(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)12 統(tǒng)計與概率(含解析)(理)-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題限時集訓(xùn)(十二)統(tǒng)計與概率1(2019全國卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗:將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液,每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比,根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)解(1)由已知得0.70a0.200

2、.15,故a0.35.b10.050.150.700.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00.2(2017全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān)如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量

3、為200瓶為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?解(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X200)0.2,P(X300)0.4,P(X500)0.4.因此X的分布列為X2003

4、00500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200n500.當(dāng)300n500時,若最高氣溫不低于25,則Y6n4n2n;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y63002(n300)4n1 2002n;若最高氣溫低于20,則Y62002(n200)4n8002n.因此E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.當(dāng)200n400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附:K2,P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解(1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計

5、值如下表:空氣質(zhì)量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為(100203003550045)350.(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得22列聯(lián)表:人次400人次400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得K25.820.由于5.8203.841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)4(2018全國卷)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的

6、值依次為1,2,17)建立模型:30.413.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,7)建立模型:9917.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由解(1)利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為30.413.519226.1(億元)利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為9917.59256.5(億元)(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線y30.413.5t

7、上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠()從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型得到的預(yù)測

8、值更可靠(以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可)1(2020肥城市第一高級中學(xué)高三月考)2019年4月,甲、乙兩校的學(xué)生參加了某考試機(jī)構(gòu)舉行的大聯(lián)考,現(xiàn)對這兩校參加考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析,數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,考生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(110,144),從甲、乙兩校100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷,并將這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖:(1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);(2)若把數(shù)學(xué)成績不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),判斷是否有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否

9、優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)?(3)從所有參加此次聯(lián)考的學(xué)生中(人數(shù)很多)任意抽取3人,記數(shù)學(xué)成績在134分以上的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(,2),則P(X)0.682 6,P(2X2)0.954 4,P(3X3)0.997 4.參考公式與臨界值表:K2,其中nabcd.P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解(1)由莖葉圖可知:甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為131.5,乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為128.5,所以這40份試卷的成績,甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)高. (2)由題意,作出

10、22列聯(lián)表如下:甲校乙校總計數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀10717數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀101323總計202040計算得K2的觀測值k0.92072.706,所以沒有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān). (3)因為XN(110,144),所以110,12,所以P(86134)0.022 8,由題意可知B(3,0.022 8),所以E()30.022 80.068 4.2(2020長沙模擬)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況,首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者,并對其購房面積m(單位:平方米,60m130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計,制成了如圖1

11、所示的頻率分布直方圖,接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價y(單位:萬元/平方米),制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1至13分別對應(yīng)2018年1月至2019年1月)圖1圖2(1)試估計該市市民的平均購房面積;(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取3人,用頻率估計概率,記這3人購房面積不低于100平方米的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)根據(jù)散點圖選擇和ln x兩個模型進(jìn)行擬合,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程,分別為0.936 90.028 5和0.955 4 0.030 6ln x,并得到一些統(tǒng)計量的值,如表所示:0.9

12、36 90.028 50.955 40030 6ln x (yii)20.000 5910.000 164 (yi)20.006 050請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好,并用擬合效果更好的模型預(yù)測2020年6月份的二手房購房均價(精確到0.001)參考數(shù)據(jù):ln 20.69,ln 31.10,ln 102.30,ln 192.94,1.41,1.73,3.16,4.36.參考公式:R21.解(1)650.05750.1850.2950.251050.21150.151250.0596.(2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.200.150.050.4,XB(3,0.4

13、),P(Xk)C0.4k0.63k(k0,1,2,3),P(X0)0.630.216,P(X1)C0.40.620.432,P(X2)C0.420.60.288,P(X3)0.430.064,X的分布列為:X0123P0.2160.4320.2880.064E(X)30.41.2.(3)設(shè)模型0.936 90.028 5和0.955 40.030 6ln x的相關(guān)指數(shù)分別為R,R,則R1,R1,RR,模型0.955 40.030 6ln x的擬合效果更好,2021年6月份對應(yīng)的x42,0.955 40.030 6ln 420.955 40.030 6(ln 3ln 14)1.070萬元/平方米

14、3(2020深圳模擬)2020年是中國改革開放的第42周年,為了充分認(rèn)識新形勢下改革開放的時代性,某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖(1)現(xiàn)從年齡在,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談,用X表示年齡在內(nèi)的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中有k名市民的年齡在的概率為P.當(dāng)P最大時,求k的值解(1)按分層抽樣的方法抽取的8人中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為81人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為82人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為85人所以X的可能取值為0

15、,1,2,所以P,P,P,所以X的分布列為X012PE(X)012.(2)設(shè)在抽取的20名市民中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為X,X服從二項分布由頻率分布直方圖可知,年齡在內(nèi)的頻率為100.35,所以XB,所以P(Xk)C(0.35)k(10.35)20k(k0,1,2,20)設(shè)t,若t1,則k7.35,PP;若t7.35,PP.所以當(dāng)k7時,P最大,即當(dāng)P最大時,k7.4(2020皖南八校第二次聯(lián)考)2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地安徽鳳陽舉辦,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲乙兩人在同一位置,甲先投,每人投一次球,兩人有1人命中,命

16、中者得1分,未命中者得1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分,設(shè)甲每次投球命中的概率為,乙每次投球命中的概率為,且各次投球互不影響(1)經(jīng)過1輪投球,記甲的得分為X,求X的分布列;(2)若經(jīng)過n輪投球,用pi表示經(jīng)過第i輪投球,累計得分,甲的得分高于乙的得分的概率求p1,p2,p3;規(guī)定p00,經(jīng)過計算機(jī)計算可估計得piapi1bpicpi1(b1),請根據(jù)中p1,p2,p3的值分別寫出a,c關(guān)于b的表達(dá)式,并由此求出數(shù)列的通項公式解(1)記一輪投球,甲命中為事件A,乙命中為事件B,A,B相互獨立,由題意P(A),P(B),甲的得分X的取值為1,0,1,P(X1)P(B)P()P(B),P(

17、X0)P(AB)P()P(A)P(B)P()P(),P(X1)P(A)P(A)P(),X的分布列為:X101P(2)由(1)知p1,p2P(X0)P(X1)P(X1)(P(X0)P(X1),同理,經(jīng)過2輪投球,甲的得分Y取值2,1,0,1,2:記P(X1)x,P(X0)y,P(X1)z,則P(Y2)x2,P(Y1)xyyx,P(Y0)xzzxy2,P(Y1)yzzy,P(Y2)z2,由此得甲的得分Y的分布列為:Y21012Pp3,piapi1bpicpi1(b1),p00,代入piapi1bpicpi1(b1)得:pipi1pi1,pi1pi(pipi1),數(shù)列pnpn1是等比數(shù)列,公比為q,首項為p1p0,pnpn1.pn(pnpn1)(pn1pn2)(p1p0).

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