《大學(xué)物理B：第3章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學(xué)物理B：第3章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（45頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、本章題頭本章內(nèi)容ContentsChapter 3 運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律kinematicsrotation of rigid-body with a fixed axislaw of conservation of mechanical energylaw of conservation of angular momentum Kinematics3-13-1第1節(jié) 運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體及其平動(dòng)形狀固定的質(zhì)點(diǎn)系（含多個(gè)質(zhì)點(diǎn)、不形變、理想固體）。剛剛 體體平平 動(dòng)動(dòng) 剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的 相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)
2、處理。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且該轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平 動(dòng) 剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的 相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理。定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動(dòng) 剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng) 復(fù)雜的轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)的混合。剛體其它運(yùn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物理量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程用矢量表示 或 時(shí)，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則 1.角位置描述剛體（上某點(diǎn)）的位置2.角位移描述剛體轉(zhuǎn)過的大小和方向剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸
3、垂直）(t)參考方向剛體中任一點(diǎn)(t+t)3.角速度靜止常量 勻角速變角速描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，常量是轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程用矢量表示 或 時(shí)，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則 1.角位置描述剛體（上某點(diǎn)）的位置2.角位移描述剛體轉(zhuǎn)過的大小和方向剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)參考方向剛體中任一點(diǎn)(t+t)3.角速度靜止常量 勻角速變角速描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，常量是轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)量。續(xù)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變4.角加速度的快慢和改變的方向常量 勻角加速勻角速變角加速常量因剛體上任意兩點(diǎn)的距離不變，故剛體上各點(diǎn)的 相同。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 只有同 和反 兩個(gè)方向，故 也可用標(biāo)量
4、（其中的正和負(fù)表方向）代替。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參量剛體轉(zhuǎn)軸1.角位置轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程2.角位移3.角速度常量靜止勻角速變角速4.角加速度變角加速常量 勻角加速勻角速用矢量表示 或 時(shí)，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則 轉(zhuǎn)動(dòng)方程求導(dǎo)例題單位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s勻角加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)線量與角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在某時(shí)刻t的瞬時(shí)角速度為 ，瞬時(shí)角加速度為 ，剛體中一質(zhì)點(diǎn)P至轉(zhuǎn)軸的距離為r
5、質(zhì)點(diǎn)P 的大小 瞬時(shí)線速度瞬時(shí)切向加速度瞬時(shí)法向加速度這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中線量線量與角量角量的基本關(guān)系積分求轉(zhuǎn)動(dòng)方程任意時(shí)刻的恒量且 t=0 時(shí) 得得或勻角加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移方程勻角加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程公式對(duì)比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第2節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué) Rotation of Rigid-body with a Fixed Axis3-23-2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律引言質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律或剛體
6、平動(dòng)F =m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合合加速度加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量FrM叉乘右螺旋M =r F222M =r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F合外力矩 外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M =r F111力矩切向1Ft t1M2M1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM =r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d
7、2切向方向轉(zhuǎn)動(dòng)定律某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+f=aii其法向n 分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if cosq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)等式兩邊乘以 ri 并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消=0+riifcosq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+f=aii其法向n 分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib b等式兩邊乘以 ri 并對(duì)所有質(zhì)元及
8、其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消=0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用 表示稱為 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)動(dòng)慣量t tnFiOrifiij jq qi瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)Mb bri=剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律即剛體所獲得的角加速度 的大小與剛體受到的 合外力矩 的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 成反比。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算Mb b=I將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律F=am對(duì)比轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度II 與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求I 為體積元 處的密度II的單位為分立質(zhì)點(diǎn)的算例
