高等數(shù)學(xué) 兩個重要極限

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1、目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 第 七 節(jié) 0 sinlim 1x xx 一 、 兩 個 重 要 極 限 第 一 章 1lim(1 ) exxx 二 、 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 一 、 1sinlim0 x xx1.夾 逼 準(zhǔn) 則上 述 數(shù) 列 極 限 存 在 的 準(zhǔn) 則 可 以 推 廣 到 函 數(shù) 的 極 限 準(zhǔn) 則 如 果 數(shù) 列 , n nx y 及 nz 滿 足 下 列 條 件 : ,lim,lim)2( )3,2,1()1( azay nzxy nnnn nnn 那 么 數(shù) 列 n

2、x 的 極 限 存 在 , 且 axnn lim . 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 準(zhǔn) 則 如 果 當(dāng) ),( 0 xUx o (或 )時 ,有 ,)(lim,)(lim)2( ),()()()1( )()( 00 AxhAxg xhxfxg x xxx xx 那 么 )(lim)( 0 xfx xx 存 在 , 且 等 于 A. | |x X )(xhy ( )y f x )(xgy A A 0 x0 x 0 x ）（ ）（ 1 2A 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 2 2 21 1 1li

3、m( ).1 2n n n n n 求解 2 2 2 21 1 ,1 1n nn n n n n n 2 1lim lim 11n nnn n n 又 1, 2 21lim lim 11 1n nnn n 1, 由 夾 逼 準(zhǔn) 則 得2 2 21 1 1lim( ) 1.1 2n n n n n 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 首 先 注 意 到 都 有 定 義對 一 切函 數(shù) 0sin xxx設(shè) 法 構(gòu) 造 一 個 “ 夾 逼 不 等 式 ” ， 使 函 數(shù) xxsin在 x=0的 某 去 心 鄰 域 內(nèi) 置 于 具 有 同 一 極 限 值 的

4、 兩 個函 數(shù) g(x), h(x) 之 間 ， 以 便 應(yīng) 用 準(zhǔn) 則 . )20(, xxAOBO 圓 心 角設(shè) 單 位 圓 ,tan,sin ADxABxBCx 弧 .ADO， 得作 單 位 圓 的 切 線 ,xOAB的 圓 心 角 為扇 形 ,BCOAB的 高 為 O B Ax1 DC 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束1sincos x xx 圓 扇 形 AOB的 面 積當(dāng)即 xsin21 x21 xtan21亦 即 )0(tansin 2 xxxx ),0( 2x 時 ， )0( 2 x,1coslim0 xx 1sinlim0 x xx

5、顯 然 有 AOB 的 面 積 AOD的 面 積xxx cos1sin1 故 有 注 O B Ax1 DC 注當(dāng) 20 x 時 xx cos1cos10 2sin2 2 x 222 x 22x0)cos1(lim0 xx 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 1 5 , 0 , 0 x t x t 令 當(dāng) 時 有 0 sin, 5limt tt所 以 原 式注 ： 在 運 算 熟 練 后 可 不 必 代 換 ， 直 接 計 算 ：0 sin5 limx xx求0 sin5 limx xx解 ： 0 5sin5lim 5x xx 0 sin55lim

6、 5x xx 0 sin55lim 5 1 55x xx 0 sin5limx xx 5 1 5 說 明 : 計 算 中 注 意 利 用 1)( )(sinlim 0)( x xx 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 練 習(xí) . 求 下 列 極 限 :0 sin3 1 limx xx（ ） 0 0sin3 3sin3 lim lim 3x xx xx x 解 ： 0 sin33lim 3x xx 3 1 3 0 0sin5 sin5 5 lim lim( )( )3 5 3x xx xx x 解 ： 5 51 3 3 0 sin5 2 lim 3x

7、xx（ ） 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ( ) 0 tan ( )lim 1( )x xx .tanlim0 x xx解 : x xx tanlim0 xx xx cos1sinlim0 x xx sinlim0 xx cos1lim0 1 練 習(xí) . 0 tan3(1)limx xx 0 tan52 lim 3x xx （ ） 3530 tan3lim3 3x xx 0 tan5 5lim 5 3x xx 0 sin3(3)lim tanx xx 例 2. 求 0 sin3lim 33 tanx x xx x 3 目 錄 上 頁 下 頁 返

8、 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 3. 求 .arcsinlim0 x xx解 : 令 ,arcsinxt 則 ,sintx 因 此原 式 ttt sinlim0 1lim0 t t tsin 1 練 習(xí) . 0 arcsin3(1)limx xx 0 arcsin52 lim 3x xx （ ） 353 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 20 sinlim x 2x2x21例 4. 求 .cos1lim 20 x xx 解 : 原 式 = 2 220 sin2lim x xx 2121 2121 sin( 1) lim 1

