概率論與數理統(tǒng)計課件第3章

二 維 隨 機 變 量 及 其 分 布第 三 章 n二 維 隨 機 變 量 及 其 聯(lián) 合 分 布n邊 緣 分 布 與 獨 立 性n兩 個 隨 機 變 量 的 函 數 的 分 布 例 如 E： 抽 樣 調 查 15-18歲 青 少 年 的 身 高 X與 體 重 Y,以 研 究 當 前 該 年 齡 段 青 少 年 的 身 體 發(fā) 育 情 況 。 前 面 我 們 討 論 的 是 隨 機 實 驗 中 單 獨 的一 個 隨 機 變 量 ， 又 稱 為 一 維 隨 機 變 量 ； 然 而在 許 多 實 際 問 題 中 ， 常 常 需 要 同 時 研 究 一 個試 驗 中 的 兩 個 甚 至 更 多 個 隨 機 變 量 。 不 過 此 時 我 們 需 要 研 究 的 不 僅 僅 是 X及 Y各 自 的 性質 ， 更 需 要 了 解 這 兩 個 隨 機 變 量 的 相 互 依 賴 和 制 約關 系 。 因 此 ， 我 們 將 二 者 作 為 一 個 整 體 來 進 行 研 究 ，記 為 (X, Y),稱 為 二 維 隨 機 變 （ 向 ） 量 。 設 X、 Y 為 定 義 在 同 一 樣 本 空 間 上 的 隨 機 變量 ， 則 稱 向 量 （ X， Y ） 為 上 的 一 個 二 維 隨 機 變量 。n 定 義二維隨機變量二 維 隨 機 變 量 (X, Y)的 取 值 可 看 作 平 面 上 的 點（ x， y） A 二維隨機變量的聯(lián)合分布函數若 隨 機 變 量 ，對 于 任 意 的 實 數 x,y.( , ) , F x y P X x Y y 稱 為 二 維 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(1) ( , )F x y x y分 別 關 于 和 單 調 不 減 ( , ) 0F y ( , ) 0F x ( , ) 0F ( , ) 1F (2) 0 ( , ) 1F x y (3) x y (x,y) x1 x2y1y2 P（ x1 X x2， y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)聯(lián)合分布函數表示矩形域概率P（ x1 X x2， y1 Y y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) 二維離散型隨機變量 若 二 維 隨 機 變 量 的 所 有 可 能 取值 只 有 限 對 或 可 列 對 ， 則 稱 為 二 維 離 散 型隨 機 變 量 。如 何 反 映 （ X， Y） 的 取 值 規(guī) 律 呢 ？n 研 究 問 題聯(lián) 想 一 維 離 散 型 隨 機 變 量 的 分 布 律 。 1 1 1iji j p YX 1y 2y jy1x 11p 12p 1 jp2x 21p 22p 2 jpix 1ip 2ip ijp 。 。 。.。 。 。 .。 。 。 . 。 。 。. 。 。 。 . 。 。 。. 。 。 。 . 。 。 。 。 。.。 。 。 . 。 。 。 。 。 . 。 。 。 . 。 。 。 。 。 . . 。 。 。 。 。 . . 。 。 。 。 。 性 質 0 1ijp , ( 1,2, ; 1,2, )i j ijP X x Y y p i j 一 個 口 袋 中 有 三 個 球 ， 依 次 標 有 數 字 1， 2， 2， 從 中 任取 一 個 ， 不 放 回 袋 中 ， 再 任 取 一 個 ， 設 每 次 取 球 時 ， 各 球 被取 到 的 可 能 性 相 等 .以 、 分 別 記 第 一 次 和 第 二 次 取 到 的 球上 標 有 的 數 字 ， 求 ( , )X Y 的 聯(lián) 合 分 布 列 . ( , )X Y 的 可 能 取 值 為 (1， 2)， (2， 1)， (2， 2). ， (1/3) (2/2) 1/3， ， (2/3) (1/2) 1/3， ， = (2/3) (1/2) 1/3， 1/31/3 1/3 例 解 見 書 P69， 習 題 1( , )X Y 的 可 能 取 值 為例解 (0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)， （ 2， 0） 1 1( , ) (0,0) , ( , ) ( 1,1)6 31 5( , ) ( 1,1 3) , ( , ) (2,0)12 12P X Y P X YP X Y P X Y （ X， Y） 的聯(lián) 合 分 布 律 為 y X 0 1 1/30 1/6 0 0-1 0 1/3 1/122 5/12 0 0 若 存 在 非 負 函 數 f（ x， y） ， 使 對 任 意實 數 x， y， 二 元 隨 機 變 量 (X,Y)的 分 布 函 數 可 表 示 成 如 下 形 式( , ) ( , )x yF x y f u v dudv 則 稱 (X,Y)是 二 元 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 。 