概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第3章

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1、二維隨機變量及其分布第三章 n二維隨機變量及其聯(lián) 合分布n邊緣分布與獨立性n兩個隨機變量的函數(shù) 的分布例如 E：抽樣調(diào) 查 15-18歲青少年的身高 X與體重 Y,以研究當前該年齡段青少年的身體發(fā) 育情況。前面我們討論的是隨機實驗中單獨的一個隨機變量，又稱為一維隨機變量；然而在許多實際問題中，常常需要同時研究一個試驗中的兩個甚至更多個

2、隨機變量。不過此時我們需要研究的不僅僅是 X及 Y各自的性質(zhì) ，更需要了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約關(guān) 系。因此，我們將二者作為一個整體來進行研究，記為 (X, Y),稱為二維隨機變（向）量。設(shè) X、 Y 為定義在同一樣本空間上的隨機變量，則稱向量（ X， Y ）為上的一個二維隨機變量。n 定義二維隨機變量二維隨機變量 (X, Y)的取值可看作平面上

3、的點（ x， y） A 二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)若隨機變量，對于任意的實數(shù) x,y.( , ) , F x y P X x Y y 稱為二維隨機變量的聯(lián) 合分布函數(shù)(1) ( , )F x y x y分別關(guān) 于和單調(diào) 不減 ( , ) 0F y ( , ) 0F x ( , ) 0F ( , ) 1F (2) 0 ( , ) 1F x y (3) x y (x,y) x1 x2y1y2 P（ x1 X x2， y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域

4、概率P（ x1 X x2， y1 Y y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) 二維離散型隨機變量若二維隨機變量的所有可能取值只有限對或可列對，則稱為二維離散型隨機變量。如何反映（ X， Y）的取值規(guī) 律呢？n 研究問題聯(lián) 想一維離散型隨機變量的分布律。 1 1 1iji j p YX 1y 2y jy1x 11p 12p 1 jp2x 21p 22p 2 jpix 1ip 2ip ijp 。。。.。。。 .。。。 . 。。

5、。. 。。。 . 。。。. 。。。 . 。。。。。.。。。 . 。。。。。 . 。。。 . 。。。。。 . . 。。。。。 . . 。。。。。性質(zhì) 0 1ijp , ( 1,2, ; 1,2, )i j ijP X x Y y p i j 一個口袋中有三個球，依次標有數(shù) 字 1， 2， 2，從中任取一個，不放回袋中，再任取一個，設(shè) 每次取球時，各球被取到的可能性相等 .以、分別記第一次和第二次取到的球上

6、標有的數(shù) 字，求 ( , )X Y 的聯(lián) 合分布列 . ( , )X Y 的可能取值為 (1， 2)， (2， 1)， (2， 2). ， (1/3) (2/2) 1/3，， (2/3) (1/2) 1/3，， = (2/3) (1/2) 1/3， 1/31/3 1/3 例解見書 P69，習題 1( , )X Y 的可能取值為例解 (0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（ 2， 0） 1 1( , ) (0,0) , ( , ) ( 1,1)6 31 5( , ) ( 1,1 3) , ( , ) (2,0)12 12P X

7、 Y P X YP X Y P X Y （ X， Y）的聯(lián) 合分布律為 y X 0 1 1/30 1/6 0 0-1 0 1/3 1/122 5/12 0 0 若存在非負函數(shù) f（ x， y），使對任意實數(shù) x， y，二元隨機變量 (X,Y)的分布函數(shù) 可表示成如下形式( , ) ( , )x yF x y f u v dudv 則稱 (X,Y)是二元連續(xù) 型隨機變量。 f（ x， y）稱為二元隨機變量 (X,Y)的聯(lián) 合概率密度函數(shù) .二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率

8、密度函數(shù)的性質(zhì)( , ) 1f x y dxdy ( , ) ) ( , )DP x y D f x y d n 非負性 Dx y( , )f x y( , ) 0f x y n . 2 ( , ) ( , )F x y f x yx y n . ( , ) 1F 隨機事件的概率 =曲頂柱體的體積設(shè) 二維隨機變量 ( , )X Y 的概率密度為 (1) 確定常數(shù) k； (2 3 ) 0, 0( , ) 0 x yke x yf x y 其它( , )X Y (2) 求的分布函數(shù) ；0 4,0 1P X Y (3)求； . P

