讓文化架起一座溝通數(shù)學的橋梁 上海交通大學《數(shù)學與文化》課程的

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,*,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,讓文化架起溝通數(shù)學的橋梁-上海交通大學?數(shù)學與文化?課程建設,紀志剛,上海交通大學科學史系,2021年7月15日 南開大學,1,?上海交通大學關于設置本科通識教育核心課程的意見?2021,課程設置:人文科學、社會科學、自然科學與工程技術、數(shù)學與邏輯,數(shù)學類通識課程的教學重點是“數(shù)學思想和思想方法。使學生了解數(shù)學開展中的重大事件及數(shù)學家的創(chuàng)見和創(chuàng)造，了解數(shù)學的文化功能和思想價值，以及對科技進步和社會開展的意義，尤其

2、要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。,2,?數(shù)學與文化?課程的總體設計,一 課程的根本架構(gòu),“數(shù)學主題為先導，即選擇不同歷史時期具有典型意義的數(shù)學概念、思想、方法，簡要表達歷史開展，通過數(shù)學開展中的重大事件、著名數(shù)學家的創(chuàng)見和發(fā)現(xiàn)，揭示數(shù)學思想演變和數(shù)學方法的形成。,3,圍繞“數(shù)學主題，尋找相應的“文化切入點，通過探討數(shù)學與文學、藝術、宗教等人文科學，以及其他自然科學分支的內(nèi)在聯(lián)系，注重說明數(shù)學的理性精神和文化魅力；在幫助學生了解數(shù)學的文化功能和思想價值的同時，注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。,通過探索數(shù)學對科技進步和社會開展的作用，說明數(shù)學是人類文明的主要組成局部和不可缺少的重要文化力量。,4,具體做

3、法是：確立15個左右的“數(shù)學主題，對每個主題或突出其在數(shù)學思想史上的重要意義、或突出其在思想方法或創(chuàng)新思維的啟發(fā)例如；,每個主題的“文化切入點那么注重揭示數(shù)學的文化功能和思想價值，展示數(shù)學對科技進步和社會開展的意義。,5,為了啟發(fā)思想，培養(yǎng)學生自主學習和創(chuàng)新知識的能力，本課程擬就“東西方數(shù)學文化的特點與比較、“數(shù)學在科學革命中的作用、“數(shù)學與文學、“數(shù)學與美學、“數(shù)學與音樂、“數(shù)學大師創(chuàng)新思維特點“數(shù)學與當代社會等專題組織學生展開討論，歸納分析、共同總結(jié)，鼓勵學生走上講臺進行個人展示。,二,課程的個性化要求,6,三,課堂教學拓展與深化,為了配合課堂教學，本課程有選擇放映假設干部與數(shù)學相關的電影

4、，如：?美麗的心靈?、?費馬的房間?、百老匯音樂劇?費馬最后的探戈?，幫助學生更直觀地了解數(shù)學與文化的相互關系。同時引導學生閱讀歐幾里得?幾何原本?，?九章算術?，伽利略?兩門新科學的談話?、笛卡爾?幾何學?、牛頓?自然哲學的數(shù)學原理?、希爾伯特?幾何學根底?等數(shù)學原典(片斷)，為學生創(chuàng)設親炙大師的時機。,7,推薦學生閱讀?古今數(shù)學思想?、?西方文化中的數(shù)學?、?微積分概念史?、?數(shù)學精英?、?費馬大定理?、?數(shù)學恩仇錄?、?后現(xiàn)代思想的數(shù)學根源?等數(shù)學與文化的名篇佳作，拓展學生的知識視野，提升學生的數(shù)學品位。,8,導論 數(shù)學與文化理性、精神和信念,單元1 從前有個數(shù) ：記數(shù)法那么與數(shù)系擴張,

