2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1

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1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.已知雙曲線x225-y29=1上有一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為12,那么點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為()A.2B.22C.7或17D.2或22【解析】選D.由題意知:|PF1|=12,則|PF1|-|PF2|=2a=10,所以|PF2|=1210,所以|PF2|=22或2.經(jīng)檢驗(yàn),均符合題意.2.(2015福建高考)若雙曲線E:x29-y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【解析】選B.因?yàn)镻F1-PF2=2a,所以PF1-PF2=6,所以PF2=9

2、或-3(舍去).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A,B兩點(diǎn),線段AB的長(zhǎng)為5,若2a=8,那么ABF2的周長(zhǎng)是()A.16B.18C.21D.26【解析】選D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.3.(2017嘉興高二檢測(cè))在平面內(nèi),已知雙曲線C:x29-y216=1的焦點(diǎn)為F1,F2,則|PF1|-|PF2|=6是點(diǎn)P在雙曲線C上的()A

3、.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件【解析】選B.點(diǎn)P在雙曲線C上的充要條件為|PF1|-|PF2|=6,故|PF1|-|PF2|=6為點(diǎn)P在雙曲線上的充分不必要條件.4.設(shè),32,則關(guān)于x,y的方程x2sin-y2cos=1所表示的曲線是()A.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓【解析】選A.因?yàn)?32,所以sin0,cos0,所以y2-cos-x2-sin=1為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.5.與橢圓x24+y2=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線方程是()A.x24-y2=1B.x22-y2=1C.x23-y

4、23=1D.x2-y22=1【解析】選B.橢圓的焦點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0),由雙曲線定義知2a=|PF1|-|PF2|=|(2+3)2+1-(2-3)2+1|=|8+43-8-43|=22,所以a=2,所以b2=c2-a2=1,所以雙曲線方程為x22-y2=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】橢圓x24+y2m2=1與雙曲線x2m2-y22=1有相同的焦點(diǎn),則m的值是()A.1B.1C.-1D.不存在【解析】選A.驗(yàn)證法:當(dāng)m=1時(shí),m2=1,對(duì)橢圓來(lái)說(shuō),a2=4,b2=1,c2=3.對(duì)雙曲線來(lái)說(shuō),a2=1,b2=2,c2=3,故當(dāng)m=1時(shí),它們有相同的焦點(diǎn).直接法:顯然雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,故4-m2=

5、m2+2.所以m2=1,即m=1.6.一動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M(-4,0),且與已知圓N:(x-4)2+y2=16相切,則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是()A.x24-y212=1(x2)B.x24-y212=1(x2)C.x24-y212=1D.y24-x212=1【解析】選C.由已知N(4,0),內(nèi)切時(shí),定圓N在動(dòng)圓P的內(nèi)部,有|PN|=|PM|-4,外切時(shí),有|PN|=|PM|+4,故|PM|-|PN|=4,因此2a=4,2c=8,所以b2=12,點(diǎn)P的軌跡是雙曲線x24-y212=1.【誤區(qū)警示】本題易把“相切”理解為外切或內(nèi)切,錯(cuò)選A或B.7.方程x24-t+y2t-2=1所表示的曲線為C,有下列命

6、題:若曲線C為橢圓,則2t4或t2;曲線C不可能是圓;若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則3tb0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m0,n0)有公共焦點(diǎn)F1,F2,P是它們的一個(gè)公共點(diǎn).(1)用b和n表示cosF1PF2.(2)設(shè)SF1PF2=f(b,n),求f(b,n).【解析】(1)令|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,在F1PF2中,有|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos.因?yàn)镻是橢圓和雙曲線的公共點(diǎn),則r1+r2=2a,且|r1-r2|=2m,所以4c2=(r1+r2)2-2r1r2(1+cos),且4c2=(r1-r2)2+2r1r2(1-cos),所以r1

7、r2=2b21+cos=2n21-cos,所以cos=b2-n2b2+n2.(2)由(1),r1r2=2b21+b2-n2b2+n2=b2+n2,而sin=1-cos2=2bnb2+n2,所以SF1PF2=f(b,n)=12r1r2sin=bn.【拓展延伸】雙曲線的定義對(duì)于解題的主要作用雙曲線的定義對(duì)于解題具有雙向作用:(1)可用來(lái)判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線(或雙曲線的一支).(2)可以用來(lái)解決焦點(diǎn)三角形和焦點(diǎn)弦的有關(guān)問(wèn)題.12.在ABC中,B(4,0),C(-4,0),動(dòng)點(diǎn)A滿(mǎn)足sinB-sinC=12sinA,求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程.【解析】設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),在ABC中,由正弦定

8、理,得asinA=bsinB=csinC=2R,代入sinB-sinC=12sinA,得|AC|2R-|AB|2R=12|BC|2R,又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.因此A點(diǎn)的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(除去右頂點(diǎn))且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.所以A點(diǎn)的軌跡方程為x24-y212=1(x2).【能力挑戰(zhàn)題】(2017南京高二檢測(cè))已知OFQ的面積為26,且OFFQ=m.(1)設(shè)6m46,求OF與FQ的夾角的正切值的取值范圍.(2)設(shè)以O(shè)為中心,F為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,如圖所示,|OF|=c,m=64-1c2,當(dāng)|OQ|取得最小值時(shí),求此雙曲線的方程.【解析】(1)因?yàn)?2|OF|FQ|sin(-)=26,|OF|FQ|cos=m,又因?yàn)?m46,所以1tan0,b0),Q(x1,y1),則FQ=(x1-c,y1),所以SOFQ=12|OF|y1|=26,所以y1=46c.又OFFQ=m,即(c,0)(x1-c,y1)=64-1c2,解得x1=64c,所以|OQ|=x12+y12=38c2+96c212,當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí),|OQ|最小,這時(shí)Q的坐標(biāo)為(6,6)或(6,-6).因?yàn)?a2-6b2=1,a2+b2=16,所以a2=4,b2=12,故所求的雙曲線方程為x24-y212=1.7