9、 X Y (4) 求例 2 3 0 0 x yk e dx e dy 2 30 01 1 2 3x yk e e 6k (1) (2 3 ) 0 0 x yke dxdy 1 16k ( , )f x y dxdy 所以解 ( , ) ( , )x yF x y f u v dudv (2)當時，0, 0 x y 或( , ) 0F x y 當時，0, 0 x y 且 2 30 0( , ) 6x y x yF x y e dudv 2 3(1 )(1 )x ye e 所以， 2 3(1 )(1 ), ( 0, 0)( , ) 0 x ye e x yF x y 其他 0

10、4, 0 1P X Y (3) 1 4 (2 3 ) 0 0 6 x ye dxdy 8 3(1 )(1 ) 0.95e e 4 1或解 0 4, 0 1P X Y (4,1) (0,0) (4,0) (0,1)F F F F (4,1)F 8 3(1 )(1 ) 0.95e e 0, 0 x yy x x0y ( , )DP X Y f x y dxdy (4) 3 23 1 0 y ye e dy 3 5 3 23 3 10 0 5 5y ye dy e dy ( , )x y f x y dxdy (2 3 )60 0 x yy e dx dy 2 24例已知二維隨機變

11、量（ X， Y）的分布密度為 1(6 ), 0 2,2 4( , ) 8 0, x y x yf x y 其他求概率 (1) 1, 3 ;(2) 3P X Y P X Y 解 1, 3 ( , )DP X Y f x y dxdy 1 30 2 1(6 )8dx x y dy 11 2 320 1 1 3(6 )8 2 8y xy y dx 3 ( , )DP X Y f x y dxdy 1 30 2 1(6 )8xdx x y dy 1 2 320 1 1(6 )8 2 xy xy y dx 524續(xù) 解 . x+y=3 思考已知二維隨機變量（ X，

12、 Y）的分布密度為 1(6 ), 0 2,2 4( , ) 8 0, x y x yf x y 其他求概率 4 1P X Y X 2 24 1解答 4 1P X Y X 4, 11P X Y XP X 2 41 22 41 2 1(6 )81(6 )8xdx x y dydx x y dy 7 48 73 8 18 二維均勻分布1 , ( , )( , ) 0, x y Df x y A 其它設(shè) 二維隨機變量 ( , )X Y 的概率密度為 D A ( , )X Y D上服從均勻分布 .在，則稱是平面上的有界區(qū) 域，

13、其面積為其中思考已知二維隨機變量（ X， Y）服從區(qū) 域 D上的均勻分布， D為 x軸， y軸及直線 y=2x+1所圍成的三角形區(qū) 域。求（ 1）分布函數(shù) ；（ 2） 12P Y 解（ X,Y）的密度函數(shù) 為 y=2x+1 -1/2 ( , ) ,F x y P X x Y y （ 1）當時， 12x ( , ) 0F x y P 分布函數(shù) 為 14, ( 0,0 2 1)( , ) 20, x y xf x y 其他 y=2x+1 -1/2 （ 2）當時，1 02 x 0 ( ,

14、 ) 0,y f x y 時， ( , ) 0F x y 所以，0 2 1y x 時，( , ) 4F x y dxdy 梯形 4 2 2 1 2yS y x 梯形2 1y x 時，( , ) 4F x y dxdy 三角形 214 4 2S x 三角形 y=2x+1 -1/2 （ 3）當時，0 x 0 ( , ) 0,y f x y 時， ( , ) 0F x y 所以，0 1y 時，( , ) 4F x y dxdy 梯形 4 2 1 2yS y 梯形1y 時，( , ) 4F x y dxdy 三角形 4 1S 三角形所以，所求

15、的分布函數(shù) 為 2 1 0, ( 0)212 2 1 , ( 0,0 2 1)2 21 1( , ) 4 , ( 0,2 1 )2 22 1 , (0 ,0 1)2 1, ( 0, 1)x yyy x x y xF x y x x x yyy x yx y 或 0.5y=2x+1 -1/2 12P Y 4dxdy 梯形34 二維正態(tài)分布設(shè) 二維隨機變量 ( , )X Y 的概率密度為 1 2 22 21 1 2 22 2 21 1 2 21( , ) 2 1( ) ( )( ) ( )1exp 2 2(1 )f x y x x y y ( , )x y 1 2

16、1 2, , , , 1 20, 0, 1 1 其中均為參數(shù) 則稱 ( , )X Y 服從參數(shù) 為 1 2 1 2, , , , 的二維正態(tài) 分布 2 21 2 1 2( , , , , )N 邊緣分布 marginal distribution( , )X Y 二維隨機變量 ,是兩個隨機變量視為一個整體，來討論其取值規(guī) 律的，我們可用分布函數(shù) 來描述其取值規(guī) 律。( , ) , F x y P X x Y y 問題：能否由二維隨機變量的分布來確定兩