f（ x， y）稱 為 二 元 隨 機 變 量 (X,Y)的 聯(lián) 合 概 率 密 度 函 數 .二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度 聯(lián)合概率密度函數的性質( , ) 1f x y dxdy ( , ) ) ( , )DP x y D f x y d n 非 負 性 Dx y( , )f x y( , ) 0f x y n . 2 ( , ) ( , )F x y f x yx y n . ( , ) 1F 隨 機 事 件 的 概 率 =曲 頂 柱 體 的 體 積 設 二 維 隨 機 變 量 ( , )X Y 的 概 率 密 度 為 (1) 確 定 常 數 k； (2 3 ) 0, 0( , ) 0 x yke x yf x y 其 它( , )X Y (2) 求 的 分 布 函 數 ；0 4,0 1P X Y (3)求 ； . P X Y (4) 求 例 2 3 0 0 x yk e dx e dy 2 30 01 1 2 3x yk e e 6k (1) (2 3 ) 0 0 x yke dxdy 1 16k ( , )f x y dxdy 所 以 解 ( , ) ( , )x yF x y f u v dudv (2)當 時 ，0, 0 x y 或( , ) 0F x y 當 時 ，0, 0 x y 且 2 30 0( , ) 6x y x yF x y e dudv 2 3(1 )(1 )x ye e 所 以 ， 2 3(1 )(1 ), ( 0, 0)( , ) 0 x ye e x yF x y 其 他 0 4, 0 1P X Y (3) 1 4 (2 3 ) 0 0 6 x ye dxdy 8 3(1 )(1 ) 0.95e e 4 1或 解 0 4, 0 1P X Y (4,1) (0,0) (4,0) (0,1)F F F F (4,1)F 8 3(1 )(1 ) 0.95e e 0, 0 x yy x x0y ( , )DP X Y f x y dxdy (4) 3 23 1 0 y ye e dy 3 5 3 23 3 10 0 5 5y ye dy e dy ( , )x y f x y dxdy (2 3 )60 0 x yy e dx dy 2 24例 已 知 二 維 隨 機 變 量 （ X， Y） 的 分 布 密 度 為 1(6 ), 0 2,2 4( , ) 8 0, x y x yf x y 其 他求 概 率 (1) 1, 3 ;(2) 3P X Y P X Y 解 1, 3 ( , )DP X Y f x y dxdy 1 30 2 1(6 )8dx x y dy 11 2 320 1 1 3(6 )8 2 8y xy y dx 3 ( , )DP X Y f x y dxdy 1 30 2 1(6 )8xdx x y dy 1 2 320 1 1(6 )8 2 xy xy y dx 524續(xù) 解 . x+y=3 思 考 已 知 二 維 隨 機 變 量 （ X， Y） 的 分 布 密 度 為 1(6 ), 0 2,2 4( , ) 8 0, x y x yf x y 其 他求 概 率 4 1P X Y X 2 24 1解 答 4 1P X Y X 4, 11P X Y XP X 2 41 22 41 2 1(6 )81(6 )8xdx x y dydx x y dy 7 48 73 8 18 二維均勻分布1 , ( , )( , ) 0, x y Df x y A 其 它設 二 維 隨 機 變 量 ( , )X Y 的 概 率 密 度 為 D A ( , )X Y D上 服 從 均 勻 分 布 .在， 則 稱 是 平 面 上 的 有 界 區(qū) 域 ， 其 面 積 為其 中 思 考 已 知 二 維 隨 機 變 量 （ X， Y） 服 從 區(qū) 域 D上 的均 勻 分 布 ， D為 x軸 ， y軸 及 直 線 y=2x+1所 圍 成 的 三 角 形區(qū) 域 。 