《2017-2018學年度高中數學 第三章 導數及其應用 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課后提升訓練【含解析】新人教A版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年度高中數學 第三章 導數及其應用 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課后提升訓練【含解析】新人教A版選修1-1（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、生活中的優(yōu)化問題舉例(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.用長為24m的鋼筋做成一個長方體框架,若這個長方體框架的底面為正方形,則這個長方體體積的最大值為()A.8m3B.12m3C.16m3D.24m3【解析】選A.設長方體的底面邊長為xm,則高為(6-2x)m,所以0x0),L=2-512x2.令L=0,得x=16或x=-16(舍去).因為L在(0,+)上只有一個極值點,所以它必是最小值點.因為x=16,所以512x=32.故當堆料場的寬為16m,長為32m時,可使砌墻所用的材料最省.3.已知某生產廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產量x(單位:萬件)的函數關系式為y=-1
2、3x3+81x-234,則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為()A.13萬件B.11萬件C.9萬件D.7萬件【解析】選C.y=-x2+81,令y=0,解得x=9或x=-9(舍去).當0x0,當x9時,y0),則獲得利潤最大時的年產量為()A.1百萬件B.2百萬件C.3百萬件D.4百萬件【解析】選C.因為y=-x3+27x+123(x0),所以y=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x0),所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函數,在(3,+)上是減函數,故當x=3時,獲得最大利潤.5.(2017梅州高二檢測)設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,則其表面積最小時,底面邊長為
3、()A.3VB.32VC.34VD.23V【解析】選C.如圖,設底面邊長為x(x0),則底面積S=34x2,所以h=VS=4V3x2.S表=x4V3x23+34x22=43Vx+32x2,S表=3x-43Vx2,令S表=0得x=34V,因為S表只有一個極值,故x=34V為最小值點.6.如圖,在等腰梯形ABCD中,CD=40,AD=40,梯形ABCD的面積最大時,AB等于()A.40B.60C.80D.120【解析】選C.設BAD=,則AB=40+240cos,梯形高h=40sin,從而梯形面積S=1600(1+cos)sin.故S=1600(cos+cos2).令S=0,得cos=-1(舍)或
4、cos=12,即=3,此時AB=80,即當AB=80時,梯形有最大面積12003.7.某商場從生產廠家以每件20元的價格購進一批商品.若該商品零售價定為P元,銷售量為Q,銷售量Q(單位:件)與零售價P(單位:元)有如下關系:Q=8300-170P-P2,則最大毛利潤為(毛利潤=銷售收入-進貨支出)()A.30元B.60元C.28000元D.23000元【解析】選D.設毛利潤為L(P),由題意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11700P-166000,所以L(P)=-3P2-300P+11700,令L(P)=0,解得P=30
5、或P=-130(舍去).此時,L(30)=23000.根據實際問題的意義知,L(30)是最大值,即零售價定為每件30元時,最大毛利潤為23000元.8.(2017昆明高二檢測)某公司生產一種產品,固定成本為20000元,每生產一單位的產品,成本增加100元,若總收入R與年產量x的關系是R(x)=-x3900+400x,0x390,90 090,x390,則當總利潤最大時,每年生產產品的單位數是()A.150B.200C.250D.300【解析】選D.因為總利潤p(x)=-x3900+300x-20 000,0x390,90 090-100x-20 000,x390,當0x390時,p(x)=-
6、1300x2+300,令p(x)=0,得x=300,當x(0,300)時,p(x)0,p(x)遞增,當x(300,390)時,p(x)390時,p(x)=90090-100x-2000090090-100390-20000=3109040000,所以當x=300時,總利潤最大.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2017河源高二檢測)把長為60cm的鐵絲圍成矩形,長為,寬為時,矩形的面積最大.【解析】設長為xcm,則寬為(30-x)cm,此時S=x(30-x)=30x-x2,令S=30-2x=0,所以x=15.當0x0,當15x30時,S0),所以y=21-40 000x2,令y=0,解得
7、x=200(x=-200舍去),這時y=800.當0x200時,y200時,y0,所以當x=200時,y取得最小值,故其周長至少為800m.答案:80010.某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站千米處.【解析】設倉庫與車站相距x千米,依題意可設每月土地占用費y1=k1x,每月庫存貨物的運費y2=k2x,其中x是倉庫到車站的距離,k1,k2是比例系數,于是由2=k110得k1=20;由8=10k2得k
8、2=45.所以兩項費用之和為y=20x+4x5(x0),y=-20x2+45,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).當0x5時,y5時,y0.所以當x=5時,y取得極小值,也是最小值.所以當倉庫建在離車站5千米處時,兩項費用之和最小.答案:5三、解答題(每小題10分,共20分)11.甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/時,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成.可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,比例系數為b(b0),固定部分為a元.(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數,并指出這個函數的定義域.(2)為了使全程
9、運輸成本最小,汽車應以多大的速度行駛?【解析】(1)依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為sv,全程運輸成本為y=asv+bv2sv=sav+bv,故所求函數及其定義域為y=sav+bv,v(0,c.(2)由題意知s,a,b,v均為正數.由y=sb-av2=0得v=ab,0c,v(0,c,此時yc時,行駛速度v=c.12.某種產品每件成本為6元,每件售價為x元(6x11),年銷量為u萬件,若已知5858-u與x-2142成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.(1)求年利潤y萬元關于售價x的函數關系式.(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.【解析】(1)設5858-u=k
10、x-2142,因為售價為10元時,年銷量為28萬件,所以5858-28=k10-2142,解得k=2.所以u=-2x-2142+5858=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6x0;當x(9,11)時,y0.所以函數y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.所以當x=9時,ymax=135,所以售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元.【能力挑戰(zhàn)題】某汽車生產企業(yè)上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為13萬元/輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產品檔次,適當增加投入成本,若每輛車的投入成本增加的比例為x(0x0,f(x)是增函數;當x59,1時,f(x)0,f(x)是減函數.所以當x=59時,f(x)取極大值,f59=20000,因為f(x)在(0,1)內只有一個極大值,所以它是最大值.所以當x=59時,本年度的年利潤最大,最大利潤為20000萬元.8
2017-2018學年度高中數學 第三章 導數及其應用 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課后提升訓練【含解析】新人教A版選修1-1
