有限數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),浙江科技學(xué)院本科課程化工數(shù)據(jù)處理,*,*,第三章 有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理,3.1 總體的參數(shù)估計(jì),期望值和方差、參數(shù)估計(jì),3.2 一般的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),平均值檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、離群值檢驗(yàn),10/22/2024,1,總體、個(gè)體和樣本:,總體(Population),：調(diào)查研究的事物或現(xiàn)象的全體,個(gè)體(Item unit)：,組成總體的每個(gè)元素,樣本(Sample)：,從總體中所抽取的部分個(gè)體,樣本容量(Sample size)：,樣本中所含個(gè)體的數(shù)量,10/22/2024,2,示例：,有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理,總體,樣本,甲,樣本容

2、量,平均值,500g,乙,平行測(cè)定 3 次,平行測(cè)定 4 次,丙,平行測(cè)定 4 次,有限數(shù)據(jù)的處理：,計(jì)算,估計(jì),顯著性檢驗(yàn),沒有系統(tǒng)誤差，,=,T,有系統(tǒng)誤差，,T,10/22/2024,3,3.1.1 期望值和方差,數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的表示：對(duì)一B物質(zhì)客觀存在量為,T,的分析對(duì)象進(jìn)行分析，得到,n,個(gè)個(gè)別測(cè)定值,x,1,、,x,2,、,x,3,、,x,n,，,平均值 Average,中位數(shù)Median,有限次測(cè)量：測(cè)量值向,平均值,集中,無(wú)限次測(cè)量：測(cè)量值向,總體平均值,集中,數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和分散程度的表示,10/22/2024,4,數(shù)據(jù)分散程度的表示：,極差R,Range,相對(duì)極差,R,偏差,D

3、eviation,平均偏差,Mean deviation,相對(duì)平均偏差,relative mean deviation,標(biāo)準(zhǔn)偏差,standard deviation,相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差(變異系數(shù)),Relative standard deviation,(Coefficient of variation,CV,),10/22/2024,5,總體標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的比較：,總體標(biāo)準(zhǔn)偏差,標(biāo)準(zhǔn)偏差,無(wú)限次測(cè)量，,對(duì)總體平均值的離散,有限次測(cè)量,對(duì)平均值的離散,自由度,計(jì)算一組數(shù)據(jù)分散度的獨(dú)立偏差數(shù),自由度的理解：例如，有三個(gè)測(cè)量值，求得平均值，也知道,x,1,和,x,2,與平均值的差值，那么，,x,3

4、,與平均值的差值就是確定的了，不是一個(gè)獨(dú)立的變數(shù)。,10/22/2024,6,平均值的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差,對(duì)有限次測(cè)量,S(,x,)的物理意義：,在有限次測(cè)量中，每個(gè)測(cè)量值平均所具有的標(biāo)準(zhǔn)偏差。,10/22/2024,7,對(duì)有限次測(cè)量：,1、增加測(cè)量次數(shù)可以提高精密度。,2、增加（過多）測(cè)量次數(shù)的代價(jià)不一定能從減小誤差得到補(bǔ)償。,結(jié)論：,測(cè)量次數(shù),10/22/2024,8,3.1.2 參數(shù)估計(jì),矩估計(jì)法,最小二乘法,最大似然法,順序統(tǒng)計(jì)量法,估 計(jì) 方 法,點(diǎn) 估 計(jì),區(qū)間估計(jì),10/22/2024,9,一、點(diǎn)估計(jì),從總體中抽取一個(gè)樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體的未知參數(shù)作出一個(gè)數(shù)值點(diǎn)的估計(jì),例如,

5、:,用樣本均值,作為,總體未知均值的估計(jì)值就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì),2.,點(diǎn)估計(jì)沒有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息,點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等,概念要點(diǎn)：,10/22/2024,10,被估計(jì)的總體參數(shù),總體參數(shù),符號(hào)表示,用于估計(jì)的樣本統(tǒng)計(jì)量,一個(gè)總體,均值,方差,兩個(gè)總體,均值之差,方差比,10/22/2024,11,估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則,無(wú)偏性：,估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù),P,(,X,),X,C,A,無(wú)偏,有偏,10/22/2024,12,A,B,中位數(shù)的抽樣分布,均值的抽樣分布,X,P,(,X,),有效性：,一個(gè)方差較小的無(wú)偏估計(jì)量稱為一個(gè)更有效

