（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 思想方法訓(xùn)練2 分類討論思想-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、思想方法訓(xùn)練2分類討論思想思想方法訓(xùn)練第4頁一、能力突破訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax,x1,2ax-5,x1,若存在x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,2)B.(-,4)C.2,4D.(2,+)答案:B解析:當(dāng)-a-21時(shí),顯然滿足條件,即a2a-5,即2a4.綜上知,a0,且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),則p,q的大小關(guān)系是()A.p=qB.pqD.當(dāng)a1時(shí),pq;當(dāng)0a1時(shí),pq答案:C解析:當(dāng)0a1時(shí),y=ax和y=logax在其定義域上均為減函數(shù),a3+1loga(a2+1),即pq.當(dāng)a1時(shí)

2、,y=ax和y=logax在其定義域上均為增函數(shù),a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.綜上可得,pq.4.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的漸近線方程為y=34x,則該雙曲線的離心率為()A.54B.53C.54或53D.35或45答案:C解析:當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),ba=34,此時(shí)離心率e=ca=54;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),ab=34,此時(shí)離心率e=ca=53,故選C.5.已知A,B為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),過該平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M作直線AB的垂線,垂足為N,MN2=ANNB,其中為常數(shù),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不可能是()A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線答案:C解析:不妨設(shè)|

3、AB|=2,以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)M(x,y),則N(x,0),MN=(0,-y),AN=(x+1,0),NB=(1-x,0).代入已知式子得x2+y2=,當(dāng)=1時(shí),曲線為圓;當(dāng)=2時(shí),曲線為橢圓;當(dāng)0,且x1,則函數(shù)y=lg x+logx10的值域?yàn)?)A.RB.2,+)C.(-,-2D.(-,-22,+)答案:D解析:當(dāng)x1時(shí),y=lgx+logx10=lgx+1lgx2lgx1lgx=2;當(dāng)0x0,且a1)在區(qū)間1,2上的最大值比最小值大a2,則a的值是.答案:12或32解析:當(dāng)a1時(shí),y=ax在區(qū)間1,2上單

4、調(diào)遞增,故a2-a=a2,得a=32;當(dāng)0a1時(shí),y=ax在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減,故a-a2=a2,得a=12.故a=12或a=32.10.已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=0,01,則方程|f(x)+g(x)|=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為.答案:4解析:f(x)=-lnx,01,g(x)=0,0x1,2-x2,1x2,x2-6,x2.當(dāng)0x1時(shí),方程化為|-lnx+0|=1,解得x=1e或x=e(舍去).所以此時(shí)方程只有1個(gè)實(shí)根1e.當(dāng)1x2時(shí),方程可化為|lnx+2-x2|=1.設(shè)h(x)=lnx+2-x2,則h(x)=1x-2x=1-2x2x.因?yàn)?x2,所以h(x)=1-2x2x0,即函數(shù)

5、h(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減.因?yàn)閔(1)=ln1+2-12=1,h(2)=ln2+2-22=ln2-2,所以h(x)(ln2-2,1).又ln2-2-1,故當(dāng)1x2時(shí)方程只有1解.當(dāng)x2時(shí),方程可化為|lnx+x2-6|=1.記函數(shù)p(x)=lnx+x2-6,顯然p(x)在區(qū)間2,+)內(nèi)單調(diào)遞增.故p(x)p(2)=ln2+22-6=ln2-21,所以方程|p(x)|=1有兩個(gè)解,即方程|lnx+x2-6|=1有兩個(gè)解.綜上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4個(gè)實(shí)根.11.已知函數(shù)f(x)=2asin2x-23asin xcos x+a+b(a0)的定義域?yàn)?,2,值域?yàn)?5,1

6、,求常數(shù)a,b的值.解:f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b=-2asin2x+6+2a+b.x0,2,2x+66,76,-12sin2x+61.因此,由f(x)的值域?yàn)?5,1,可得a0,-2a-12+2a+b=1,-2a1+2a+b=-5或a0,函數(shù)f(x)=12x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處與直線y=-x+1垂直的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解:(1)由題意知x0,f(x)=x-(a+1)+ax.因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處切線的斜率為1,所以f(2)=1,即2-(a+1)+a2=1,所以a=0

7、,此時(shí)f(2)=2-2=0,故曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為x-y-2=0.(2)f(x)=x-(a+1)+ax=x2-(a+1)x+ax=(x-1)(x-a)x.當(dāng)0a0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(a,1),則f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.此時(shí)x=a是f(x)的極大值點(diǎn),x=1是f(x)的極小值點(diǎn),函數(shù)f(x)的極大值是f(a)=-12a2+alna,極小值是f(1)=-12.當(dāng)a=1時(shí),若x(0,1),則f(x)0,若x=1,則f(x)=0,若x(1,+),則f(x)0,所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,此時(shí)f(x)沒有極值點(diǎn),也無極值.當(dāng)a1時(shí),若x(0,1),則f

8、(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(1,a),則f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,此時(shí)x=1是f(x)的極大值點(diǎn),x=a是f(x)的極小值點(diǎn),函數(shù)f(x)的極大值是f(1)=-12,極小值是f(a)=-12a2+alna.綜上,當(dāng)0a1時(shí),f(x)的極大值是-12,極小值是-12a2+alna.二、思維提升訓(xùn)練13.若直線l過點(diǎn)P-3,-32且被圓x2+y2=25截得的弦長是8,則直線l的方程為()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-32C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0答案:D解析:若直線l的斜率不存在,則該直線的方程為x=-3,代入圓的方程解得y=4,故直線l被圓截得

