《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程單元質(zhì)量評估【含解析】新人教A版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程單元質(zhì)量評估【含解析】新人教A版選修1-1（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二章 圓錐曲線與方程單元質(zhì)量評估(二) (120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.設(shè)P是橢圓x2169+y2144=1上一點,F1,F2是橢圓的焦點,若|PF1|等于4,則|PF2|等于()A.22B.21C.20D.13【解析】選A.由橢圓的定義知,|PF1|+|PF2|=26,因為|PF1|=4,所以|PF2|=22.2.(2015廣東高考)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1的離心率e=54,且其右焦點F2(5,0),則雙曲線C的方程為()A.x24-y23=1B.x216-y29=1C.x29-y
2、216=1D.x23-y24=1【解析】選B.因為所求雙曲線的右焦點為F25,0且離心率為e=ca=54,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求雙曲線方程為x216-y29=1.【補償訓(xùn)練】與橢圓x29+y24=1有相同焦點,并且經(jīng)過點(2,-3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【解析】由x29+y24=1知焦點F1(-5,0),F2(5,0).依題意,設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a0,b0).所以a2+b2=5,又點(2,-3)在雙曲線x2a2-y2b2=1上,所以4a2-3b2=1.聯(lián)立得a2=2,b2=3,因此所求雙曲線的方程為x22-y23=1.答案:x22-y23=13
3、.已知離心率為e的雙曲線和離心率為22的橢圓有相同的焦點F1,F2,P是兩曲線的一個公共點,若F1PF2=3,則e等于()A.52B.52C.62D.3【解題指南】在F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定義和已知條件消元.【解析】選C.設(shè)橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實半軸長為a2,焦距為2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨設(shè)mn,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.又F1PF2=3,所以4c2=m2+n2-mn=a12+3a22,所以a12c2+3a22c2=4,即1222+3e2=4,解得e=62.【補償訓(xùn)練】(2017佛山高二檢測)已知橢圓的兩個
4、焦點和短軸的兩個端點恰好為一個正方形的四個頂點,則該橢圓的離心率為()A.13B.12C.33D.22【解析】選D.依題意,橢圓的焦距和短軸長相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=22.故選D.4.設(shè)F1,F2是雙曲線x2-y224=1的兩個焦點,P是雙曲線上的一點,且3|PF1|=4|PF2|,則PF1F2的面積等于()A.42B.83C.24D.48【解析】選C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|PF2|,由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10,所以PF1F2為直角三
5、角形,SPF1F2=12|PF1|PF2|=24.【拓展延伸】圓錐曲線中的焦點三角形問題解法(1)PF1F2由兩焦點和曲線上一點形成,我們把這種三角形叫焦點三角形.焦點三角形問題的主要類型有:周長、面積、角度等,通常會用到圓錐曲線的定義、正弦定理、余弦定理、面積公式等.(2)焦點三角形的面積主要有兩種求法:SPF1F2=12r1r2sinF1PF2和SPF1F2=122c|yP|.(3)涉及焦點、頂點、曲線上點(頂點以外)等問題,抓住幾個特征三角形,舉一反三.這是一個考查重點,容易出現(xiàn)離心率的值(或范圍)的運算.5.橢圓x216+y24=1上的點到直線x+2y-2=0的最大距離是()A.3B.
6、11C.22D.10【解析】選D.設(shè)直線方程為x+2y+b=0,x+2y+b=0,x216+y24=1得8y2+4by+b2-16=0,=16b2-48(b2-16)=0得b=42.d=|42+2|5=10.6.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1的右頂點作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,O兩點(O為坐標(biāo)原點),則雙曲線C的方程為()A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1【解析】選A.設(shè)右焦點為F,由題意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+
7、b2=16,故a=2,b2=12,所以方程為x24-y212=1.7.(2017全國乙卷)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1, l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為()A.16B.14C.12D.10【解析】選A.設(shè)直線l1方程為y=k1(x-1),聯(lián)立方程y2=4x,y=k1(x-1),得k12x2-2k12x-4x+k12=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以x1+x2=-2k12-4k12=2k12+4k12,同理直線l2與拋物線的交點滿足x3+x4=2k2
8、2+4k22,由拋物線定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12k22+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)k1=-k2=1(或-1)時,取得等號.8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,2B.(1,2)C.2,+)D.(2,+)【解析】選C.如圖所示,要使過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率小于等于漸近線的斜率ba,所以ba3,離心率e2=c2a2=a2+b
9、2a24,所以e2.9.如果橢圓x236+y29=1的弦被點(4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=0【解析】選D.設(shè)這條弦的兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2),斜率為k,則x1236+y129=1,x2236+y229=1,兩式相減再變形得x1+x236+ky1+y29=0,又弦中點為(4,2),故k=-12,故這條弦所在的直線方程y-2=-12(x-4),整理得x+2y-8=0.10.若拋物線y2=8x的焦點是F,準(zhǔn)線是l,則經(jīng)過點F,M(3,3)且與l相切的圓共有()A.0個B.1個C.2個D.4個
