口的造價是新建一個標段的造價的k倍（1）寫出新建道路交叉口的總造價y（萬元）與x的函數關系式；（2）設P是新建標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比若新建的標段數是原有標段數的20%，且k3問：P能否大于，說明理由 18（本小題滿分16分）已知橢圓1(a>b>0)的離心率e，一條準線方程為x = 2過橢圓的上頂點A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點P，P關于x軸的對稱點為Q（1）求橢圓的方程；（2）若直線AP，AQ與x軸交點的橫坐標分別為m，n，求證：mn為常數，并求出此常數 19（本小題滿分16分）已知函數f(x)ex，g(x)xb，bR （1）若函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象相切，求b的值； （2）設T(x)f(x)ag(x)，aR，求函數T(x)的單調增區(qū)間；（3）設h(x)|g(x)|f(x)，b1若存在x1，x20，1，使|h(x1)h(x2)|1成立，求b的取值范圍 20（本小題滿分16分）已知等差數列an的前n項和為Sn，且2a5a313，S416 （1）求數列an的前n項和Sn； （2）設Tn(1)iai，若對一切正整數n，不等式Tnan1(1)n1an2n1 恒成立，求實數的取值范圍； （3）是否存在正整數m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比數列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，說明理由 南京市2016屆高三學情調研考試 數學附加題 2015.09注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務必將自己的姓名、學校寫在答題紙上試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答題紙21【選做題】在A、B、C、D四小題中只要選做2題，每小題10分，共計20分請在答題紙指定區(qū)域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講在圓O中，AB，CD是互相平行的兩條弦，直線AE與圓O相切于點A，且與CD的延長線交于點E，求證：AD2ABED B選修42：矩陣與變換已知點P(3，1)在矩陣A變換下得到點P(5，1)試求矩陣A和它的逆矩陣A C選修44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為（為參數，m為常數）以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為cos()=若直線l與圓C有兩個公共點，求實數m的取值范圍 D選修45：不等式選講設實數x，y，z滿足x5yz9，求xyz的最小值 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題紙指定區(qū)域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）假定某射手射擊一次命中目標的概率為現有4發(fā)子彈，該射手一旦射中目標，就停止射擊，否則就一直獨立地射擊到子彈用完設耗用子彈數為X，求：（1）X的概率分布；（2）數學期望E(X) 23（本小題滿分10分）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB，CE1，CE平面ABCD（1）求異面直線DF與BE所成角的余弦值； （2）求二面角ADFB的大小 南京市2016屆高三學情調研考試 數學參考答案及評分標準 2015.09說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數4只給整數分數，填空題不給中間分數一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 12 2 30.032 4 5265 7 8 9 10必要不充分 11(，4) 123 1323 14二、解答題：本大題共6小題，共90分15解：（1）由acosBbcosA，得sinAcosBsinBcosA， 3分 即sin(AB)0 因為A，B(0，)，所以AB(，)，所以AB0， 所以ab，即1 6分 （2）因為sinA，且A為銳角，所以cosA 8分 所以sinCsin(2A)sin2A2sinAcosA， 10分 cosCcos(2A)cos2A12sin2A12分 所以sin(C)sinCcoscosCsin14分16證明：（1）連結AC，交BD于O，連結OE 因為ABCD是平行四邊形，所以OAOC2分 因為 E為側棱PA的中點，所以OEPC4分 因為PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC / 平面BDE6分 （2）因為E為PA中點，PDAD，所以PADE8分 因為PCPA，OEPC，所以PAOE 因為OE平面BDE，DE平面BDE，OEDEE， 所以PA平面BDE12分 因為PA平面PAB，所以平面BDE平面PAB 14分 17解：（1）依題意得 ymknmk(ax5)，xN* 4分 （2）方法一 依題意x0.2a 6分所以P 8分 13分 答：P不可能大于 14分方法二 依題意x0.2a 6分所以P8分假設P，得ka220a25k0 10分因為k3，所以100(4k2)0，不等式ka220a25k0無解13分 答：P不可能大于 14分18解： 因為， = 2， 所以a，c1，所以b 故橢圓的方程為y21 4分 解法一 設P點坐標為(x1，y1)，則Q點坐標為(x1， y1) 因為kAP，所以直線AP的方程為yx1令y = 0，解得m. 8分 因為kAQ，所以直線AQ的方程為yx1 令y0，解得n 12分 所以mn 14分 又因為(x1，y1)在橢圓+ y2 = 1上，所以1 + y= 1，即1y= 1， 所以2，即mn2 所以mn為常數，且常數為2 16分解法二 設直線AP的斜率為k(k0)，則AP的方程為y = kx +1， 令y = 0，得m 6分 