9、的弦長為8,滿足條件.若直線l的斜率存在,不妨設(shè)直線l的方程為y+32=k(x+3),即kx-y+3k-32=0.因?yàn)橹本€l被圓截得的弦長為8,所以半弦長為4.又圓的半徑為5,所以圓心(0,0)到直線l的距離為52-42=3k-32k2+1,解得k=-34,此時(shí)直線l的方程為3x+4y+15=0.14.(2019浙江,9)設(shè)a,bR,函數(shù)f(x)=x,x0,13x3-12(a+1)x2+ax,x0.若函數(shù)y=f(x)-ax-b恰有3個(gè)零點(diǎn),則()A.a-1,b0B.a0C.a-1,b-1,b0答案:C解析:當(dāng)x0時(shí),由x=ax+b,得x=b1-a,最多一個(gè)零點(diǎn)取決于x=b1-a與0的大小,所以

10、關(guān)鍵研究當(dāng)x0時(shí),方程13x3-12(a+1)x2+ax=ax+b的解的個(gè)數(shù),令b=13x3-12(a+1)x2=13x2x-32(a+1)=g(x).畫出三次函數(shù)g(x)的圖象如圖所示,可以發(fā)現(xiàn)分類討論的依據(jù)是32(a+1)與0的大小關(guān)系.若32(a+1)0,即a0,即a-1時(shí),x=0處為偶重零點(diǎn),x=32(a+1)為奇重零點(diǎn),當(dāng)b0時(shí)g(x)與y=b可以有兩個(gè)交點(diǎn),且此時(shí)要求x=b1-a0,故-1a1,b0,選C.15.已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=|x2-ax|在區(qū)間0,1上的最大值記為g(a).當(dāng)a=時(shí),g(a)的值最小.答案:22-2解析:當(dāng)a0時(shí),在區(qū)間0,1上,f(x)=|x2-a

11、x|=x2-ax,且在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得的最大值為f(1)=1-a;當(dāng)0a1時(shí),f(x)=-x2+ax,0xa,x2-ax,ax1在區(qū)間0,a2內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間a2,a上單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,1上單調(diào)遞增,且fa2=a24,f(1)=1-a.a24-(1-a)=14(a2+4a-4),當(dāng)0a22-2時(shí),a241-a.當(dāng)22-2a1時(shí),a241-a;當(dāng)1a2時(shí),f(x)=-x2+ax在區(qū)間0,a2內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間a2,1內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x=a2時(shí),f(x)取得最大值fa2=a24;當(dāng)a2時(shí),f(x)=-x2+ax在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最大值

12、f(1)=a-1.則g(a)=1-a,a22-2,a24,22-2a2,a-1,a2在區(qū)間(-,22-2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間22-2,+)內(nèi)單調(diào)遞增,即當(dāng)a=22-2時(shí),g(a)有最小值.16.已知函數(shù)f(x)=aln x+x2(a為實(shí)數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,e上的最小值及相應(yīng)的x值;(2)若存在x1,e,使得f(x)(a+2)x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)f(x)=alnx+x2的定義域?yàn)?0,+),f(x)=ax+2x=2x2+ax.當(dāng)x1,e時(shí),2x22,2e2.若a-2,則f(x)在區(qū)間1,e上非負(fù)(僅當(dāng)a=-2,x=1時(shí),f(x)=0),故f(x)在區(qū)間1,e上單

13、調(diào)遞增,此時(shí)f(x)min=f(1)=1;若-2e2a-2,令f(x)0,解得1x0,解得-a2xe,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f-a2=a2ln-a2a2;若a-2e2,f(x)在區(qū)間1,e上非正(僅當(dāng)a=-2e2,x=e時(shí),f(x)=0),故f(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞減,此時(shí)f(x)min=f(e)=a+e2.綜上所述,當(dāng)a-2時(shí),f(x)min=1,相應(yīng)的x=1;當(dāng)-2e2a-2時(shí),f(x)min=a2ln-a2a2,相應(yīng)的x=-a2;當(dāng)a-2e2時(shí),f(x)min=a+e2,相應(yīng)的x=e.(2)不等式f(x)(a+2)x可化為a(x-lnx)x2-2x.由x1,e,知

14、lnx1x且等號(hào)不能同時(shí)成立,得lnx0,因而ax2-2xx-lnx,x1,e.令g(x)=x2-2xx-lnx(x1,e),則g(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2,當(dāng)x1,e時(shí),x-10,lnx1,x+2-2lnx0,從而g(x)0(僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),所以g(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增,故g(x)min=g(1)=-1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1,+).17.設(shè)函數(shù)f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中0,記|f(x)|的最大值為A.(1)求f(x);(2)求A.解:(1)f(x)=-2sin2x-(-1)sinx.(2)當(dāng)1時(shí),|f(x)|=|co

15、s2x+(-1)(cosx+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此A=3-2.當(dāng)01時(shí),將f(x)變形為f(x)=2cos2x+(-1)cosx-1.令g(t)=2t2+(-1)t-1,則A是|g(t)|在-1,1上的最大值,g(-1)=,g(1)=3-2,且當(dāng)t=1-4時(shí),g(t)取得極小值,極小值為g1-4=-(-1)28-1=-2+6+18.令-11-415.當(dāng)015時(shí),g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)無極值點(diǎn),|g(-1)|=,|g(1)|=2-3,|g(-1)|g(1)|,所以A=2-3.當(dāng)150,知g(-1)g(1)g1-4.又g1-4-|g(-1)|=(1-)(1+7)80,所以A=g1-4=2+6+18.綜上,A=2-3,015,2+6+18,151,3-2,1.