5、數(shù)學主題：古代埃及、巴比倫、印度、中國的記數(shù)法；數(shù)系擴張,文化切入點： 古代文明記數(shù)法的文化差異與共性,單元2 數(shù)學的理性：希臘的哲學與數(shù)學,數(shù)學主題：柏拉圖的數(shù)學觀；歐幾里得與?原本?,文化切入點：數(shù)學中的柏拉圖主義；用“幾何精神架構(gòu)社會契約,單元3 中國古代數(shù)學的東方特色,數(shù)學主題： ?九章算術?； 劉徽的數(shù)學思想,文化切入點： 中國傳統(tǒng)數(shù)學的社會性,9,單元4 數(shù)學在歐洲的復興,數(shù)學主題：中世紀的數(shù)學；數(shù)學與文藝復興,文化切入點：“三文、四藝；奧馬爾.海亞姆與?魯拜集?；繪畫與透視學；數(shù)學在科學革命中的作用,單元5 新數(shù)學、新世界、新觀念,數(shù)學主題：微積分的創(chuàng)立；牛頓與?自然哲學的數(shù)學原

6、理?,文化切入點：機械論自然觀；牛頓學說及其對哲學、宗教和文學的影響,單元6 分析算術化,數(shù)學主題：極限、函數(shù)、導數(shù)、積分概念的嚴密化；實數(shù)理論的完善,文化切入點：貝克萊論戰(zhàn)；數(shù)學與人的本性,10,單元 非歐幾何：奇妙的新世界,數(shù)學主題：第五公設；非歐幾何；幾何根底,文化切入點： 物理空間與數(shù)學空間；相對論的數(shù)學根底,單元8 青春的律動：阿貝爾與伽羅瓦,數(shù)學主題：五次以上方程的可解性；群論,文化切入點：數(shù)學天才與社會環(huán)境，數(shù)學創(chuàng)新思維的個案分析,單元9 探索無窮,數(shù)學主題：“實無窮與“潛無窮 ；康托“超限數(shù)理論,文化切入點： 東西方無窮觀念的比較；無窮的文化史,11,單元10 上帝是否在擲骰子

7、？,數(shù)學主題：從賭徒問題到概率論，隨機過程,文化切入點：數(shù)學與大自然的運作,單元11 讓數(shù)字說話-社會學研究中的統(tǒng)計方法,數(shù)學主題：數(shù)理統(tǒng)計簡要歷史,文化切入點：用統(tǒng)計的觀點看世界,單元12美麗的數(shù)學心靈,數(shù)學主題： 納什與博弈論,文化切入點：“納什博弈與社會生活,12,單元13 維爾斯VS陳景潤,主題：費馬大定理；哥德巴赫猜測,文化切入點：徐遲的報告文學?哥德巴赫猜測?,單元14 數(shù)學的真理性,數(shù)學主題： 悖論與數(shù)學危機；哥德爾不完備定理,文化切入點：“否認比肯定更具普遍性,單元15 數(shù)學與后現(xiàn)代思想,數(shù)學主題：數(shù)學根底的三大流派及其爭論,文化切入點：結(jié)構(gòu)主義、功能主義和解構(gòu)主義的數(shù)學語境分

8、析,13,課程特點,兩條主線：不同歷史時期數(shù)學與文化相互交融,板塊交叉：東方與西方、古典與現(xiàn)代、思想與方法、宏觀與微觀,多元視角：數(shù)學與文化形態(tài)宗教、藝術、文學等、社會進步、政治變革的互動關系,14,幾個案例,第一講 從前有個數(shù) ：記數(shù)法那么與數(shù)系擴張,數(shù)學主題：,古代埃及、巴比倫、印度、中國的記數(shù)法,數(shù)系擴張,文化切入點：,古代文明記數(shù)法的文化差異與共性,15,“數(shù)說文化,相傳，蘇東坡與學友赴京趕考，因漲大水，船只行進困難，耽誤時日，眼看應考就要遲到，學友嘆曰：一葉孤舟，坐二三個騷客，啟用四漿五帆， 經(jīng)由六灘七灣，歷盡八顛九簸，可嘆十分來遲,蘇東坡那么勸勉道： 十年寒窗，進九八家書院，拋卻七