17、個一維隨機變量的取值規(guī) 律呢？如何確定呢？邊緣分布問題邊緣分布 marginal distribution( , )X Y ( , )F x y 設(shè) 二維隨機變量的分布函數(shù) 為， ( , )X Y X Y依次稱為二維隨機變量關(guān) 于和關(guān) 于的邊緣分布函數(shù) ( ) , ( , )XF x P X x P X x Y F x ( ) ( , )XF x F x ( ) ( , )YF y F y ( ) , ( , )YF y P Y y P X Y y F y 二維離散型R.v.的邊緣分布 ,

18、i j ijP X x Y y p , 1,2,3,i j 如果二維離散型隨機變量（ X,Y）的聯(lián) 合分布律為即 YX y1 y2 y3 x1 p11 p12 p13 x 2 p21 p22 p23 x3 p31 p32 p33 ijji ip P X x p 二維離散型R.v.的邊緣分布 j ijijp P Y y p 關(guān) 于 X的邊緣分布關(guān) 于 Y的邊緣分布 YX y1 y2 y3 Pi.x1 p11 p12 p13 P1.x2 p21 p22 p23 P2.x3 p31 p32 p33 P3. p.j p.1 p.2 p.3 二維離散型

19、R.v.的邊緣分布 j ijijp P Y y p 關(guān) 于 X的邊緣分布關(guān) 于 Y的邊緣分布第 j列之和X x1 x2 x3 概率 P1. P2. P3. ijji ip P X x p 第 i行之和Y y1 y2 y3 概率 P. 1 P.2 P.3 二維離散型R.v.的邊緣分布例 1 設(shè) 二維離散型隨機變量（ X,Y）的聯(lián) 合分布律為 YX 0 1 1/3-1 0 1/3 1/120 1/6 0 02 5/12 0 0求關(guān) 于 X、 Y的邊緣分布關(guān) 于 Y的邊緣分布Y 0 1 1/3概率 7/12 1/3 1

20、/12解關(guān) 于 X的邊緣分布為 X -1 0 2概率 5/12 1/6 5/12 YX 0 1 1/3-1 0 1/3 1/120 1/6 0 02 5/12 0 0（ X， Y）的聯(lián) 合分布列二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 ( ) ( , ) ( , )X xF x F x f u v dv du n 關(guān) 于 X的邊緣概率密度為 ( ) ( , ) Xf x f x y dy n 關(guān) 于 Y的邊緣概率密度為 ( ) ( , ) ( , )Y yF x F y f u v du dv Y的邊緣分布函數(shù) 為關(guān) 于 ( ) ( ,

21、) Yf y f x y dx X的邊緣分布函數(shù) 為關(guān) 于例 2 設(shè) （ X, Y）的聯(lián) 合密度為0 1,1 3( , ) 0kxy x yf x y 其它求 k值和兩個邊緣分布密度函數(shù) 12k ( ) ( , )Xf x f x y dy3 11 0 2 1k ydy xdx k 解由 ( , ) 1dx f x y dy 得 0,1x當時 31 1 22( )Xf x xydy x 關(guān) 于 X的邊緣分布密度為 113 113( ) 0Xf x 2 0,1( ) 0X x xf x 其它1,3( ) 40Y y yf y

22、其它解所以，關(guān) 于 X的邊緣分布密度為 ( ) ( , )Yf y f x y dx ( ) 0Yf y 所以，關(guān) 于 Y的邊緣分布密度為 0,1x當時 1,3y當時 1,3y當時 10 12 4( )Y yf y xydx 關(guān) 于 Y的邊緣分布密度為邊緣分布密度和概率的計算例 3 設(shè) （ X, Y) 的聯(lián) 合分布密度為 2 2 1( , ) 0k x yf x y 其它（ 1）求 k值(2) 求關(guān) 于 X和 Y的邊緣密度（ 3）求概率 P(X+Y1/2) (2) ( ) ( , )Xf x f x

23、 y dy 2 211 1( ) xX xf x dy 均勻分布解 (1) 由 ( , ) 1f x y dxdy 2 2 1 1x y kdxdy k 得 1k 1,1x 當時 22 1 x -1 1 22 1 1,1( ) 0X x xf x 其它 1,1x 當時( ) 0Xf x 所以，關(guān) 于 X的邊緣分布密度函數(shù) 為 -1 1續(xù) 解 . -1 1( ) ( , )Yf y f x y dx 2211 1( ) yY yf y dx 22 1 1,1( ) 0Y y yf y 其它解 1,1y 當時 1,1y 當時( ) 0Yf y 所以，關(guān)