6、的估計(jì)量。如，與其他估計(jì)量，樣本相比均值是一個(gè)更有效的估計(jì)量。,10/22/2024,13,一致性：,隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來(lái)越,接近被估計(jì)的總體參數(shù),A,B,較小的樣本容量,較大的樣本容量,P,(,X,),X,10/22/2024,14,二、區(qū)間估計(jì),1.根據(jù)一個(gè)樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計(jì)范圍,給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率,例如,:,總體均值落在,5070,之間，置信度為,95%,樣本統(tǒng)計(jì)量(點(diǎn)估計(jì)),置信區(qū)間,置信下限,置信上限,概念要點(diǎn)：,10/22/2024,15,置信區(qū)間估計(jì)內(nèi)容：,2,已知,2,未知,均 值,方 差,置 信 區(qū) 間,10/22/2024,16,問題：,在

7、,的,某個(gè)范圍,內(nèi)包含 的,概率,有多大？,對(duì)有限次測(cè)量,1、概率,2、區(qū)間界限，多大區(qū)間,置信水平,Confidence level,置信度,Degree of confidence,Probability level,置信區(qū)間 C,onfidence interval,置信界限,Confidence limit,必然的聯(lián)系,這個(gè)問題涉及兩個(gè)方面：,10/22/2024,17,總體平均值的置信區(qū)間,概率,區(qū)間大小,例：,包含在,區(qū)間,幾率相對(duì)大,幾率 相對(duì)小,幾率為100%,無(wú)意義,平均值的置信區(qū)間的問題,10/22/2024,18,總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率,表示為,(1-,為顯著性水平

8、，是總體參數(shù),未在,區(qū)間內(nèi)的概率,常用的置性水平值有,99%,95%,90%,相應(yīng)的,為,0.01,，,0.05,，,0.10,置信水平：,10/22/2024,19,區(qū)間與置信水平：,均值的抽樣分布,(1-,)%區(qū)間包含了,%的區(qū)間未包含,1-,a,a,/,2,a,/,2,10/22/2024,20,影響區(qū)間寬度的因素：,1.數(shù)據(jù)的離散程度，,用 來(lái)測(cè)度,樣本容量，,置信水平,(1-,),，影響,Z,的大小,10/22/2024,21,落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本,x,_,X,X,=,Z,x,95%的樣本,-1.96,x,+1.96,x,99%的樣本,-2.58,x,+2.58,x,90%的

9、樣本,-1.65,x,+1.65,x,10/22/2024,22,總體均值的置信區(qū)間,(,已知),1.假定條件,總體服從正態(tài)分布,且總體方差（,）,已知,如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來(lái)近似(,n,30),2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量,總體均值,在,1-,置信水平下的,置信區(qū)間為,10/22/2024,23,正態(tài)總體實(shí)例:,總體均值的區(qū)間估計(jì),解：,已知,N,(,，0.15,2,)，,x,21.4,n,=9,1-=0.95，,/2,=1.96,總體均值,的置信區(qū)間為,我們可以,95,的概率保證該種零件的平均長(zhǎng)度在21.321.5 mm之間,【例】,某種零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，

10、測(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差,=0.15mm，試建立該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。,10/22/2024,24,非正態(tài)總體實(shí)例：,總體均值的區(qū)間估計(jì),解：,已知,x,26.0,=6，,n,=100,1-=0.95，,/2,=1.96,我們可以,95,的概率保證平均每天參加鍛煉的時(shí)間在24.827.2 分鐘之間,【例】,某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26.0分鐘。試以95的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方差為36小時(shí)）。,10/22/2024,25,1.假定條件,總體方差（,）,未知

11、,總體必須服從,正態(tài)分布,使用,t,分布統(tǒng)計(jì)量,3.總體均值,在1-,置信水平下的,置信區(qū)間為,總體均值的區(qū)間估計(jì),(,未知),10/22/2024,26,t,分布曲線:,無(wú)限次測(cè)量，得到,有限次測(cè)量，得到,s,t,分布曲線,u,分布曲線,10/22/2024,27,1-,1/2,1/2,-t,f,t,f,t 分布值表,自由度,f,=(n-1),顯著水平,0.50,0.10,0.05,0.01,1,1.00,6.31,12.71,63.66,2,0.82,2.92,4.30,9.93,3,0.76,2.35,3.18,5.84,4,0.74,2.13,2.78,4.60,5,0.73,2.02

12、,2.57,4.03,6,0.72,1.94,2.45,3.71,7,0.71,1.90,2.37,3.50,8,0.71,1.86,2.31,3.36,9,0.70,1.83,2.26,3.25,10,0.70,1.81,2.23,3.17,20,0.69,1.73,2.09,2.85,0.67,1.65,1.96,2.58,P,=1-,，,置信度,，,顯著水平,6次測(cè)量，隨機(jī)誤差落在2.57 范圍內(nèi)的概率為95%。,無(wú)限次測(cè)量，隨機(jī)誤差落在1.96,范圍內(nèi)的概率為95%。,10/22/2024,28,t分布值表,自由度,f=(n-1),顯著水平,0.50,0.10,0.05,0.01,1,