9、情六欲， 苦讀五經(jīng)四書，考了三番二次，今天一定要中,上聯(lián)從一數(shù)到十，下聯(lián)又倒著從十數(shù)到一，不僅數(shù)字使用巧妙得當，而且將莘莘學子寒窗苦讀、赴京趕考的艱難表述得淋漓盡致。,16,Da mi basia mille,Gaius Valerius Catullus,(ca. 84 BC ca. 54 BC),da mi basia,mille,deinde,centum,dein,mille,altera,dein secunda,centum,deinde usque altera,mille,deinde,centum,.dein, cum milia multa fecerimus,contur

10、babimus illa, ne sciamus,aut ne quis malus inuidere possit,cum tantum sciat esse basiorum.,17,數(shù)字的生命-摘自電影?,男：我喜歡數(shù)字，一個你，一個我，一個月亮，一個太陽。,女：我一定要繞著你轉(zhuǎn)嗎？我是圍繞你旋轉(zhuǎn)的銀星嗎？你是光和熱的源泉，而我只是影子，引起潮水漲落和寒冷嗎？,男：我只不過說了一個數(shù)字，一個意念。我喜歡單一的狀態(tài)。僅此而已,女：單一是一個基于幻覺的詞，生活本身由融合開展開來。而是結(jié)合，是釋放，是吸引和拒絕，是肯定或否認，不是“獨奏曲。但是，把我們引導到這里的是甜蜜的二重奏，然后忘記我們邂

11、逅的事情。是帶給我們歡樂，欲望帶我們走向愛。,18,男：你說得對，現(xiàn)在我要說。你和他，現(xiàn)在是我。,女：天??！還是讓我們藏在數(shù)字里吧。一間四面有墻的房子，把外面的喧囂關在門外,男：我們扯的太遠了。我忘記了比還要早的事情。關于空虛、巨大和無邊的虛無狀態(tài)。這是我們唯一需要的數(shù)字。零是陛下，它無聲無息的主導我們的生活。,女：說的好。但我覺得太神秘了。人們創(chuàng)造了零。因此，我們可以數(shù)數(shù)，可以計算難以想象的巨大而棘手的數(shù)字，然后增加到的力量。我們開始計算空間和時間。,19,第二講 數(shù)學的理性：希臘的哲學與數(shù)學,數(shù)學主題：,柏拉圖的數(shù)學觀,歐幾里得與?原本?,文化切入點：,柏拉圖主義,用“幾何精神架構(gòu)社會契約

12、,20,柏拉圖主義的根本觀點是：數(shù)學的對象就是數(shù)、量、圖形等數(shù)學概念，而數(shù)學概念作為抽象一般或“共相，是客觀存在著的。柏拉圖認為它們存在于一個特殊的理念世界里，后世的柏拉圖主義者并不接受“理念論，但也認為數(shù)學概念是一種特殊的獨立于現(xiàn)實世界之外的客觀存在，它們是不依賴于時間、空間和人的思維的永恒的存在。數(shù)學家得到新的概念不是創(chuàng)造，而是對這種客觀存在的描述；數(shù)學新成果不是創(chuàng)造，而是發(fā)現(xiàn)。與之相應的，柏拉圖主義認為數(shù)學理論的真理性是客觀的，是由那種獨立于現(xiàn)實世界之外的存在決定的，而這種真理性是要靠“心智經(jīng)驗來理解，靠某種“數(shù)學直覺來認識的，人們只有通過直覺才能到達獨立于現(xiàn)實世界之外的“數(shù)學世界。,數(shù)

13、學中的柏拉圖主義,21,“幾何精神與社會“契約,斯賓諾莎：?倫理學?Ethics，1675,第一章：8條定義，7條公理,證明8條定理和推論，證明的結(jié)尾標注：,Q.E.D.( quod erat demonstrandum-此即所證),22,馬爾薩斯Thomas Malthus：,?人口論?An Essay on the Principle of Population,1798),開篇先立兩條公設postulata：,1對于人類的生存，食物是必需的；,2兩性之間的情欲是必需的，并且將以相近目前的狀態(tài)持續(xù)下去。,據(jù)此推出人口已幾何級數(shù)增長，而食物以算術級數(shù)增長。,23,?獨立宣言?,Declara