聯(lián)立方程組 消去y，得(12k2)x24kx0，解得xA0，xP =， 8分 所以yPkxP1， 則Q點的坐標為(，) 10分所以kAQ，故直線AQ的方程為yx1令y0，得n2k， 14分 所以mn()(2k)2 所以mn為常數，常數為2 16分19解：(1)設切點為(t，et)，因為函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象相切， 所以et1，且ettb， 解得b1 2分 （2)T(x)exa(xb)，T(x)exa 當a0時，T(x)0恒成立 4分 當a0時，由T(x)0，得xln(a) 6分 所以，當a0時，函數T(x)的單調增區(qū)間為(，)； 當a0時，函數T(x)的單調增區(qū)間為(ln(a)，) 8分（3) h(x)|g(x)|f(x)當x>b時，h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b，)上為增函數；當x<b時，h(x)(xb1) ex，因為b1xb時，h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b1，b)上是減函數；因為xb1時， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(，b1)上是增函數10分 當b0時，h(x)在(0，1)上為增函數所以h(x)maxh(1)(1b)e，h(x)minh(0)b由h(x)maxh(x)min1，得b1，所以b0 12分當0b時，因為bx1時， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b，1)上是增函數，因為0xb時， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(0，b)上是減函數所以h(x)maxh(1)(1b)e，h(x)minh(b)0由h(x) maxh(x) min1，得b因為0b，所以0b 14分當b1時，同理可得，h(x)在(0，b)上是減函數，在(b，1)上是增函數所以h(x)maxh(0)b，h(x)minh(b)0因為b1，所以h(x)maxh(x)min1不成立 綜上，b的取值范圍為(，) 16分20解：(1)設數列an的公差為d 因為2a5a313，S416， 所以解得a11，d2，2分 所以an2n1，Sn n2 4分(2)當n為偶數時，設n2k，kN*，則T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k 5分代入不等式Tnan1(1)n1an2n1 ，得2k4k，從而設f(k)，則f(k1)f(k)因為kN*，所以f(k1)f(k)0，所以f(k)是遞增的，所以f(k)min2，所以2 7分當n為奇數時，設n2k1，kN*，則T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k 8分代入不等式Tnan1(1)n1an2n1 ，得(12k)(2k1)4k，從而4k因為kN*，所以4k的最大值為4，所以4綜上，的取值范圍為42 10分(3)假設存在正整數m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比數列，則(SmS2)2S2(SnSm)，即(m24)24(n2m2)，所以4n2(m22)212，即4n2(m22)212， 12分即(2nm22)(2nm22)12 14分因為nm2，所以n4，m3，所以2nm2215因為2nm22是整數，所以等式(2nm22)(2nm22)12不成立，故不存在正整數m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比數列 16分 南京市2016屆高三學情調研考試 數學附加題參考答案及評分標準 2015.0921【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分 A選修41：幾何證明選講證明：連接BD， 因為直線AE與圓O相切，所以EADABD4分 又因為ABCD， 所以BADADE， 所以EADDBA 8分 從而，所以AD2ABED 10分B選修42：矩陣與變換解：依題意得 13b11，2分所以解得 所以A 6分因為det(A)1(1)021，8分所以A 10分C選修44：坐標系與參數方程解：圓C的普通方程為(xm)2y24 2分直線l的極坐標方程化為 (cossin)，即xy，化簡得xy20 4分因為圓C的圓心為C(m，0)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d，所以d2， 8分解得22m22 10分D選修45：不等式選講解：由柯西不等式得(xyz)(125212)(1x5y1z)2 6分因為x5yz9，所以xyz3， 8分當且僅當x，y，z時取等號所以xyz的最小值為3 10分 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分22解：耗用子彈數X的所有可能取值為1，2，3，4當X1時，表示射擊一次，命中目標，則P(X1)； 當X2時，表示射擊兩次，第一次未中，第二次射中目標，則P(X2)(1)；2分當X3時，表示射擊三次，第一次、第二次均未擊中，第三次擊中，則P(X3)(1)(1)； 4分當X4時，表示射擊四次，前三次均未擊中，第四次擊中或四次均未擊中，則P(X4)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) X1234P X的概率分布為 6分(2)E(X)123+4 10分23解：以，為正交基底，建立如圖空間直角坐標系Cxyz，則D(，0，0)，F(，1)，E(0，0，1)，B(0，0)，C(0，0，0)，所以(0，1)，(0，1)，2分從而cos<，> 4分所以直線DF與BE所成角的余弦值為5分(2)平面ADF的法向量為m (，0，0).6分設面BDF的法向量為n = (x，y，z)又(，0，1)由n0，n0，得yz0，xz0，取x1，則y1，z，所以n = (1，1，)，8分所以cos<m，n>又因為<m，n>0，p，所以<m，n>所以二面角A DF B的大小為 10分