9、x xx 求 21 1sin( 1) sin( 1)lim lim1 ( 1)( 1)x xx xx x x 11lim1 )1sin(lim 11 xxx xx 211111 例 5.解 : 1 sin( 1) 1lim 1 1x xx x 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 6 求 30 tan sinlimx x xx 30 sin (1 cos )lim cosx x xx x 原 式 20 sin 1 cos 1lim( )cosx x xx x x 1 11 12 2 例 7 求 xxx 2coslim2解 xt 2令 02 tx 時

10、則 當(dāng) 于 是 xxx 2coslim2 t tt )2cos(lim0 1sinlim0 t tt 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 演 示 文 稿 后 等 卷板機 卷板機 岶奣尛 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1lim(1 ) exxx 二 、 1lim(1 ) ennn 111lim(1 ) ?nnn e 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1,n x n 11 1 1(1 ) (1 ) (1 ) ,1 n x nn x n 11lim(1 )n n

11、 n 而 ,e1lim(1 )1 nn n ,e.)11(lim ex xx e)1(lim 1 xxx用 x代 替 n,可 得x(1) 當(dāng) x 取 實 數(shù) 時 情 形對 任 意 正 數(shù) x， 總 有 n為 非 負 整 數(shù) ， 則 有 1 11 1lim(1 ) lim(1 )1 1nn nn n 1 1lim(1 ) lim(1 )nn nn n 1 1 11 1 1 ,1n x n 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,xt 令 ttxx tx )11(lim)11(lim tt t )111(lim )111()111(lim 1 tt tt

12、.eex xx )11(lim x(2) 當(dāng) x 取 實 數(shù) 時 情 形,x t 則 當(dāng) 時令 1 zx 0 zx則 e)1(lim 10 zzz此 極 限 也 可 寫 為 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1( ) 0lim 1 ( ) xx x e （ （注 意 這 個 極 限 的 特 征 ： 底 為 兩 項 之 和 ， 第 一 項 為 1， 第 二 項是 無 窮 小 量 ， 指 數(shù) 與 第 二 項 互 為 倒 數(shù) 。利 用 變 量 代 換 可 導(dǎo) 出 上 述 極 限 的 一 般 形 式 ：( )1( )( )lim (1 ) e ,xxx 1

13、 型 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 1. 求 .)1(lim 1 xxx 解 : 令 ,xt 則 xxx )1(lim 1 ttt )1(lim 1 1lim t tt)1( 1 e1說 明 ： 若 利 用 ,e)1(lim )()(1)( xxx 則 原 式 111 e)1(lim xxx一 般 地 lim 1 x kx k ex x 時 ， t 11lim(1 )ttt 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 3 2 3 22 2lim( ) lim(1 )x xx xx x x 3 22lim(

14、 ) xx x x 例 2 32lim 1 )xx x （ 6 1e 解 lim 1 ax bx kx 結(jié) 論 ： kae221 )x （ 32lim 1 )xx x （ 22lim 1 )x x （ 6e 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 解 一 2lim(1 )1 xx x 原 式 2e解 二 xxx xx)11( )11(lim 原 式 1 ee 例 3 求 xx xx 11lim 2e2122 2lim (1 ) (1 )1 1xx x x 12 2lim(1 ) (1 )1 1xx x x 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄

15、上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .)21(lim 10 xx x計 算練 習(xí) 1.解 221010 )21(lim)21(lim xxxx xx .e2 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .)1(lim xx xx求 1 1lim(1 )xx x 練 習(xí) 2. xxxx xxx )11( 1lim)1(lim 解 1.e1 1lim( ) lim( )1 1 x xx xx xx x 1 11lim(1 )1 xx x 1 11 1lim(1 ) (1 )1 1xx x x 1 11e e 或 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁

16、 下 頁 返 回 結(jié) 束 內(nèi) 容 小 結(jié)兩 個 重 要 極 限 1sinlim)1( 0 e)11(lim)2( 或 e)1(lim 10 注 : 代 表 相 同 的 表 達 式 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí)填 空 題 ( 1 4 ) ;_sinlim.1 x xx ;_1sinlim.2 xxx ;_1sinlim.3 0 xxx ;_)11(lim.4 nn n01 0 1e 第 七 節(jié) 作 業(yè) P34 1 (1) (3) (5) (8) (9) (12) ;2 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下

17、 頁 返 回 結(jié) 束 xxx 3cotlim3 0、 x xx sinlim1 0、 xxx 3sin2sinlim2 0、練 習(xí) 題 0 sinlimx xx 0 sin2 3 2lim 2 sin3 3x x xx x 0 3 1lim cos3sin3 3x x xx ._2sinlim4 xxx、 0 1323 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 215 lim( ) _xx xx 、 21lim 1 xx x 2e1116 lim _xx x 、 111lim 1 (1 ) xx x 1e 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 題求 極 限 xxxx 193lim 思 考 題 解 答 xxxx 193lim xxxxx 11 1319lim xxx xx 313311lim9 99 0 e