14、tion of Independence,1776,“我們認為下面這些真理是不言而喻(self-evident )的：人人生而平等，造物者賦予他們假設干不可剝奪的權(quán)利，其中包括生命權(quán)、自由權(quán)和追求幸福的權(quán)利。 ,?葛底斯堡演說?1863,“八十七年前，我們的先輩們在這塊大地上創(chuàng)立了一個新的國家，孕育于自由，奉行人皆生而平等的原理proposition,24,西學與“戊戌維新,康有為是近代中國以數(shù)學方法來闡釋人文理論的第一人。他認為：“天文地理各學皆從算學入，通算猶識字也。 他鼓勵學生要循序漸進，學好數(shù)學。,據(jù)?康南海自編年譜?載，他自己于1885年即“從事算學，以幾何著?人類公理?，第二年“又

15、作?公理書?，依幾何為之者 。,25,維新運動時期，康有為在前兩稿根底上，編成?實理公法全書?，模擬歐幾里得?幾何原本?的思維路數(shù)，將其認定的人類必須共同遵守的公私關系的道理，分門別類，歸算為假設干“實理，類似歐氏幾何學的“定義；而把其所設計的為保證“實理得到遵守的社會生活準那么，叫作“公法，與之作為比照的是各國現(xiàn)行或曾行、將行的信條，即所謂“比例；還在各論條之下加按語說明，分別相當于歐氏幾何學的“定理、“公式和“證明。,26,譚嗣同也非常重視數(shù)學、幾何學。他創(chuàng)辦的第一個學會就是算學會。他說，“算法為格致入門之始，“格致、制造、測地、行海諸學，固無一不自測算而得。他曾下苦功通讀過?幾何原本?前

16、六卷，還試圖解答其中的疑難問題，認為“算學即不深，而不可不習幾何學。蓋論事辦事之條段在是矣。,和康有為一樣，譚嗣同也以數(shù)學邏輯來建立其哲學體系。?仁學?中的?界說?即模仿?幾何原本?書前的“界說定義制定。例如，界說第十四條“不生與不滅平等，那么生與滅平等，生滅與不生不滅亦平等，即是以?幾何原本?公論來推演的-推演錯了！。,27,第三講 中國古代數(shù)學的東方特色,數(shù)學主題：?九章算術?， 劉徽的數(shù)學思想：“割圓術，“無理根數(shù)，“牟合方蓋球體求積-無窮觀念與極限方法,“開之不盡，為不可開，當以面命之?九章?,劉徽：不以面命之，加定法如前，求其微數(shù)。微數(shù)無名者，其一退以十為母，再退以百為母，退之彌下，

17、其分彌細，雖朱冪雖有所棄之數(shù)缺乏言也。,文化切入點：中國傳統(tǒng)數(shù)學的社會性,昔者周公問于商高曰：竊聞乎大夫善數(shù)也。請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出？,商高曰：數(shù)之法出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。,周公曰：大哉言數(shù)。 ,-?周髀算經(jīng)?,周公問數(shù),既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五,伏羲執(zhí)矩，女媧執(zhí)規(guī),東漢畫像石山東武梁祠,周公曰：大哉言數(shù)。請問用矩之道。,商高曰：平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥

18、矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方。方屬地，圓屬天。天圓地方，方數(shù)為典。以方出圓，笠以寫天。天青黑，地黃赤。天數(shù)之為笠也，青黑為表，丹黃為里，以象天地之位。是故知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于數(shù)，其裁制萬物，惟所為耳。,周公曰：善哉。,?唐闕史?：楊損擇吏的故事,青州楊尚書損，觀風陜郊日，政令頗肅，郡人戎校缺，必采于輿論而升陟之， 縷及細胥賤卒，率用斯道，以是蒞政累載，無積薪嘆燥請托之源。一日，使院有專兵籍者闕，局司頗重，選置惟難。有吏兩人，眾推合授，較其歲月職次，功績 違犯，無少差異者，従事掾不能決，請裁于長，長或臆斷，誰曰無私。楊公俯首久之，曰：“余得之矣。乃謂曰：“為吏之最

