線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(1/,2),3.3,線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,嚴格說來,實際控制對象都是時變系統(tǒng),其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)隨時間變化。,如電機的溫升導致電阻以及系統(tǒng)的數(shù)學模型變化,;,電子器件的老化使其特性也發(fā)生變化,;,火箭燃料的消耗導致其質(zhì)量以及運動方程的參數(shù)的變化等。,但是,由于時變系統(tǒng)的數(shù)學模型較復雜,且不易于系統(tǒng)分析、優(yōu)化和控制,因此只要實際工程允許,都可將慢時變系統(tǒng)在一定范圍內(nèi)近似地作為定常系統(tǒng)處理。,但對控制目標要求較高的高精度控制系統(tǒng),需作為時變系統(tǒng)處理。,線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程

2、的解(,2/2),下面將討論線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解問題,依次討論:,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,非齊次狀態(tài)方程的解,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,(1,/3),3.3.1,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,當系統(tǒng)沒有外部輸入作用時,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為齊次狀態(tài)方程,可表示為,x,(,t,)=,A,(,t,),x,(,t,),這里討論其滿足初始狀態(tài),的解,也就是由初始時刻,t,0,的初始狀態(tài),x,(,t,0,),所引起的無輸入強迫項(無外力)時的,自由運動,。,為保證該齊次狀態(tài)方程,解的存在性和唯一性,在系統(tǒng)的時間定義域,t,0,t,f,

3、內(nèi),A,(,t,),的各元素為時間,t,的分段連續(xù)函數(shù)。,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,(2,/3),下面證明時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程,的解為,x,(,t,)=,(,t,t,0,),x,(,t,0,),式中,(,t,t,0,),為時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,它定義為如下矩陣微分方程的解。,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,(,3/3),證明,對解表達式,x,(,t,)=,(,t,t,0,),x,(,t,0,),求導,則有,且,x,(,t,0,)=,(,t,0,t,0,),x,(,t,0,)=,x,(,t,0,),說明式,x,(,t,)=,(,t,t,0,),x,(,t,0,),滿足齊次狀態(tài)方程及其

4、初始條件。,根據(jù)微分方程解的唯一性，所以它是齊次狀態(tài)方程的解。,時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解表示了系統(tǒng)自由運動的特性,也代表了初始狀態(tài),x,(,t,0,),的轉(zhuǎn)移,其轉(zhuǎn)移特性完全由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),決定。,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(1/1),3.3.2,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,下面進一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,主要內(nèi)容為:,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解,(1/7),1.,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,的求解,對于線性時變連續(xù)系統(tǒng),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),是如下矩陣微分方程和初始條件,(,t,),=,A,(,t,),(,t,),(,t,),

5、|,t,=0,=,I,的解,它是一個,n,n,維的關(guān)于時間變量,t,和,t,0,的矩陣函數(shù)。,為了求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),的表達式,可在時間域內(nèi)對該,矩陣微分方程積分,即有,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解,(2/7),如果將上式中積分號內(nèi)的,(,1,t,0,),再按上式展開,則有,然后按此法繼續(xù)迭代下去,并將各展開式代入式,(3-59),可得,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解,(3/7),于是,可得一個由無窮項之和組成的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),即,上式,就是線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算公式。,在一般情況下,它不能寫成封閉的解析形式。,在實際應用此公式時,可按一定的精度要求,用數(shù)值積分計算

6、方法去近似計算,t,1,時刻的,(,t,1,t,0,),的值。,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解,(4/7),當時變的系統(tǒng)矩陣,A,(,t,),滿足如下條件,時,時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解,可以表示為,的指數(shù)形式。,也就是說,只有,A,(,t,),與,A,(,)d,滿足矩陣乘法的可交換條件時,上述指數(shù)表達形式的解才成立,。,下面對這個條件給予證明。,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解,(5/7),將該指數(shù)表達形式,的右邊展開成級數(shù)形式,有,如果上式,是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,它必須滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義式。,于是,將上式的兩邊對時間取導數(shù),根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解表達式,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),的導數(shù)可表示為,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩

7、陣的求解,(6/7),比較上述兩式可知,只有,A,(,t,),和,A,(,)d,滿足乘法可交換條件時,時變系統(tǒng)的,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以表示為指數(shù)形式,。,因此,線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解也可表示為指數(shù)形式,即,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解,(7/7),上述,A,(,t,),和,A,(,)d,可交換條件,一般較難以檢驗是否成立。,事實上,根據(jù)該可交換條件有,上式對于任意時間變量,t,和,t,0,都成立的充分必要條件是,:,對于任意的,t,1,和,t,2,下式成立,A,(,t,1,),A,(,t,2,)=,A,(,t,2,),A,(,t,1,),所以,實際上較易于檢驗的條件,可取代,A,(,t,),和,A

8、,(,)d,可交換條件,成為時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解可表示為指數(shù)矩陣形式,的充分必要條件。,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),(,1/8),2.,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)如下。,1),(,t,t,)=,I,2),傳遞性,(,t,2,t,1,),(,t,1,t,0,)=,(,t,2,t,0,),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),(2,/8),證明,由于,x,(,t,2,)=,(,t,2,t,0,),x,(,t,0,),且,x,(,t,2,)=,(,t,2,t,1,),x,(,t,1,)=,(,t,2,t,1,),(,t,1,t,0,),x,(,t,0,),故有,(,t,2,t,0,),x,(,t,