求 （ 1） 分 布 函 數 ； （ 2） 12P Y 解 （ X,Y） 的 密 度 函 數 為 y=2x+1 -1/2 ( , ) ,F x y P X x Y y （ 1） 當 時 ， 12x ( , ) 0F x y P 分 布 函 數 為 14, ( 0,0 2 1)( , ) 20, x y xf x y 其 他 y=2x+1 -1/2 （ 2） 當 時 ，1 02 x 0 ( , ) 0,y f x y 時 ， ( , ) 0F x y 所 以 ，0 2 1y x 時 ，( , ) 4F x y dxdy 梯 形 4 2 2 1 2yS y x 梯 形2 1y x 時 ，( , ) 4F x y dxdy 三 角 形 214 4 2S x 三 角 形 y=2x+1 -1/2 （ 3） 當 時 ，0 x 0 ( , ) 0,y f x y 時 ， ( , ) 0F x y 所 以 ，0 1y 時 ，( , ) 4F x y dxdy 梯 形 4 2 1 2yS y 梯 形1y 時 ，( , ) 4F x y dxdy 三 角 形 4 1S 三 角 形 所 以 ， 所 求 的 分 布 函 數 為 2 1 0, ( 0)212 2 1 , ( 0,0 2 1)2 21 1( , ) 4 , ( 0,2 1 )2 22 1 , (0 ,0 1)2 1, ( 0, 1)x yyy x x y xF x y x x x yyy x yx y 或 0.5y=2x+1 -1/2 12P Y 4dxdy 梯 形34 二維正態(tài)分布設 二 維 隨 機 變 量 ( , )X Y 的 概 率 密 度 為 1 2 22 21 1 2 22 2 21 1 2 21( , ) 2 1( ) ( )( ) ( )1exp 2 2(1 )f x y x x y y ( , )x y 1 2 1 2, , , , 1 20, 0, 1 1 其 中 均 為 參 數 則 稱 ( , )X Y 服 從 參 數 為 1 2 1 2, , , , 的 二 維 正 態(tài) 分 布 2 21 2 1 2( , , , , )N 邊緣分布 marginal distribution( , )X Y 二 維 隨 機 變 量 ,是 兩 個 隨 機 變 量 視 為一 個 整 體 ， 來 討 論 其 取 值 規(guī) 律 的 ， 我 們 可 用 分 布函 數 來 描 述 其 取 值 規(guī) 律 。( , ) , F x y P X x Y y 問 題 ： 能 否 由 二 維 隨 機 變 量 的 分 布 來 確 定 兩 個一 維 隨 機 變 量 的 取 值 規(guī) 律 呢 ？ 如 何 確 定 呢 ？邊 緣 分 布 問 題 邊緣分布 marginal distribution( , )X Y ( , )F x y 設 二 維 隨 機 變 量 的 分 布 函 數 為 ， ( , )X Y X Y依 次 稱 為 二 維 隨 機 變 量 關 于 和 關 于的 邊 緣 分 布 函 數 ( ) , ( , )XF x P X x P X x Y F x ( ) ( , )XF x F x ( ) ( , )YF y F y ( ) , ( , )YF y P Y y P X Y y F y 二維離散型R.v.的邊緣分布 , i j ijP X x Y y p , 1,2,3,i j 如 果 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 （ X,Y） 的 聯(lián) 合 分 布 律 為 即 YX y1 y2 y3 x1 p11 p12 p13 x 2 p21 p22 p23 x3 p31 p32 p33 ijji ip P X x p 二維離散型R.v.的邊緣分布 j ijijp P Y y p 關 于 X的 邊 緣 分 布關 于 Y的 邊 緣 分 布 YX y1 y2 y3 Pi.x1 p11 p12 p13 P1.x2 p21 p22 p23 P2.x3 p31 p32 p33 P3. p.j p.1 p.2 p.3 二維離散型R.v.的邊緣分布 j ijijp P Y y p 關 于 X的 邊 緣 分 布關 于 Y的 邊 緣 分 布 第 j列 之 和X x1 x2 x3 概 率 P1. P2. P3. ijji ip P X x p 第 i行 之 和Y y1 y2 y3 概 率 P. 1 P.2 P.3 二維離散型R.v.的邊緣分布例 1 設 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 （ X,Y） 的 聯(lián) 合 分 布 律 為 YX 0 1 1/3-1 0 1/3 1/120 1/6 0 02 5/12 0 0求 關 于 X、 Y的 邊 緣 分 布 關 于 Y的 邊 緣 分 布Y 0 1 1/3概 率 7/12 1/3 1/12解 關 于 X的 邊 緣 分 布 為 X -1 0 2概 率 5/12 1/6 5/12 YX 0 1 1/3-1 0 1/3 1/120 1/6 0 02 5/12 0 0（ X， Y） 的 聯(lián) 合 分 布 列 二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 ( ) ( , ) ( , )X xF x F x f u v dv du n 關 于 X的 邊 緣 概 率 密 