（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 思想方法訓(xùn)練2 分類討論思想-人教版高三數(shù)學(xué)試題

思想方法訓(xùn)練2分類討論思想思想方法訓(xùn)練第4頁 一、能力突破訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax,x1,2ax-5,x>1,若存在x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,2)B.(-,4)C.2,4D.(2,+)答案:B解析:當(dāng)-a-2<1時,顯然滿足條件,即a<2;當(dāng)a2時,-1+a>2a-5,即2a<4.綜上知,a<4,故選B.2.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若b2+c2-a2=3bc,且b=3a,則下列關(guān)系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c2答案:B解析:在ABC中,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,則A=6.又b=3a,由正弦定理,得sinB=3sinA=32,則B=3或B=23.當(dāng)B=3時,ABC為直角三角形,選項C,D成立;當(dāng)B=23時,ABC為等腰三角形,選項A成立,故選B.3.若a>0,且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),則p,q的大小關(guān)系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.當(dāng)a>1時,p>q;當(dāng)0<a<1時,p<q答案:C解析:當(dāng)0<a<1時,y=ax和y=logax在其定義域上均為減函數(shù),a3+1<a2+1.loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.當(dāng)a>1時,y=ax和y=logax在其定義域上均為增函數(shù),a3+1>a2+1,loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.綜上可得,p>q.4.已知中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±34x,則該雙曲線的離心率為()A.54B.53C.54或53D.35或45答案:C解析:當(dāng)焦點在x軸上時,ba=34,此時離心率e=ca=54;當(dāng)焦點在y軸上時,ab=34,此時離心率e=ca=53,故選C.5.已知A,B為平面內(nèi)的兩個定點,過該平面內(nèi)的動點M作直線AB的垂線,垂足為N,MN2=AN·NB,其中為常數(shù),則動點M的軌跡不可能是()A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線答案:C解析:不妨設(shè)|AB|=2,以AB的中點O為原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)M(x,y),則N(x,0),MN=(0,-y),AN=(x+1,0),NB=(1-x,0).代入已知式子得x2+y2=,當(dāng)=1時,曲線為圓;當(dāng)=2時,曲線為橢圓;當(dāng)<0時,曲線為雙曲線,故選C.6.若x>0,且x1,則函數(shù)y=lg x+logx10的值域為()A.RB.2,+)C.(-,-2D.(-,-22,+)答案:D解析:當(dāng)x>1時,y=lgx+logx10=lgx+1lgx2lgx·1lgx=2;當(dāng)0<x<1時,y=lgx+logx10=-lgx+-1lgx-2-lgx·-1lgx=-2.故函數(shù)的值域為(-,-22,+).7.設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,且a2+a5=2am,則m等于()A.6B.7C.8D.10答案:C解析:S3,S9,S6成等差數(shù)列,2S9=S3+S6.若公比q=1,顯然有2S9S3+S6,因此q1.從而2·a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,q3=-12或q3=1(舍去).a2+a5=2am,a2(1+q3-2qm-2)=0,1+q3-2qm-2=0,qm-2=14,m=8.8.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距離為1,則SA與平面ABC所成角的大小為()A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°答案:C解析:球心位置有以下兩種情況:球心在三棱錐內(nèi)部;球心在三棱錐外部.當(dāng)球心在三棱錐內(nèi)部時,三棱錐為正三棱錐,設(shè)O'為ABC的中心,在ABC中,可求得O'A=3,所以可得OA=2,SO'=3,SA與平面ABC所成的角即為SAO',由tanSAO'=33=3,得SAO'=60°.同理可得第二種情況中所成角為30°.9.已知函數(shù)y=ax(a>0,且a1)在區(qū)間1,2上的最大值比最小值大a2,則a的值是. 答案:12或32解析:當(dāng)a>1時,y=ax在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增,故a2-a=a2,得a=32;當(dāng)0<a<1時,y=ax在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減,故a-a2=a2,得a=12.故a=12或a=32.10.已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=0,0<x1,|x2-4|-2,x>1,則方程|f(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為. 答案:4解析:f(x)=-lnx,0<x1,lnx,x>1,g(x)=0,0<x1,2-x2,1<x<2,x2-6,x2.