13、1.00,6.31,12.71,63.66,2,0.82,2.92,4.30,9.93,3,0.76,2.35,3.18,5.84,4,0.74,2.13,2.78,4.60,5,0.73,2.02,2.57,4.03,6,0.72,1.94,2.45,3.71,7,0.71,1.90,2.37,3.50,8,0.71,1.86,2.31,3.36,9,0.70,1.83,2.26,3.25,10,0.70,1.81,2.23,3.17,20,0.69,1.73,2.09,2.85,0.67,1.65,1.96,2.58,還原為,u 分布,單位為,單位為,10/22/2024,29,實(shí)例(,未

14、知,),:,總體均值的區(qū)間估計(jì),解：,已知,N,(,，,2,)，,x,=,50,s,=8，,n,=25,1-=0.95，,t,/2,=2.064。,我們可以,95,的概率保證總體均值在46.753.3 之間,【例】,從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，,n,=25，其均值,x,=50.0，標(biāo)準(zhǔn)差,s,=8。建立總體均值,m,的95%的置信區(qū)間。,10/22/2024,30,3.2 一般的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),問題：,是由隨機(jī)誤差引起，或存在系統(tǒng)誤差？,顯著性,檢驗(yàn),顯著性差異,非顯著性差異,系統(tǒng)誤差,校正,隨機(jī)誤差,正常,顯著性檢驗(yàn),（1）對(duì)含量真值為,T,的某物質(zhì)進(jìn)行分析，得到平均值,（2）用兩種不同的方

15、法、或兩臺(tái)不同的儀器、或兩個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室對(duì)同一樣品進(jìn)行分析，得到平均值,但,，但,3.2.1 平均值檢驗(yàn),10/22/2024,31,1-,1/2,1/2,-t,f,t,f,1.平均值與標(biāo)準(zhǔn)值的比較,t 檢驗(yàn)法：,假設(shè)不存在系統(tǒng)誤差，那么,是由隨機(jī)誤差引起的，測(cè)量誤差應(yīng)滿足,t,分布，,根據(jù) 計(jì)算出的,t,值應(yīng)落在指定的概率區(qū)間里。否則，假設(shè)不滿足，表明存在著顯著性差異。,t 檢驗(yàn)法的步驟：,1、根據(jù) 算出,t,值;,2、給出顯著性水平或置信度,3、將計(jì)算出的,t,值與表上查得的,t,值進(jìn)行比較，若,習(xí)慣上說 表明有系統(tǒng)誤差存在。,表示 落在,為中心的某一指定概率之外。在一次測(cè)定中，這樣的幾率

16、是極小的，故認(rèn)為是不可能的，拒絕接受。,10/22/2024,32,【例】,某化驗(yàn)室測(cè)定,CaO,的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為,30.43%,的某樣品中,CaO,的含量，得如下結(jié)果：,問此測(cè)定有無(wú)系統(tǒng)誤差？(給定,=0.05),解,查表,比較：,說明,和T 有顯著差異，此測(cè)定有系統(tǒng)誤差。,假設(shè)：,=T,10/22/2024,33,u檢驗(yàn)法：,u 檢驗(yàn)法與t 檢驗(yàn)的不同在于用u分布，而不是用t分布。,【例】,某煉鐵廠生產(chǎn)的鐵水，從長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)知道它的碳含量服從正態(tài)分布，T為4.55%，,為0.08%?，F(xiàn)在又生產(chǎn)了5爐鐵水，其碳含量分別為4.28%，4.40%,4.42%,4.35%,4.37%。試問均值有無(wú)變化？,(給定,=0.05),解,假設(shè)：,=,T,查表,比較：,結(jié)論：均值比原來(lái)的降低了。（表明生產(chǎn)過程有差異）,問題：如果分析方法存在系統(tǒng)誤差，這個(gè)結(jié)論可靠嗎？,10/22/2024,34,2、兩組平均值的比較,兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室對(duì)同一標(biāo)樣進(jìn)行分析，得到：,和,假設(shè)不存在系統(tǒng)誤差，那么：,是由于隨機(jī)誤差引起的，應(yīng)滿足自由度,f,=(n,1,+n,2,2）的,t,分布，,10/22/2024,35,兩組平均值的比