10、【解析】選B.由題意得F(2,0), l:x=-2,線段MF的垂直平分線方程為y-32=-3-23-0(x-52),即x+3y-7=0,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),則圓心在x+3y-7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,由題意得|a-(-2)|=(a-2)2+b2,即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.又b0,故此方程只有一個根,于是滿足題意的圓只有一個.【補償訓(xùn)練】(2017蘭州模擬)已知拋物線y2=2px(p0)上一點M(1,m)(m0)到其焦點的距離為5,雙曲線x2a-y2=1的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實數(shù)a=()A.19B.14C.13
11、D.12【解析】選A.根據(jù)題意,拋物線y2=2px(p0)上一點M(1,m)到其焦點的距離為5,則1+p2=5,解得p=8;即拋物線的方程為y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐標(biāo)為(1,4),雙曲線x2a-y2=1的左頂點為A,則a0,且A的坐標(biāo)為-a,0,漸近線方程為y=1ax,因為雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,所以kAM=41+a=1a,解得a=19.11.(2017珠海高二檢測)已知F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上的任意一點,若|PF1|2|PF2|的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.(1,+
12、)B.(1,2C.(1,3D.(1,3【解析】選D.|PF1|2|PF2|=(2a+|PF2|)2|PF2|=4a2|PF2|+|PF2|+4a4a+4a=8a,當(dāng)且僅當(dāng)4a2|PF2|=|PF2|,即|PF2|=2a時取等號.這時|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|F1F2|,得6a2c,即e=ca3,得e(1,3.12.若a0且ab0,則曲線ax-y+b=0和bx2+ay2=ab的形狀可能是下圖中的()【解析】選C.將bx2+ay2=ab化為x2a+y2b=1,若此方程表示雙曲線,則ab0時,b0,表示焦點在x軸上的雙曲線;當(dāng)a0,表示焦點在y軸上的雙曲線.易判斷選項C符合;當(dāng)a0,
13、b0時,方程表示橢圓,此時B,D都不符合.二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2017南昌高二檢測)在平面直角坐標(biāo)系中,O是原點,OA=(1,0),P是平面內(nèi)的動點,若|OP-OA|=|OPOA|,則P點的軌跡方程是_.【解析】設(shè)P(x,y),則OP=(x,y),又因為|OP-OA|=|OPOA|,所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.答案:y2=2x-114.(2017蘭州高二檢測)直線y=x+3與曲線y29-x|x|4=1的公共點的個數(shù)為_.【解析】當(dāng)x0時,y29-x|x|4=1化為y29-x24=1;當(dāng)x0時,y29-x|x
14、|4=1化為y29+x24=1,所以曲線y29-x|x|4=1是由半個雙曲線和半個橢圓組成的圖形,結(jié)合圖象可知(如圖),直線y=x+3與曲線x29-x|x|4=1的公共點的個數(shù)為3.答案:315.(2017江西高二檢測)已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,滿足MF1MF2=0的點M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓的離心率的取值范圍是_.【解析】因為MF1MF2=0,所以MF1MF2.假設(shè)橢圓在坐標(biāo)軸正方向上的短軸端點B,則F1BF2即橢圓上點與橢圓焦點夾角的最大值,由M在橢圓內(nèi)部,所以F1BF2c,所以b2=a2-c2c2,所以e212,即0eb0)的兩焦點關(guān)于直線y=x的對稱點均在橢圓內(nèi)部,則橢圓的離心率e
15、的取值范圍為_.【解析】由已知得兩焦點為(c,0),其關(guān)于直線y=x的對稱點為(0,c)均在橢圓內(nèi)部,則c2b21,得c2a2-c21,e21-e21,解得0e0),過焦點F且斜率為k(k0)的直線與C相交于A,B兩點,若AF=3FB,則k=_.【解析】設(shè)直線l為拋物線的準(zhǔn)線,過A,B分別作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過B作BE垂直于AA1于點E,則|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由AF=3FB,所以cosBAE=|AE|AB|=12,所以BAE=60,所以tanBAE=3.即k=3.答案:3三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程
16、或演算步驟)17.(10分)(2017鄭州高二檢測)已知點M在橢圓x236+y29=1上,MP垂直于橢圓焦點所在的直線,垂足為P,并且M為線段PP的中點,求P點的軌跡方程.【解析】設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,y),M點的坐標(biāo)為(x0,y0).因為點M在橢圓x236+y29=1上,所以x0236+y029=1.因為M是線段PP的中點,所以x0=x,y0=y2,把x0=x,y0=y2,代入x0236+y029=1,得x236+y236=1,即x2+y2=36.所以P點的軌跡方程為x2+y2=36.18.(12分)已知橢圓C的焦點F1(-22,0)和F2(22,0),長軸長6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A,
17、B兩點,求線段AB的中點坐標(biāo).【解析】由已知條件得橢圓的焦點在x軸上,其中c=22,a=3,從而b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是:x29+y2=1.聯(lián)立方程組x29+y2=1,y=x+2,消去y得,10x2+36x+27=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M(x0,y0),則x1+x2=-185,x0=x1+x22=-95,所以y0=x0+2=15,所以線段AB中點坐標(biāo)為-95,15.19.(12分)已知點F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點,A是橢圓C的上頂點,B是直線AF2與橢圓C的另一個交點,F1AF2=60.(1)求橢圓C的離心率.(2)
18、已知AF1B的面積為403,求a,b的值.【解析】(1)由題意知AF1F2為正三角形,a=2c,e=ca=12.(2)直線AB的方程為y=-3(x-c),x2a2+y2b2=1,y=-3(x-c),(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0.由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.代入中得5x2-8cx=0,x=0或x=8c5,得A(0,3c),B8c5,-335c,得|AB|=16c5.由AF1B的面積為403,得12|AB|AF1|sin60=403,1216c5a32=403,解得c=5,a=10,b=53.20.(12分)過拋物線y2=4x的焦點F的直線與
