大學物理B：第3章 剛體的定軸轉動

本章題頭本章內容ContentsChapter 3 運動學運動學剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動機械能守恒定律機械能守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律kinematicsrotation of rigid-body with a fixed axislaw of conservation of mechanical energylaw of conservation of angular momentum Kinematics3-13-1第1節(jié) 運動學運動學剛體及其平動形狀固定的質點系（含多個質點、不形變、理想固體）。剛剛 體體平平 動動 剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的 相同，可當作質點處理。剛體定軸轉動剛體的定軸轉動 剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且該轉軸空間位置及方向不變。平 動 剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的 相同，可當作質點處理。定軸轉動 剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且轉軸空間位置及方向不變。平面運動 剛體質心限制在一平面內，轉軸可平動，但始終垂直于該平面且通過質心定點運動 剛體上各質點都以某一定點為球心的各個球面上運動。一般運動 復雜的轉動與平動的混合。剛體其它運動定軸轉動物理量剛體定軸轉動的運動方程用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉動方向采用右螺旋定則 1.角位置描述剛體（上某點）的位置2.角位移描述剛體轉過的大小和方向剛體轉軸轉動平面（包含p并與轉軸垂直）(t)參考方向剛體中任一點(t+t)3.角速度靜止常量 勻角速變角速描述剛體轉動的快慢和方向，常量是轉動狀態(tài)量。剛體定軸轉動的運動方程用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉動方向采用右螺旋定則 1.角位置描述剛體（上某點）的位置2.角位移描述剛體轉過的大小和方向剛體轉軸轉動平面（包含p并與轉軸垂直）(t)參考方向剛體中任一點(t+t)3.角速度靜止常量 勻角速變角速描述剛體轉動的快慢和方向，常量是轉動狀態(tài)量。續(xù)描述剛體轉動狀態(tài)改變4.角加速度的快慢和改變的方向常量 勻角加速勻角速變角加速常量因剛體上任意兩點的距離不變，故剛體上各點的 相同。定軸轉動的 只有同 和反 兩個方向，故 也可用標量（其中的正和負表方向）代替。定軸轉動參量剛體轉軸1.角位置轉動平面（包含p并與轉軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點剛體定軸轉動的運動方程2.角位移3.角速度常量靜止勻角速變角速4.角加速度變角加速常量 勻角加速勻角速用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉動方向采用右螺旋定則 轉動方程求導例題單位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s勻角加速定軸轉動線量與角量的關系定軸轉動剛體在某時刻t的瞬時角速度為 ，瞬時角加速度為 ，剛體中一質點P至轉軸的距離為r質點P 的大小 瞬時線速度瞬時切向加速度瞬時法向加速度這是定軸轉動中線量線量與角量角量的基本關系積分求轉動方程任意時刻的恒量且 t=0 時 得得或勻角加速定軸轉動的角位移方程勻角加速定軸轉動的運動方程公式對比質點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉動速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移勻速直線運動勻速直線運動勻角速定軸轉動勻角速定軸轉動勻變速直線運動勻變速直線運動勻變角速定軸轉動勻變角速定軸轉動第2節(jié) 剛體定軸轉動動力學剛體定軸轉動動力學 Rotation of Rigid-body with a Fixed Axis3-23-2剛體轉動定律引言質 點的運動定律或剛體平動F =m a慣性質量慣性質量合合 外外 力力合合加速度加速度若剛體作定軸轉動，服從怎樣的運動定律？若剛體作定軸轉動，服從怎樣的運動定律？主要概念使剛體產生轉動效果的合外力矩剛體的轉動定律剛體的轉動慣量FrM叉乘右螺旋M =r F222M =r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F合外力矩 外力在轉動平面上對轉軸的力矩使剛體發(fā)生轉動M =r F111力矩切向1Ft t1M2M1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM =r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向轉動定律某質元fi受內力受外力FiFi+f=aii其法向n 分量均通過轉軸，不產生轉動力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if cosq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以 ri 并對所有質元及其所受力矩求和=內力矩成對抵消=0+riifcosq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=某質元fi受內力受外力FiFi+f=aii其法向n 分量均通過轉軸，不產生轉動力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib b等式兩邊乘以 ri 并對所有質元及其所受力矩求和=內力矩成對抵消=0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=與剛體性質及質量分布有關的物理量，用 表示稱為 轉動慣量轉動慣量I轉動慣量t tnFiOrifiij jq qi瞬時角速度角加速度瞬時Mb bri=剛體的轉動定律即剛體所獲得的角加速度 的大小與剛體受到的 合外力矩 的大小成正比，與剛體的轉動慣量 成反比。