19、，孰先于書算耶！姑聽吾言：有夕道于叢林間者，聆群跖評竊賄之數(shù)，且曰：人六匹那么長五匹，人七匹那么短八匹。 不知幾人復幾匹？顧主硯小吏著于紙，令俯階籌之，且曰：“先達者勝。少頃，一吏果以狀先，遂授良闕，儕類那么眙伏而退。,第五講 新數(shù)學、新世界、新觀念,數(shù)學主題：,微積分的創(chuàng)立,牛頓與?自然哲學的數(shù)學原理?,文化切入點：,自然的數(shù)學化,機械論自然觀,牛頓學說及其對哲學、宗教和文學的影響,35,自然的數(shù)學化,哥白尼的日心說比托勒密地心說更優(yōu)越，在于它有著數(shù)學上的簡潔性。,伽利略：自然這部書“是用數(shù)學語言寫成的，字母是三角形、圓以及其它幾何圖形，沒有這些，人類連一個字也讀不懂。,牛頓的解釋“自然不做

20、徒勞的事，解釋多了白費口舌，言簡意賅才見真諦。因為自然喜歡簡單性，不會響應于多于原因的侈談。,笛卡爾的偉大設想：“一切問題化為數(shù)學問題，一切數(shù)學問題化為代數(shù)問題，一切代數(shù)問題化為代數(shù)方程求解問題。,36,機械論自然觀確實立,以牛頓運動三定律和萬有引力定律為根底，機械論自然觀描繪了這樣一幅世界藍圖：,1整個宇宙是由不可再分的物質(zhì)微粒即原子構(gòu)成；,2物質(zhì)的性質(zhì)由原子的數(shù)量組合和空間結(jié)構(gòu)決定；,3原子的質(zhì)量守恒、慣性、廣延性、不可入性等等，是一切物質(zhì)的共同屬性；,4物質(zhì)之間存在相互作用的萬有引力；,5一切物質(zhì)運動都是絕對、均勻的空間和時間的位移，遵循機械運動規(guī)律，保持嚴格的因果關系；,6 物質(zhì)運動的

21、根本原因在于外力推動。,37,機械論自然觀的特征,1人與自然的別離；,2自然界的數(shù)學設計；,3物理世界的復原論說明；,4自然界與機器的類比。,38,數(shù)學,-,萬理之源,“我獻出這一作品，作為哲學-即科學的數(shù)學原理，因為哲學的全部困難似乎在于從運動現(xiàn)象研究自然界的力，然后從這些力去說明其他現(xiàn)象。我希望，自然界的其他現(xiàn)象，亦可以用同樣的方法，由數(shù)學原理推導出來。許多理由使我產(chǎn)生了一種想法：這些現(xiàn)象都與某種力有關，物體之質(zhì)點，以某種尚未為人所知的原因，通過這種力或互相吸引，或按一定規(guī)那么形式聚合，或者互相吸引，或者互相排斥。,-牛頓?自然哲學的數(shù)學原理序言?,39,經(jīng)典力學：牛頓的世界,聲學定律：聲

22、速測定,彈性定律：胡克,大氣壓強定律：伽利略、托里折利,血液循環(huán)：哈維,能量轉(zhuǎn)換定律：化學、熱學、力學,意義：,所有自然現(xiàn)象都可以從運動定律和引力定律中推導出來,！,40,“萬有引力如何成為法國夫人們的“愛情定律？,41,第六講 分析算術化,數(shù)學主題：,極限、函數(shù)、導數(shù)、積分概念的嚴密化,實數(shù)理論的完善,文化切入點：,貝克萊論戰(zhàn),數(shù)學與人的本性,?人類理智論?洛克，1690,?人類知識原理?貝克萊，1710,?人類理解研究?休謨，1748,?道德與立法原理引論?邊沁，1789,?人性分析?穆勒,上帝和大自然將總的框架定下，宣稱自然和社會猶如一個整體,“該體系的每個構(gòu)成要素，都是從以數(shù)學的方式建