度 為 ( ) ( , ) Xf x f x y dy n 關 于 Y的 邊 緣 概 率 密 度 為 ( ) ( , ) ( , )Y yF x F y f u v du dv Y的 邊 緣 分 布 函 數 為 關 于 ( ) ( , ) Yf y f x y dx X的 邊 緣 分 布 函 數 為 關 于 例 2 設 （ X, Y） 的 聯(lián) 合 密 度 為0 1,1 3( , ) 0kxy x yf x y 其 它求 k值 和 兩 個 邊 緣 分 布 密 度 函 數 12k ( ) ( , )Xf x f x y dy3 11 0 2 1k ydy xdx k 解 由 ( , ) 1dx f x y dy 得 0,1x當 時 31 1 22( )Xf x xydy x 關 于 X的 邊 緣 分 布 密 度 為 113 113( ) 0Xf x 2 0,1( ) 0X x xf x 其 它1,3( ) 40Y y yf y 其 它解所 以 ， 關 于 X的 邊 緣 分 布 密 度 為 ( ) ( , )Yf y f x y dx ( ) 0Yf y 所 以 ， 關 于 Y的 邊 緣 分 布 密 度 為 0,1x當 時 1,3y當 時 1,3y當 時 10 12 4( )Y yf y xydx 關 于 Y的 邊 緣 分 布 密 度 為 邊緣分布密度和概率的計算例 3 設 （ X, Y) 的 聯(lián) 合 分 布 密 度 為 2 2 1( , ) 0k x yf x y 其 它（ 1） 求 k值(2) 求 關 于 X和 Y的 邊 緣 密 度（ 3） 求 概 率 P(X+Y1/2) (2) ( ) ( , )Xf x f x y dy 2 211 1( ) xX xf x dy 均 勻 分 布解 (1) 由 ( , ) 1f x y dxdy 2 2 1 1x y kdxdy k 得 1k 1,1x 當 時 22 1 x -1 1 22 1 1,1( ) 0X x xf x 其 它 1,1x 當 時( ) 0Xf x 所 以 ， 關 于 X的 邊 緣分 布 密 度 函 數 為 -1 1續(xù) 解 . -1 1( ) ( , )Yf y f x y dx 2211 1( ) yY yf y dx 22 1 1,1( ) 0Y y yf y 其 它 解 1,1y 當 時 1,1y 當 時( ) 0Yf y 所 以 ， 關 于 Y的 邊 緣分 布 密 度 函 數 為 22 1 y 1( ) ( , )2 DP X f x y dxdy ( 1) ( , )DP X Y f x y dxdy 解 （ 3） 1 3( )3 4 1 1D dxdy1 1( )4 2 2 1D dxdy 20 11 1 1xxdx dy 221 11 12 1xxdx dy 見 課 本 P59例 3 如 果 二 維 隨 機 變 量 （ X， Y） 服 從 正 態(tài) 分 布 2 21 2 1 2, , , ,N 則 兩 個 邊 緣 分 布 分 別 服 從 正 態(tài) 分 布 21 1 ,X N 22 2 ,Y N 與 相 關 系 數 無 關 可 見 ， 聯(lián) 合 分 布 可 以 確 定 邊 緣 分 布 ，但 邊 緣 分 布 不 能 確 定 聯(lián) 合 分 布 例 4 設 （ X， Y） 的 聯(lián) 合 分 布 密 度 函 數 為 2 221( , ) (1 sin sin ), ,2 x yf x y e x y x y 求 關 于 X， Y的 邊 緣 分 布 密 度 函 數 解 關 于 X的 分 布 密 度 函 數 為 ( ) ( , ) Xf x f x y dy2 221 (1 sin sin )2 x ye x y dy 2 2 2 22 21 1 sin sin2 2x y x ye dy e x ydy 2 22 21 12 2x ye e dy 2212 xe 2 22 21 sin sin2 x ye x e ydy 0,1X N所 以 ， 0,1Y N同 理 可 得 不 同 的 聯(lián) 合 分 布 ， 可有 相 同 的 邊 緣 分 布 ?？?見 ， 聯(lián) 合 分 布 可 以 確 定 邊 緣 分 布 ，但 邊 緣 分 布 不 能 確 定 聯(lián) 合 分 布 隨機變量的相互獨立性 ( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f y n 特 別 ， 對 于 離 散 型 和 連 續(xù) 型 的 隨 機 變 量 ， 該 定 義分 別 等 價 于 ij i jp p p 對 任 意 i,j 對 任 意 x,y 在 實 際 問 題 或 應 用 中 ， 當 X的 取 值 與 Y的 取 值互 不 影 響 時 ， 我 們 就 認 為 X與 Y是 相 互 獨 立 的 ， 進而 把 上 述 定 義 式 當 公 式 運 用 . 