19、這條拋物線交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.(1)求AOB的重心G的軌跡方程.(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45時,試求拋物線的準(zhǔn)線上一點P的坐標(biāo),使APBP.【解析】(1)拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0).當(dāng)直線l不垂直于x軸時,設(shè)l:y=k(x-1),代入y2=4x得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.因為l與拋物線相交于兩點,所以k0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1.因為y1=kx1-k,y2=kx2-k,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=4k,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.設(shè)AOB的重心G(x,y),則x=
20、0+x1+x23=23+43k2,y=0+y1+y23=43k,消去k并整理得y2=43x-89.當(dāng)l垂直于x軸時,A,B的坐標(biāo)分別是(1,2)和(1,-2),AOB的重心G23,0也適合y2=43x-89,因此所求軌跡方程為y2=43x-89.(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45時,k=1,所以x1+x2=6,y1+y2=4.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線上一點P(-1,y0).因為APBP,所以y1-y0x1+1y2-y0x2+1=-1,即y1y2-y0(y1+y2)+y02x1x2+(x1+x2)+1=-1,-4-4y0+y021+6+1=-1,解得y0=2,故所求點P的坐標(biāo)為(-1,2).21.(12分)(2
21、016全國卷)已知A是橢圓E:x24+y23=1的左頂點,斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MANA.(1)當(dāng)|AM|=|AN|時,求AMN的面積.(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時,證明:3k0,由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為4,又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2,將x=y-2代入x24+y23=1,得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此AMN的面積為212127127=14449.(2)設(shè)直線AM的方程為y=k(x+2)(k0),代入x24+y23=1,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,由x1(-2)
22、=16k2-123+4k2,得x1=-8k2-63+4k2,故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2,由題意設(shè)直線AN的方程為y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4,由2|AM|=|AN|,得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0,設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點,f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)上單調(diào)遞增,又f(3)=153-260,因此f(t)在(0,+)上有唯一的零點,且零點k在(3,2)內(nèi),故3kb0)的右焦點為F(2,0),M為橢圓的上頂點,O為坐標(biāo)原
23、點,且MOF是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程.(2)過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=8,證明:直線AB過定點-12,-2.【解題指南】(1)根據(jù)幾何性質(zhì)求出a,b,然后代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)以參數(shù)k,m表示直線方程,代入橢圓方程,設(shè)出A,B的坐標(biāo),利用根與系數(shù)的關(guān)系和k1+k2=8求出m,k的關(guān)系式,建立直線AB的方程,證明直線過定點.【解析】(1)由MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故橢圓方程為x28+y24=1.(2)若直線AB的斜率存在,設(shè)AB方程為y=kx+m,依題意m2.設(shè)A(x1,y1),B(
24、x2,y2),由x28+y24=1,y=kx+m得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.則x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.由已知k1+k2=8,可得y1-2x1+y2-2x2=8,所以kx1+m-2x1+kx2+m-2x2=8,即2k+(m-2)x1+x2x1x2=8.所以k-mkm+2=4,整理得m=12k-2.故直線AB的方程為y=kx+12k-2,即y=kx+12-2.所以直線AB過定點-12,-2.若直線AB的斜率不存在,設(shè)AB方程為x=x0,設(shè)A(x0,y0),B(x0,-y0),由已知y0-2x0+-y0-2x0=8,得x0=-12.此時AB
25、方程為x=-12,顯然過點-12,-2.綜上,直線AB過定點-12,-2.【補償訓(xùn)練】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).【解析】(1)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(ab0),且a+c=3,a-c=1,所以a=2,c=1,所以b2=3,所以x24+y23=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4
26、k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,3+4k2-m20.又x1+x2=-8mk3+4k2,x1x2=4(m2-3)3+4k2,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=3(m2-4k2)3+4k2.因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),所以kADkBD=-1,即y1x1-2y2x2-2=-1,所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,3(m2-4k2)3+4k2+4(m2-3)3+4k2+16mk3+4k2+4=0,7m2+16mk+4k2=0,解得m1=-2k,m2=-2k7,且滿足3+4k2-m20.當(dāng)m=-2k時,l:y=k(x-2),直線過定點(2,0),與已知矛盾;當(dāng)m=-2k7時,l:y=kx-27,直線過定點27,0. 綜上可知,直線l過定點,定點坐標(biāo)為27,0. 16
2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程單元質(zhì)量評估【含解析】新人教A版選修1-1