24、于 Y的邊緣分布密度函數(shù) 為 22 1 y 1( ) ( , )2 DP X f x y dxdy ( 1) ( , )DP X Y f x y dxdy 解（ 3） 1 3( )3 4 1 1D dxdy1 1( )4 2 2 1D dxdy 20 11 1 1xxdx dy 221 11 12 1xxdx dy 見課本 P59例 3 如果二維隨機變量（ X， Y）服從正態(tài) 分布 2 21 2 1 2, , , ,N 則兩個邊緣分布分別服從正態(tài) 分布 21 1 ,X N 22 2 ,Y N 與相關(guān) 系數(shù) 無關(guān)

25、可見，聯(lián) 合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián) 合分布例 4 設(shè) （ X， Y）的聯(lián) 合分布密度函數(shù) 為 2 221( , ) (1 sin sin ), ,2 x yf x y e x y x y 求關(guān) 于 X， Y的邊緣分布密度函數(shù) 解關(guān) 于 X的分布密度函數(shù) 為 ( ) ( , ) Xf x f x y dy2 221 (1 sin sin )2 x ye x y dy 2 2 2 22 21 1 sin sin2 2x y x ye dy e x ydy 2 22 21 12 2

26、x ye e dy 2212 xe 2 22 21 sin sin2 x ye x e ydy 0,1X N所以， 0,1Y N同理可得不同的聯(lián) 合分布，可有相同的邊緣分布。可見，聯(lián) 合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián) 合分布隨機變量的相互獨立性 ( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f y n 特別，對于離散型和連續(xù) 型的隨機變量，該定義分別等價于 ij i jp p p 對任意 i,j 對任意 x,y 在實際問題

27、或應(yīng) 用中，當 X的取值與 Y的取值互不影響時，我們就認為 X與 Y是相互獨立的，進而把上述定義式當公式運用 . 在 X與 Y是相互獨立的前提下， ( , ) ( ) ( )X YF x y F x F y 設(shè) （ X， Y）的概率分布（律）為證明： X、 Y相互獨立。例 1 ij i jp p p 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2

28、 0 -1yx逐個驗證等式證 X與 Y的邊緣分布律分別為 X、 Y相互獨立11 1. .1220p p p 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y12 1. .2120p p p 13 1. .3420p p p 21 2. .1p p p 22 2. .2p p p 23 2. .3p p p 31 3. .1p p p 32 3. .2p p p 33 3. .3p p p 例 2 設(shè) （ X， Y)的概率密度為(2 3 )6 0 , 0( , ) 0 x ye x yx y 其他求

29、 (1) P（ 0 X 1 ， 0 Y 1） (2) (X,Y)的邊緣密度，（ 3）判斷 X、 Y是否獨立。解設(shè) A=（ x， y）： 0 x 1 ， 0 y 1） ( , )0 1,0 1 ( , )x y AP x y x y dxdy 1 1 2 3 2 30 0 6 (1 )(1 )x ydx e dy e e 1 1 ( ) ( , )X x x y dy 22 , ( 0)( ) 0, ( 0)x X e xx x 邊緣密度函數(shù) 分別為當時0 x 2 3 20( ) 6 2x y xX x e dy e 當時0 x ( ) 0 X x

30、所以，同理可得 33 , ( 0)( ) 0, ( 0)y Y e yy y 2 32 , 0 3 , 0( ) , ( )0 , 0 0 , 0 x yX Ye x e yx yx y (2 3 )6 , ( 0, 0)( ) ( ) 0, x yX Y e x yx y 其它所以 X 與 Y 相互獨立。( , )x y 例 3 已知二維隨機變量（ X， Y）服從區(qū) 域 D上的均勻分布， D為 x軸， y軸及直線 y=2x+1所圍成的三角形區(qū) 域。判斷 X， Y是否獨立。解（ X,Y）的密

31、度函數(shù) 為 14, ( 0,0 2 1) ( , ) 20, x y xf x y 其他當時，1 02 x 2 10( ) 4xXf x dy 4(2 1)x 所以，關(guān) 于 X的邊緣分布密度為 14(2 1), ( 0)( ) 2 0, X x xf x 其它關(guān) 于 X的邊緣分布密度為 ( ) ( , )Xf x f x y dy當或時12x 0 x ( ) 0Xf x 當時，0 1y 0 12( ) 4yYf y dx 2(1 )y 所以，關(guān) 于 Y的邊緣分布密度為 2(1 ), (0 1)( ) 0, Y y y