9、可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則轉(zhuǎn)軸0.75直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細(xì)桿對(duì)中垂軸的勻直細(xì)桿對(duì)端垂軸的質(zhì)心新軸質(zhì)心軸 平行軸定理平行軸定理對(duì)對(duì)新新軸軸的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸對(duì)質(zhì)心軸的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量新軸新軸對(duì)心對(duì)心軸的軸的平移量平移量例如：例如：時(shí)時(shí)代入可得代入可得端圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的 取半徑為 微寬為 的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 的迭加距 為 、半徑為 、微厚為的薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其中常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄勻質(zhì)薄圓盤圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面
10、22I=m R123I=m L1轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直其它典型勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面I=(a +b )22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I=m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I=2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I=(R1 +R2 )22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mI=R +22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I=2m R3轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題一合外力矩 應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成。合外力矩 與合角加速度 方向一致。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可先設(shè)一個(gè)正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為負(fù)。與時(shí)刻對(duì)應(yīng)，何時(shí)何時(shí)則何時(shí) ，則何時(shí)恒定恒定。勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題二
11、T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g=m1am2 g T2=m2a(T2 T1)R=Ib b a=Rb bI=m R 22轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)線-角聯(lián)立解得a=m1m1+m2+gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g a)m1 gm2 g如果考慮有轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩 Mr,則轉(zhuǎn)動(dòng)式為(T2 T1)R Mr=Ib b再聯(lián)立求解。轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題三Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度 b b細(xì)繩線加速度 a（A）（B）法二？法二？轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題四Rm1m2mm=12kgm2=1kg m1=3kgR=0.1mT2T1
12、T1T2G1G2b baa對(duì)對(duì)m1m2m分別應(yīng)用分別應(yīng)用和和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律m1 g T1=m1aT2 m2 g=m2a(T1 T2)R=Ib b及 a=Rb bI=mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)常量(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)故由(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)2 (rad)gt物體從靜止開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪的 轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題五q qq q從等傾角 處靜止釋放兩勻直細(xì)桿地面兩者瞬兩者瞬時(shí)時(shí)角加速度之比角加速度之比213q q1q q1321根據(jù)短桿的短桿的角加速度大角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)且與勻質(zhì)直桿的
13、質(zhì)量無關(guān)第3節(jié) 機(jī)械能守恒定律 Law of Conservation of Mechanical Energy3-33-3轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體中任一質(zhì)元 的速率該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 II得得含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題機(jī)械外非保守內(nèi)力動(dòng)勢(shì)動(dòng)勢(shì)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)mImgh動(dòng)能定理例題二外力作的總功從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關(guān)系還可算出此時(shí)桿上各點(diǎn)的線速度水平位置靜止釋放擺至垂直位置時(shí)桿的勻直細(xì)桿一端為軸第4節(jié)角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 law of conservation of angular momentum3-43-4角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理（微分形式）（積分形式）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)
14、量 所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量其角動(dòng)量大小全部質(zhì)元的總角動(dòng)量對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是剛體所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加剛體的角動(dòng)量守恒定律由所受合外力矩若則即 當(dāng)剛體所受的合外力矩 等于零時(shí)，剛體的角動(dòng)量 保持不變。角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰中常見的例子角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰收臂大小
15、張臂大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來收臂大小共軸系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒共軸系統(tǒng)若外則恒矢量輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)輪人臺(tái)初態(tài)全靜初人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子輪末態(tài)人臺(tái)輪輪末人臺(tái)人臺(tái)初得人臺(tái)人臺(tái)輪輪導(dǎo)致人導(dǎo)致人臺(tái)臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)反向轉(zhuǎn)動(dòng)直升飛機(jī)防旋措施直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干 CH47)用尾漿（美洲豹 SA300）（海豚 ）守恒例題一A、B兩輪共軸A以w wA A作慣性轉(zhuǎn)動(dòng) 以A、B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。初態(tài)角動(dòng)量末態(tài)角動(dòng)量得兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w wABAB守恒例題二以彈、棒為系統(tǒng)擊入階段子彈擊入木棒瞬間，系統(tǒng)在鉛直位置，受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。該瞬間之始該瞬間之末彈棒彈棒彈嵌于棒子彈上擺最大轉(zhuǎn)角木棒上擺階段彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，非保守內(nèi)力的功為零，由系統(tǒng)動(dòng)能定理外力（重力）的功外上擺末動(dòng)能上擺初動(dòng)能其中聯(lián)立解得守恒例題三 滿足什么條件時(shí)，小球（視為質(zhì)點(diǎn)）擺至鉛垂位置與棒彈碰而小球恰好靜止。直棒起擺角速度勻質(zhì)直棒與單擺小球的質(zhì)量相等兩者共面共轉(zhuǎn)軸水平靜止釋放靜懸彈碰忽略摩擦聯(lián)立解得0.5771.861對(duì)擺球、直棒系統(tǒng)小球下擺階段從水平擺到彈碰即將開始，由動(dòng)能定理得其中 球、棒相碰瞬間在鉛垂位置，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。剛要碰時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量剛碰過后系統(tǒng)角動(dòng)量球棒球棒彈碰階段彈碰過程能量守恒
大學(xué)物理B：第3章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)