當(dāng)0<x1時,方程化為|-lnx+0|=1,解得x=1e或x=e(舍去).所以此時方程只有1個實根1e.當(dāng)1<x<2時,方程可化為|lnx+2-x2|=1.設(shè)h(x)=lnx+2-x2,則h'(x)=1x-2x=1-2x2x.因為1<x<2,所以h'(x)=1-2x2x<0,即函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減.因為h(1)=ln1+2-12=1,h(2)=ln2+2-22=ln2-2,所以h(x)(ln2-2,1).又ln2-2<-1,故當(dāng)1<x<2時方程只有1解.當(dāng)x2時,方程可化為|lnx+x2-6|=1.記函數(shù)p(x)=lnx+x2-6,顯然p(x)在區(qū)間2,+)內(nèi)單調(diào)遞增.故p(x)p(2)=ln2+22-6=ln2-2<-1.又p(3)=ln3+32-6=ln3+3>1,所以方程|p(x)|=1有兩個解,即方程|lnx+x2-6|=1有兩個解.綜上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4個實根.11.已知函數(shù)f(x)=2asin2x-23asin xcos x+a+b(a0)的定義域為0,2,值域為-5,1,求常數(shù)a,b的值.解:f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b=-2asin2x+6+2a+b.x0,2,2x+66,76,-12sin2x+61.因此,由f(x)的值域為-5,1,可得a>0,-2a×-12+2a+b=1,-2a×1+2a+b=-5或a<0,-2a×1+2a+b=1,-2a×-12+2a+b=-5,解得a=2,b=-5或a=-2,b=1.12.設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=12x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲線y=f(x)在點(2,f(2)處與直線y=-x+1垂直的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解:(1)由題意知x>0,f'(x)=x-(a+1)+ax.因為曲線y=f(x)在點(2,f(2)處切線的斜率為1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+a2=1,所以a=0,此時f(2)=2-2=0,故曲線f(x)在點(2,f(2)處的切線方程為x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+ax=x2-(a+1)x+ax=(x-1)(x-a)x.當(dāng)0<a<1時,若x(0,a),則f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(a,1),則f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;若x(1,+),則f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.此時x=a是f(x)的極大值點,x=1是f(x)的極小值點,函數(shù)f(x)的極大值是f(a)=-12a2+alna,極小值是f(1)=-12.當(dāng)a=1時,若x(0,1),則f'(x)>0,若x=1,則f'(x)=0,若x(1,+),則f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,此時f(x)沒有極值點,也無極值.當(dāng)a>1時,若x(0,1),則f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(1,a),則f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;若x(a,+),則f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,此時x=1是f(x)的極大值點,x=a是f(x)的極小值點,函數(shù)f(x)的極大值是f(1)=-12,極小值是f(a)=-12a2+alna.綜上,當(dāng)0<a<1時,f(x)的極大值是-12a2+alna,極小值是-12;當(dāng)a=1時,f(x)無極值;當(dāng)a>1時,f(x)的極大值是-12,極小值是-12a2+alna.二、思維提升訓(xùn)練13.若直線l過點P-3,-32且被圓x2+y2=25截得的弦長是8,則直線l的方程為()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-32C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0答案:D解析:若直線l的斜率不存在,則該直線的方程為x=-3,代入圓的方程解得y=±4,故直線l被圓截得的弦長為8,滿足條件.若直線l的斜率存在,不妨設(shè)直線l的方程為y+32=k(x+3),即kx-y+3k-32=0.因為直線l被圓截得的弦長為8,所以半弦長為4.又圓的半徑為5,所以圓心(0,0)到直線l的距離為52-42=3k-32k2+1,解得k=-34,此時直線l的方程為3x+4y+15=0.14.(2019浙江,9)設(shè)a,bR,函數(shù)f(x)=x,x<0,13x3-12(a+1)x2+ax,x0.若函數(shù)y=f(x)-ax-b恰有3個零點,則()A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0答案:C解析:當(dāng)x<0時,由x=ax+b,得x=b1-a,最多一個零點取決于x=b1-a與0的大小,所以關(guān)鍵研究當(dāng)x0時,方程13x3-12(a+1)x2+ax=ax+b的解的個數(shù),令b=13x3-12(a+1)x2=13x2x-32(a+1)=g(x).畫出三次函數(shù)g(x)的圖象如圖所示,可以發(fā)現(xiàn)分類討論的依據(jù)是32(a+1)與0的大小關(guān)系.若32(a+1)<0,即a<-1時,x=0處為偶重零點,x=32(a+1)為奇重零點,顯然在x0時,g(x)單調(diào)遞增,故與y=b最多只能有一個交點,不符合題意.