在 X與 Y是 相 互 獨 立 的 前 提 下 ， ( , ) ( ) ( )X YF x y F x F y 設 （ X， Y） 的 概 率 分 布 （ 律 ） 為證 明 ： X、 Y相 互 獨 立 。例 1 ij i jp p p 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐 個 驗 證 等 式 證 X與 Y的 邊 緣 分 布 律 分 別 為 X、 Y相 互 獨 立11 1. .1220p p p 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y12 1. .2120p p p 13 1. .3420p p p 21 2. .1p p p 22 2. .2p p p 23 2. .3p p p 31 3. .1p p p 32 3. .2p p p 33 3. .3p p p 例 2 設 （ X， Y)的 概 率 密 度 為(2 3 )6 0 , 0( , ) 0 x ye x yx y 其 他求 (1) P（ 0 X 1 ， 0 Y 1） (2) (X,Y)的 邊 緣 密 度 ， （ 3） 判 斷 X、 Y是 否 獨 立 。解 設 A=（ x， y） ： 0 x 1 ， 0 y 1） ( , )0 1,0 1 ( , )x y AP x y x y dxdy 1 1 2 3 2 30 0 6 (1 )(1 )x ydx e dy e e 1 1 ( ) ( , )X x x y dy 22 , ( 0)( ) 0, ( 0)x X e xx x 邊 緣 密 度 函 數 分 別 為當 時0 x 2 3 20( ) 6 2x y xX x e dy e 當 時0 x ( ) 0 X x 所 以 ， 同 理 可 得 33 , ( 0)( ) 0, ( 0)y Y e yy y 2 32 , 0 3 , 0( ) , ( )0 , 0 0 , 0 x yX Ye x e yx yx y (2 3 )6 , ( 0, 0)( ) ( ) 0, x yX Y e x yx y 其 它所 以 X 與 Y 相 互 獨 立 。( , )x y 例 3 已 知 二 維 隨 機 變 量 （ X， Y） 服 從 區(qū) 域 D上 的 均 勻 分 布 ， D為 x軸 ， y軸 及 直 線 y=2x+1所 圍 成 的 三 角 形 區(qū) 域 。 判 斷 X， Y是 否 獨 立 。 解 （ X,Y） 的 密 度 函 數 為 14, ( 0,0 2 1) ( , ) 20, x y xf x y 其 他 當 時 ，1 02 x 2 10( ) 4xXf x dy 4(2 1)x 所 以 ， 關 于 X的 邊 緣 分 布 密 度 為 14(2 1), ( 0)( ) 2 0, X x xf x 其 它 關 于 X的 邊 緣 分 布 密 度 為 ( ) ( , )Xf x f x y dy當 或 時12x 0 x ( ) 0Xf x 當 時 ，0 1y 0 12( ) 4yYf y dx 2(1 )y 所 以 ， 關 于 Y的 邊 緣 分 布 密 度 為 2(1 ), (0 1)( ) 0, Y y yf y 其 它 關 于 Y的 邊 緣 分 布 密 度 為 ( ) ( , )Yf y f x y dx當 或 時0y 1y ( ) 0Yf y 18(2 1)(1 ),( 0,0 1 )( ) ( ) 2 0, X Y x y x yf x f y 其 它所 以 ( , )f x y所 以 ， X與 Y不 獨 立 。 1 ,( )( )( , ) 0 a x b c y db a d cf x y 其 他( , )| , x y a x b c y d 1 1( ) ( , ) ( )( ) dX cf x f x y dy dyb a d c b a a x b 1( ) 0Xf x b a otherwisea x b 1( ) 0y c xy df y c d otherwise 于 是 ( , ) ( ) ( ) X Yf x y f x f y ( ) 0Xf x ( , )x ab ( ) ( , ) ZF z P Z z P g x y z 設 ( , )X Y 是 二 維 隨 機 變 量 ,其 聯(lián) 合 分 布 函 數 為( , ),F x y ( , )Z g X Y 是 隨 機 變 量 ,X Y 的 二 元 函 數Zn 的 分 布 函數問 題 ： 如 何 確 定 隨 機 變 量 Z的 分 布 呢 ？ 