轉動慣量的計算Mb b=I將剛體轉動定律與質點運動定律F=am對比轉動慣量 是剛體轉動慣性的量度II 與剛體的質量、形狀、大小及質量對轉軸的分布情況有關質量連續(xù)分布的剛體用積分求I 為體積元 處的密度II的單位為分立質點的算例可視為分立質點結構的剛體轉軸 若連接兩小球（視為質點）的輕細硬桿的質量可以忽略，則轉軸0.75直棒算例質量連續(xù)分布的剛體勻直細桿對中垂軸的勻直細桿對端垂軸的質心新軸質心軸 平行軸定理平行軸定理對對新新軸軸的的轉動慣量轉動慣量對質心軸對質心軸的的轉動慣量轉動慣量新軸新軸對心對心軸的軸的平移量平移量例如：例如：時時代入可得代入可得端圓盤算例勻質薄圓盤對心垂軸的 取半徑為 微寬為 的窄環(huán)帶的質量為質元球體算例勻質實心球對心軸的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉動慣量 的迭加距 為 、半徑為 、微厚為的薄圓盤的轉動慣量為其中常用結果LRmm勻質薄勻質薄圓盤圓盤勻質細直棒勻質細直棒轉軸通過中心垂直盤面22I=m R123I=m L1轉軸通過端點與棒垂直其它典型勻質矩形薄板轉軸通過中心垂直板面I=(a +b )22m12勻質細圓環(huán)轉軸通過中心垂直環(huán)面I=m R 2勻質細圓環(huán)轉軸沿著環(huán)的直徑2I=2m R勻質厚圓筒轉軸沿幾何軸I=(R1 +R2 )22m2勻質圓柱體轉軸通過中心垂直于幾何軸mI=R +22m124L勻質薄球殼轉軸通過球心2I=2m R3轉動定律例題一合外力矩 應由各分力矩進行合成。合外力矩 與合角加速度 方向一致。在定軸轉動中，可先設一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為負。與時刻對應，何時何時則何時 ，則何時恒定恒定。勻直細桿一端為軸水平靜止釋放轉動定律例題二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g=m1am2 g T2=m2a(T2 T1)R=Ib b a=Rb bI=m R 22轉動平動線-角聯立解得a=m1m1+m2+gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g a)m1 gm2 g如果考慮有轉動摩擦力矩 Mr,則轉動式為(T2 T1)R Mr=Ib b再聯立求解。轉動定律例題三Rm1m細繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度 b b細繩線加速度 a（A）（B）法二？法二？轉動定律例題四Rm1m2mm=12kgm2=1kg m1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2b baa對對m1m2m分別應用分別應用和和質點運動和剛體轉動定律質點運動和剛體轉動定律m1 g T1=m1aT2 m2 g=m2a(T1 T2)R=Ib b及 a=Rb bI=mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)常量(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)故由(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)2 (rad)gt物體從靜止開始運動時，滑輪的 轉動方程轉動定律例題五q qq q從等傾角 處靜止釋放兩勻直細桿地面兩者瞬兩者瞬時時角加速度之比角加速度之比213q q1q q1321根據短桿的短桿的角加速度大角加速度大且與勻質直桿的質量無關且與勻質直桿的質量無關第3節(jié) 機械能守恒定律 Law of Conservation of Mechanical Energy3-33-3轉動動能剛體中任一質元 的速率該質元的動能對所有質元的動能求和轉動慣量 II得得含平動的轉動問題機械外非保守內力動勢動勢平動轉動平動轉動mImgh動能定理例題二外力作的總功從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關系還可算出此時桿上各點的線速度水平位置靜止釋放擺至垂直位置時桿的勻直細桿一端為軸第4節(jié)角動量守恒定律角動量守恒定律 law of conservation of angular momentum3-43-4角動量定理角動量定理（微分形式）（積分形式）定軸轉動剛體的角動量 所有質點都以其垂軸距離為半徑作圓周運動任一質元（視為質點）的質量其角動量大小全部質元的總角動量對質量連續(xù)分布的剛體定軸轉動剛體的角動量是剛體所有質點對公共轉軸的角動量的疊加剛體的角動量守恒定律由所受合外力矩若則即 當剛體所受的合外力矩 等于零時，剛體的角動量 保持不變。角動量守恒的另一類現象角動量守恒的另一類現象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動轉盤后啟動轉盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰中常見的例子角動量守恒的另一類現象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動轉盤后啟動轉盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰收臂大小張臂大小先使自己轉動起來收臂大小共軸系統(tǒng)的角動量守恒共軸系統(tǒng)若外則恒矢量輪、轉臺與人系統(tǒng)輪人臺初態(tài)全靜初人沿某一轉向撥動輪子輪末態(tài)人臺輪輪末人臺人臺初得人臺人臺輪輪導致人導致人臺臺反向轉動反向轉動直升飛機防旋措施直升飛機防止機身旋動的措施用兩個對轉的頂漿（支奴干 CH47)用尾漿（美洲豹 SA300）（海豚 ）守恒例題一A、B兩輪共軸A以w wA A作慣性轉動 以A、B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅動力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。初態(tài)角動量末態(tài)角動量得兩輪嚙合后一起作慣性轉動的角速度w wABAB守恒例題二以彈、棒為系統(tǒng)擊入階段子彈擊入木棒瞬間，系統(tǒng)在鉛直位置，受合外力矩為零，角動量守恒。該瞬間之始該瞬間之末彈棒彈棒彈嵌于棒子彈上擺最大轉角木棒上擺階段彈嵌定于棒內與棒一起上擺，非保守內力的功為零，由系統(tǒng)動能定理外力（重力）的功外上擺末動能上擺初動能其中聯立解得守恒例題三 滿足什么條件時，小球（視為質點）擺至鉛垂位置與棒彈碰而小球恰好靜止。直棒起擺角速度勻質直棒與單擺小球的質量相等兩者共面共轉軸水平靜止釋放靜懸彈碰忽略摩擦聯立解得0.5771.861對擺球、直棒系統(tǒng)小球下擺階段從水平擺到彈碰即將開始，由動能定理得其中 球、棒相碰瞬間在鉛垂位置，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。剛要碰時系統(tǒng)角動量剛碰過后系統(tǒng)角動量球棒球棒彈碰階段彈碰過程能量守恒