若32(a+1)=0,即a=-1,0處為3次零點穿過,也不符合題意.若32(a+1)>0,即a>-1時,x=0處為偶重零點,x=32(a+1)為奇重零點,當(dāng)b<0時g(x)與y=b可以有兩個交點,且此時要求x=b1-a<0,故-1<a<1,b<0,選C.15.已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=|x2-ax|在區(qū)間0,1上的最大值記為g(a).當(dāng)a=時,g(a)的值最小. 答案:22-2解析:當(dāng)a0時,在區(qū)間0,1上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時,f(x)取得的最大值為f(1)=1-a;當(dāng)0<a<1時,f(x)=-x2+ax,0x<a,x2-ax,ax1在區(qū)間0,a2內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間a2,a上單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,1上單調(diào)遞增,且fa2=a24,f(1)=1-a.a24-(1-a)=14(a2+4a-4),當(dāng)0<a<22-2時,a24<1-a.當(dāng)22-2a<1時,a241-a;當(dāng)1a<2時,f(x)=-x2+ax在區(qū)間0,a2內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間a2,1內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x=a2時,f(x)取得最大值fa2=a24;當(dāng)a2時,f(x)=-x2+ax在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時,f(x)取得最大值f(1)=a-1.則g(a)=1-a,a<22-2,a24,22-2a<2,a-1,a2在區(qū)間(-,22-2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間22-2,+)內(nèi)單調(diào)遞增,即當(dāng)a=22-2時,g(a)有最小值.16.已知函數(shù)f(x)=aln x+x2(a為實數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,e上的最小值及相應(yīng)的x值;(2)若存在x1,e,使得f(x)(a+2)x成立,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)f(x)=alnx+x2的定義域為(0,+),f'(x)=ax+2x=2x2+ax.當(dāng)x1,e時,2x22,2e2.若a-2,則f'(x)在區(qū)間1,e上非負(fù)(僅當(dāng)a=-2,x=1時,f'(x)=0),故f(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增,此時f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1x<-a2,此時f(x)單調(diào)遞減;令f'(x)>0,解得-a2<xe,此時f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f-a2=a2ln-a2a2;若a-2e2,f'(x)在區(qū)間1,e上非正(僅當(dāng)a=-2e2,x=e時,f'(x)=0),故f(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞減,此時f(x)min=f(e)=a+e2.綜上所述,當(dāng)a-2時,f(x)min=1,相應(yīng)的x=1;當(dāng)-2e2<a<-2時,f(x)min=a2ln-a2a2,相應(yīng)的x=-a2;當(dāng)a-2e2時,f(x)min=a+e2,相應(yīng)的x=e.(2)不等式f(x)(a+2)x可化為a(x-lnx)x2-2x.由x1,e,知lnx1x且等號不能同時成立,得lnx<x,即x-lnx>0,因而ax2-2xx-lnx,x1,e.令g(x)=x2-2xx-lnx(x1,e),則g'(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2,當(dāng)x1,e時,x-10,lnx1,x+2-2lnx>0,從而g'(x)0(僅當(dāng)x=1時取等號),所以g(x)在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增,故g(x)min=g(1)=-1,所以實數(shù)a的取值范圍是-1,+).17.設(shè)函數(shù)f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中>0,記|f(x)|的最大值為A.(1)求f'(x);(2)求A.解:(1)f'(x)=-2sin2x-(-1)sinx.(2)當(dāng)1時,|f(x)|=|cos2x+(-1)(cosx+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此A=3-2.當(dāng)0<<1時,將f(x)變形為f(x)=2cos2x+(-1)cosx-1.令g(t)=2t2+(-1)t-1,則A是|g(t)|在-1,1上的最大值,g(-1)=,g(1)=3-2,且當(dāng)t=1-4時,g(t)取得極小值,極小值為g1-4=-(-1)28-1=-2+6+18.令-1<1-4<1,解得>15.當(dāng)0<15時,g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)無極值點,|g(-1)|=,|g(1)|=2-3,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3.當(dāng)15<<1時,由g(-1)-g(1)=2(1-)>0,知g(-1)>g(1)>g1-4.又g1-4-|g(-1)|=(1-)(1+7)8>0,所以A=g1-4=2+6+18.綜上,A=2-3,0<15,2+6+18,15<<1,3-2,1.