設 ( , )X Y 是 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 ,其 聯(lián) 合 分 布 列 為 , , ( 1,2, ; 1,2, )i j i jP X a Y b p i j ( , )Z g X Y則 是 一 維 的 離 散 型 隨 機 變 量 其 分 布 列 為 ( , ) , ( 1,2, ; 1,2, ) i j i jP Z g a b p i j 例 設 的 聯(lián) 合 分 布 列 為 ( , )X Y YX -2 -1 0-1 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 03 2/12 0 2/12分 別 求 出 （ 1） X+Y； （ 2） X-Y； （ 3） X2+Y-2的分 布 列 解 由 （ X， Y） 的 聯(lián) 合 分 布 列 可 得 如 下 表 格 概 率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12-3 -2 -1 -3/2 -1/2 1 31 0 -1 5/2 3/2 5 3-3 -2 -1 -15/4 -11/4 5 7( , )X Y ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0) 1( , 2)2 1( , 1)2 (3, 2) (3,0)X YX Y 2 2X Y 解 得 所 求 的 各 分 布 列 為 X+Y -3 -2 -1 -3/2 -1/2 1 3概 率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3概 率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12X 2+Y-2 -3 -2 -1 -15/4 -11/4 5 7概 率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 設 ( , )X Y 是 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 ,其 聯(lián) 合 分 布 密 度 為( , )Z g X Y則 是 一 維 的 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 其 分 布 函 數 為 ( ) ( , ) ZF z P g X Y z ( , ),f x y ( , )z g x y 是 二 元 連 續(xù) 函 數 ，其 分 布 密 度 函 數 為 ( ) ( ) Z Zf z F z( , ) ( , )g x y z f x y dxdy 例 設 二 維 隨 機 變 量 （ X, Y） 的 概 率 密 度 為( 2 )2 0, 0( , ) 0 x ye x yf x y 其 它求 隨 機 變 量 Z=X+2Y 的 分 布 密 度 函 數解 ( ) 2 ZF z P Z z P X Y z 0z 0P Z z 0z ( 2 )20 0 2z xz x yP Z z dx e dy 1 z ze ze 2 ( , )x y z f x y dxdy 例 設 二 維 隨 機 變 量 （ X, Y） 的 概 率 密 度 為( 2 )2 0, 0( , ) 0 x ye x yf x y 其 它求 隨 機 變 量 Z=X+2Y 的 分 布 函 數0 0( ) 1 0 Z z z zF z e ze z 解 所 求 分 布 函 數 為 分 布 密 度 函 數 為 0 0( ) 0Z z zf z ze z 見 課 本 P67例 1 如 果 （ X， Y） 的 聯(lián) 合 分 布 密 度 函 數 為 f(x,y)， 則Z=X+Y的 分 布 密 度 函 數 為 ( ) ( , )Zf z f x z x dx ( ) ( , )Zf z f z y y dy 或 特 別 ， 當 X， Y相 互 獨 立 時 ， 有 卷 積 公 式 ( ) ( ) ( ) Z X Yf z f x f z x dx 或 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y dy 記 住 結 論 ！獨立1 1 22( ) ( )( )X P X Y PY P n 如 果 X與 Y相 互 獨 立( , ) ( , )( , )X B m X Y B m n pB ppY n 21 1 2 21 2 1 222 2( , ) ( , )( , )X N X Y NY N 例 證 明 ： 如 果 X與 Y相 互 獨 立 ， 且 XB（ n,p） ， YB（ m,p） ， 則 X+YB（ n+m,p）證 明 X+Y所 有 可 能 取 值 為 0， 1， ,m+n. 0 ,kiP X Y k P X i Y k i 0ki P X i P Y k i 0k i i n i k i k i m k in mi C p q C p q 0k i k inm ik n k mp q C C k kn mk m nC p q 證 畢