新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)13 解析幾何（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(十三)解析幾何1(2020新高考全國卷)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且過點(diǎn)A(2，1)(1)求C的方程；(2)點(diǎn)M，N在C上，且AMAN，ADMN，D為垂足證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值解(1)由題設(shè)得1，解得a26，b23.所以C的方程為1.(2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)若直線MN與x軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為ykxm，代入1得(12k2)x24kmx2m260.于是x1x2，x1x2.由AMAN知0，故(x12)(x22)(y11)(y21)0，可得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240.將代入上式可得(k21)(kmk2)

2、(m1)240.整理得(2k3m1)(2km1)0.因?yàn)锳(2，1)不在直線MN上，所以2km10，故2k3m10，k1，mk.于是MN的方程為yk(k1)所以直線MN過點(diǎn)P.若直線MN與x軸垂直，可得N(x1，y1)由0得(x12)(x12)(y11)(y11)0.又1，可得3x8x140.解得x12(舍去)，x1.此時(shí)直線MN過點(diǎn)P.令Q為AP的中點(diǎn)，即Q.若D與P不重合，則由題設(shè)知AP是RtADP的斜邊，故|DQ|AP|.若D與P重合，則|DQ|AP|.綜上，存在點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值2(2019全國卷)已知點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，動點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.

3、記M的軌跡為曲線C(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點(diǎn)G.()證明：PQG是直角三角形；()求PQG面積的最大值解(1)由題設(shè)得，化簡得1(|x|2)，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)(2)()證明：設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為ykx(k0)由得x.記u，則P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0)于是直線QG的斜率為，方程為y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.設(shè)G(xG，yG)，則u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.從而直線PG的斜率為.所以P

4、QPG，即PQG是直角三角形()由()得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面積S|PQ|PG|.設(shè)tk，則由k0得t2，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號因?yàn)镾在2，)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t2，即k1時(shí)，S取得最大值，最大值為.因此，PQG面積的最大值為.3(2018全國卷)設(shè)橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB解(1)由已知得F(1，0)，l的方程為x1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.又M(2，0)，所以AM的方程為yx或yx.(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB0.當(dāng)l與x軸

5、垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和為kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMB.將yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0.從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以O(shè)MAOMB綜上，OMAOMB1(2020安徽示范高中名校聯(lián)考)過F(0，1)的直線l與拋物線C：x24y交于A，B兩點(diǎn)，以A，B兩點(diǎn)為切點(diǎn)分別作拋物線C的切線l1，l2，設(shè)l1與l

6、2交于點(diǎn)Q(x0，y0)(1)求y0；(2)過Q，F(xiàn)的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求四邊形AMBN面積的最小值解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l：ykx1，由得x24kx40，所以由x24yyx，所以l1：yy1x1(xx1)，即l1：yx1x，同理l2：yx2x，聯(lián)立得得即y01.(2)因?yàn)椋?x2x1，y2y1)，所以2(y2y1)0，所以，即MNAB，|AB|y1y22k(x1x2)44k24，同理|MN|4(易知k0)，SAMBN|AB|MN|8(k21)832，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)，四邊形AMBN的面積取得最小值32.2(2020濟(jì)寧模擬)已知圓O：x2y24，拋物線C：

7、x22py(p0)(1)若拋物線C的焦點(diǎn)F在圓O上，且A為拋物線C和圓O的一個(gè)交點(diǎn)，求|AF|；(2)若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點(diǎn)M，N，設(shè)M(x0，y0)，當(dāng)y03，4時(shí)，求|MN|的最大值解(1)由題意知F(0，2)，所以p4.所以拋物線C的方程為x28y.將x28y與x2y24聯(lián)立得得y2(2)，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為yA2(2)，結(jié)合拋物線的定義得|AF|yA22.(2)由x22py得y，y，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為yy0(xx0)，即x0xpypy00.連接OM，ON(圖略)，則|ON|2，得p，且y40，所以|MN|2|OM|2|ON|2xy42py0y4y4y41

8、6y4.令ty4，y03，4，則t5，12，令f (t)16t，則f (t)1，當(dāng)t5，8時(shí)，f (t)0，f (t)單調(diào)遞減，當(dāng)t(8，12時(shí)，f (t)0，f (t)單調(diào)遞增又f (5)165，f (12)1612，所以f (t)max，即|MN|的最大值為.3(2020貴陽模擬)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的焦點(diǎn)F1到雙曲線y21的漸近線的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：ykxm(k0)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F2，且原點(diǎn)O到直線l的距離為，求直線l的方程解(1)橢圓C：1(ab0)的離心率為，.又雙

9、曲線y21的其中一條漸近線方程為xy0，橢圓C的焦點(diǎn)F1(c，0)，解得c1，a，b1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由(1)知F2(1，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原點(diǎn)O到直線l：ykxm(k0)的距離為，得，即m2(1k2)將ykxm代入y21，得(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)8(2k2m21)0，x1x2，x1x2，又以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F2，0，即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)(kx1m)(kx2m)0，即(1k2)x1x2(km1)(x1x2)m210，(1k2)(km1)m210，化簡得3m