23、立的各種定理出發(fā)，并能夠復原到這些定理的。,“用定理或共同的高級概念將各命題結(jié)合起來，通過一種完整而無闕漏的演繹，就可到達幾乎近于歐幾里得幾何學的邏輯性體系。,第七講 非歐幾何：奇妙的新世界,數(shù)學主題：,第五公設,非歐幾何,幾何根底,文化切入點：,物理空間與數(shù)學空間,相對論的數(shù)學根底,如何理解“外星人的世界,有界而無窮,圖中所有三角形的面積在非歐度量下都是相等的！,Coxster,加拿大幾何學家,心有靈犀一點通,天使與魔鬼,荷蘭版畫藝術大師,M.C.,埃舍爾的作品之一,圓極限,III,一連串的魚像火箭發(fā)射一樣從邊緣處以直角向中心竄出，對于歐氏幾何來說，這些魚大小不同，而對于非歐度量來說，它們是

24、“全等的！,埃舍爾,Escher,瀑布 魚與鳥,非歐幾何就在我們腳下！,直線:球面大圓,-任二直線都相交!,球面三角形的根本定理,-三角形內(nèi)角和大于1800,如何理解“外星人的世界,只有在歐氏空間中，戰(zhàn)神的激光槍發(fā)出的光才是平直的！,第十二講 美麗的數(shù)學心靈,觀看影片?美麗的心靈?,數(shù)學主題：,納什與博弈論,文化切入點：,“納什博弈與社會生活,51,導演：Ron Howard,主演：Russell Crowe,.John Nash Jennifer Connelly,.Alicia Nash Ed Harris,William Parcher,Christopher Plummer,.Dr.

25、Rosen,2001獲獎情況：8項奧斯卡提名,2002年74屆Oscar：,最正確影片,最正確導演,最正確改編劇本,最正確女配角,52,Mathematicians won the war, mathematicians broke the codes and built the A-bomb. Mathematicians like you.,53,這是一部描寫數(shù)學天才的電影，但數(shù)學并不是“主題，那么，“主題是什么？,54,我一直相信數(shù)字，方程式，邏輯，它們引導我們?nèi)ニ伎?。但是我追求一生，回過頭再想，我問自己：什么是真正的邏輯推理，誰決定原由?我探索這個問題，從肉體，到精神，甚至到夢想，這樣

26、來回走了一遭。我的事業(yè)有了重大突破，但我一生最重要的發(fā)現(xiàn)是，只有在神秘的愛情方程式才能找到邏輯的原由。,今晚，我能站在這里，全是你的功績。你是我生命的原由，你是我的全部，謝謝！,-約翰.納什?美麗心靈?,55,托馬斯謝林和羅伯特奧曼榮獲2005年度諾貝爾經(jīng)濟學獎。他們的卓越工作，加深了人們對于在核軍備競賽、貿(mào)易戰(zhàn)、價格戰(zhàn)和政治關系、外交關系中的對抗與合作的理解。半個世紀以來，博弈論給經(jīng)濟學帶來革命性的變革，說：“要想在現(xiàn)代社會做一個有文化的人，你必須對博弈論有一個大致的了解保羅薩繆爾森。,56,第十,四,講,數(shù)學的真理性,數(shù)學,主題,：,悖論與數(shù)學危機,哥德爾不完備性定理,文化切入點：,哥德爾

27、不完備定理的文化意義,57,哥德爾不完備性定理的建立粉碎了數(shù)學家兩千年來的信念。它告訴我們，“真與“可證是兩個概念?！翱勺C性涉及到一個具有能行性的較為機械的思維過程；而“真理性那么涉及到一個能動的超窮的思維過程。因此，可證的一定是真的，但真的不一定可證。從這個意義上說，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。,外爾的感慨：“上帝是存在的，因為數(shù)學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。,58,“否認比肯定更具普遍性,人腦終究不能解釋成機器，計算機絕不可能超越人類心智。,形式系統(tǒng)的不完備性，必然根源于它的創(chuàng)造者的不完備性。,不確定性是人類認識的形式邏輯思維本身固有的。即使純粹數(shù)學也無法徹底到達確定性。,59,作為理性精神的化身，數(shù)學已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習慣、風俗所統(tǒng)治的領域，而且取代它們成為思想和行動的指南。最為重要的是，作為一種珍貴的、無可比較的人類成就，數(shù)學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美。,克萊因?西方文化中的數(shù)學?,英文版1953,中文版2005,結(jié) 語,60,謝 謝,!,61,