32、f y 其它關(guān) 于 Y的邊緣分布密度為 ( ) ( , )Yf y f x y dx當或時0y 1y ( ) 0Yf y 18(2 1)(1 ),( 0,0 1 )( ) ( ) 2 0, X Y x y x yf x f y 其它所以 ( , )f x y所以， X與 Y不獨立。 1 ,( )( )( , ) 0 a x b c y db a d cf x y 其他( , )| , x y a x b c y d 1 1( ) ( , ) ( )( ) dX cf x f x y dy dyb a d c b a a x b 1( ) 0Xf x b a

33、 otherwisea x b 1( ) 0y c xy df y c d otherwise 于是 ( , ) ( ) ( ) X Yf x y f x f y ( ) 0Xf x ( , )x ab ( ) ( , ) ZF z P Z z P g x y z 設(shè) ( , )X Y 是二維隨機變量 ,其聯(lián) 合分布函數(shù) 為( , ),F x y ( , )Z g X Y 是隨機變量 ,X Y 的二元函數(shù)Zn 的分布函數(shù)問題：如何確定隨機變量 Z的分布呢？設(shè) ( , )X Y 是二維離散型隨機變量 ,

34、其聯(lián) 合分布列為 , , ( 1,2, ; 1,2, )i j i jP X a Y b p i j ( , )Z g X Y則是一維的離散型隨機變量其分布列為 ( , ) , ( 1,2, ; 1,2, ) i j i jP Z g a b p i j 例設(shè) 的聯(lián) 合分布列為 ( , )X Y YX -2 -1 0-1 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 03 2/12 0 2/12分別求出（ 1） X+Y；（ 2） X-Y；（ 3） X2+Y-2的分布列解由（ X， Y）的聯(lián) 合分布列可

35、得如下表格概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12-3 -2 -1 -3/2 -1/2 1 31 0 -1 5/2 3/2 5 3-3 -2 -1 -15/4 -11/4 5 7( , )X Y ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0) 1( , 2)2 1( , 1)2 (3, 2) (3,0)X YX Y 2 2X Y 解得所求的各分布列為 X+Y -3 -2 -1 -3/2 -1/2 1 3概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3概率 1/

36、12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12X 2+Y-2 -3 -2 -1 -15/4 -11/4 5 7概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 設(shè) ( , )X Y 是二維連續(xù) 型隨機變量 ,其聯(lián) 合分布密度為( , )Z g X Y則是一維的連續(xù) 型隨機變量其分布函數(shù) 為 ( ) ( , ) ZF z P g X Y z ( , ),f x y ( , )z g x y 是二元連續(xù) 函數(shù) ，其分布密度函數(shù) 為 ( ) ( ) Z Zf z F z( ,

37、 ) ( , )g x y z f x y dxdy 例設(shè) 二維隨機變量（ X, Y）的概率密度為( 2 )2 0, 0( , ) 0 x ye x yf x y 其它求隨機變量 Z=X+2Y 的分布密度函數(shù)解 ( ) 2 ZF z P Z z P X Y z 0z 0P Z z 0z ( 2 )20 0 2z xz x yP Z z dx e dy 1 z ze ze 2 ( , )x y z f x y dxdy 例設(shè) 二維隨機變量（ X, Y）的概率密度為( 2 )2 0, 0( , ) 0 x ye x yf x

38、 y 其它求隨機變量 Z=X+2Y 的分布函數(shù)0 0( ) 1 0 Z z z zF z e ze z 解所求分布函數(shù) 為分布密度函數(shù) 為 0 0( ) 0Z z zf z ze z 見課本 P67例 1 如果（ X， Y）的聯(lián) 合分布密度函數(shù) 為 f(x,y)，則Z=X+Y的分布密度函數(shù) 為 ( ) ( , )Zf z f x z x dx ( ) ( , )Zf z f z y y dy 或特別，當 X， Y相互獨立時，有卷積公式 ( ) ( ) ( ) Z X Yf z f x f

39、 z x dx 或 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y dy 記住結(jié) 論！獨立1 1 22( ) ( )( )X P X Y PY P n 如果 X與 Y相互獨立( , ) ( , )( , )X B m X Y B m n pB ppY n 21 1 2 21 2 1 222 2( , ) ( , )( , )X N X Y NY N 例證明：如果 X與 Y相互獨立，且 XB（ n,p）， YB（ m,p），則 X+YB（ n+m,p）證明 X+Y所有可能取值為 0， 1， ,m+n. 0 ,kiP X Y k P X i Y k i 0ki P X i P Y k i 0k i i n i k i k i m k in mi C p q C p q 0k i k inm ik n k mp q C C k kn mk m nC p q 證畢

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第3章

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