10、24km10.由，得11m410m210，m21.又k0，滿足8(2k2m21)0.直線l的方程為yx1.4(2020大同調(diào)研)橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率e.(1)設(shè)E是直線yx2與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求|EF1|EF2|取最小值時(shí)橢圓的方程；(2)已知N(0，1)，是否存在斜率為k的直線l與(1)中的橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，使得點(diǎn)N在線段AB的垂直平分線上？若存在，求出直線l在y軸上截距的范圍；若不存在，說明理由解(1)e，橢圓的方程可化為1，將1與yx2聯(lián)立，消去y化簡得4x212x123b20，由14416(123b2)0，解得b21，即b1，|EF1|EF2|

11、2a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)，|EF1|EF2|取最小值2，橢圓的方程為y21.(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為t，則直線l的方程為ykxt，代入y21，消去y整理得，(13k2)x26ktx3t230，直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，1(6kt)212(t21)(13k2)0，即t213k2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為Q，則x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2t，AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，當(dāng)k0時(shí)，化簡得13k22t，代入t213k2得2t0.又2t13k21，t，故2t.當(dāng)k0時(shí)，1t1.綜上，k0時(shí)，直線l在y軸上截距的范圍為；k0時(shí)，直線l在y軸上截距的范圍為(1，

12、1)1已知定點(diǎn)A(3，0)，B(3，0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)T(1，0)的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)S(x0，0)，使得直線SP與SQ斜率之積為定值？若存在，求出S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解(1)設(shè)動點(diǎn)M(x，y)，則直線MA的斜率kMA(x3)，直線MB的斜率kMB(x3)因?yàn)閗MAkMB，所以，化簡得y21，又x3，所以曲線C的方程為y21(x3)(2)由題意得直線l的斜率不為0，根據(jù)直線l過點(diǎn)T(1，0)，可設(shè)直線l的方程為xmy1，聯(lián)立消去x得(m29)y22my80.設(shè)P(x1，y1

13、)，Q(x2，y2)，則直線SP與SQ的斜率分別為kSP，kSQ，kSPkSQ，當(dāng)x03時(shí)，mR，kSPkSQ；當(dāng)x03時(shí)，mR，kSPkSQ.所以存在定點(diǎn)S(3，0)，使得直線SP與SQ斜率之積為定值2已知橢圓1(ab0)的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為4，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為圓x2y22x0的圓心(1)求橢圓的方程；(2)若M，N為橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，直線OM，ON的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k2時(shí)，MON的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，請說明理由解(1)由題意可知，2ab4，圓x2y22x0的圓心坐標(biāo)為(1，0)，所以c1，因此a2b21，結(jié)合ab2得a24，b23，故橢圓的

14、方程為1.(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為ykxm(m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y可得，(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)48(4k2m23)0，即m24k23，x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.又點(diǎn)O到直線MN的距離d，所以SMON|MN|d.又k1k2，所以k2，化簡可得2m24k23，滿足0.則SMON.當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，由于k1k2，且OM，ON關(guān)于x軸對稱，不妨設(shè)k1，k2，則易得M，N或M，N，此時(shí)SMON.綜上，MON的面積為定值，定值為.3已知橢圓E：1(ab0)的離心率為，且與拋物線y

15、2x交于M，N兩點(diǎn)，OMN(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，點(diǎn)A為橢圓E上一動點(diǎn)(非長軸端點(diǎn))，點(diǎn)F為橢圓E的右焦點(diǎn)，AF的延長線與橢圓E交于點(diǎn)B，AO的延長線與橢圓E交于點(diǎn)C，求ABC面積的最大值解(1)根據(jù)題意不妨設(shè)M(x，)，N(x，)OMN的面積為2，x2，得x2，M(2，)，N(2，)由已知得得a2，b2，c2，橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不妨取A(2，)，B(2，)，則C(2，)，故ABC的面積S244.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程，得化簡得(2k21)

16、x28k2x8k280，則64k44(2k21)(8k28)32(k21)0，x1x2，x1x2.|AB|4.又點(diǎn)O到直線AB的距離d，且O是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)C到直線AB的距離為2d，SABC|AB|2d48.，且k2k21，等號不成立，SABC84.綜上，ABC面積的最大值為4.4已知拋物線C1：x24y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長為2.(1)求C2的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向 ()若|AC|BD|，求直線l的斜率；()設(shè)C1在點(diǎn)A處的切線與x軸的交點(diǎn)為M，證明：直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，MFD總是鈍

17、角三角形解(1)由C1：x24y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，1)因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2b21.又C1與C2的公共弦的長為2，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為x24y，由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以1.聯(lián)立，解得a29，b28.故C2的方程為1.(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)()因?yàn)榕c同向，且|AC|BD|，所以，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是這個(gè)方程的兩個(gè)根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是這個(gè)方程的兩個(gè)根，所以x3x4，x3x4.將代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直線l的斜率為.()由x24y得y，所以C1在點(diǎn)A處的切線方程為yy1(xx1)，即y.令y0，得x，即M，所以.而(x1，y11)，于是y1110，因此AFM是銳角，從而MFD180AFM是鈍角故直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，MFD總是鈍角三角形.