9、0,)=,(,t,2,t,1,),(,t,1,t,0,),x,(,t,0,),由于上式對任意初始狀態(tài),x,(,t,0,),都成立,所以有,(,t,2,t,0,)=,(,t,2,t,1,),(,t,1,t,0,),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),(,3/8),3),可逆性,-1,(,t,t,0,)=,(,t,0,t,),證明,由性質(zhì),1),和,2),有,(,t,t,0,),(,t,0,t,)=,(,t,t,)=,I,故,-1,(,t,t,0,)=,(,t,0,t,),成立。,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),(,4/8),4),對角線矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,。,如果時變的系統(tǒng)矩陣,A,(,t,),如下,表示的對角線矩陣。,A

10、,(,t,)=diag,a,11,(,t,),a,22,(,t,) ,a,nn,(,t,),式中,a,ii,(,t,)(,i,=1,2,n,),為標量函數(shù),則,A,(,t,),的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),為如下對角線矩陣。,(,t,t,0,)=diag,11,(,t,t,0,),22,(,t,t,0,) ,nn,(,t,t,0,),式中,ii,(,t,t,0,)(,i,=1,2,n,),為滿足如下標量微分方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移,函數(shù),即,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),(,5/8),5),塊對角矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,。,如果時變的系統(tǒng)矩陣,A,(,t,),如下,表示的塊對角矩陣。,A,(,t,)=block

11、-diag,A,1,(,t,),A,2,(,t,) ,A,l,(,t,),式中,A,i,(,t,)(,i,=1,2,l,),為,m,i,m,i,維的分塊矩陣函數(shù),則,A,(,t,),的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),為如下塊對角矩陣。,(,t,t,0,)=block-diag,1,(,t,t,0,),2,(,t,t,0,) ,l,(,t,t,0,),式中,i,(,t,t,0,)(,i,=1,2,l,),為滿足如下,矩陣微分方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),(,6/8),例,3-9,例,3-,9,求如下時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),。,解,首先檢驗矩陣,A,(,t,),和,

12、A,(,)d,與是否可交換。,為此計算,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),(,7/8),例,3-9,因此,A,(,t,1,),A,(,t,2,)=,A,(,t,2,),A,(,t,1,),t,1,，,t,2,即矩陣,A,(,t,),和,A,(,)d,與滿足可交換條件,可由指數(shù)展開式方法計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,即,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),(,8/8),例,3-9,由于,而,于是,非齊次狀態(tài)方程的解,(1,/8),3.3.3,非齊次狀態(tài)方程的解,當具有外加輸入作用時,其狀態(tài)方程為如下非齊次狀態(tài)方程:,x,(,t,),=,A,(,t,),x,(,t,),+,B,(,t,),u,(,t,),該狀態(tài)方程在初始狀態(tài),(,t,),

13、下的解,也就是,由初始狀態(tài),x,(,t,0,),和輸入作用,u,(,t,),所引起的系統(tǒng)狀態(tài)的運動軌跡,。,非齊次狀態(tài)方程的解,(,2/8),下面將證明當輸入,u,(,t,),為分段連續(xù)時,該,非齊次,狀態(tài)方程的解為,證明,先設該,非齊次,狀態(tài)方程的解為,顯然,有,式中,(,t,),為待定函數(shù)。,非齊次狀態(tài)方程的解,(,3/8),將所設的解代入該狀態(tài)方程的左邊,有,將所設的解代入該非齊次狀態(tài)方程,的右邊,有,因此有,即,非齊次狀態(tài)方程的解,(,4/8),對上式兩端積分,可得,故該非齊次狀態(tài)方程的解為,當系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型中輸出方程為,y,(,t,)=,C,(,t,),x,(,t,)+,D,(,

14、t,),u,(,t,),時,系統(tǒng)的輸出為,非齊次狀態(tài)方程的解,(,5/8),比較線性定常連續(xù)系統(tǒng)與線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解的表示形式:,定常系統(tǒng),時變系統(tǒng),初始狀態(tài)的影響,初始時刻后輸入的影響,為脈沖響應函數(shù)與輸入的卷積,非齊次狀態(tài)方程的解,(,6/8),與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的解比較可知,線性時變連續(xù)系統(tǒng)與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的解的結(jié)構(gòu)和形式相同,都為狀態(tài)的零輸入響應和零狀態(tài)響應的和。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的解可視為線性時變連續(xù)系統(tǒng)相應的解的一種特殊形式。,在,A,(,t,),為時不變時,時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,t,0,),即為定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,(,t,-,t,0,),。,由此可以看出引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的重要性。,只有引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,才能使時變系統(tǒng)和定常系統(tǒng)的求解公式建立統(tǒng)一的形式。,非齊次狀態(tài)方程的解,(,7/8),例,3-10,求如下時變系統(tǒng)在階躍輸入時的狀態(tài)變量的值。,解,由例,3-,9,有,非齊次狀態(tài)方程的解,(,8/8),由時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解表達式,有,