2021年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)考前熱身練習(xí)試卷(三模)【含答案】

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1、2021年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)考前熱身練習(xí)試卷(三模)參考答案與試題解析一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。1(4分)設(shè)集合P3,log2a,Qa,b,若PQ0,則PQ()A3,0B3,0,1C3,0,2D3,0,1,2【分析】根據(jù)集合P3,log2a,Qa,b,若PQ0,則log2a0,b0,從而求得PQ【解答】解:PQ0,log2a0a1從而b0,PQ3,0,1,故選:B【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)基礎(chǔ)題考查集合的交集和并集及其運(yùn)算,注意集合元素的互異性,以及對(duì)數(shù)恒等式和真數(shù)是正數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用2(4分)若|1,(+2),則向量與的夾角為()

2、A30B60C120D150【分析】利用向量的垂直,推出關(guān)系式,通過(guò)數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解向量的夾角即可【解答】解:|1,(+2),可得0,即:1+2cos0,所以120故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的夾角的求法,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,是基本知識(shí)的考查3(4分)已知a+bi(a,bR)是的共軛復(fù)數(shù),則a+b()A1BCD1【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值,再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b【解答】解:i,a+bi(i)i,a0,b1,a+b1,故選:D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了共軛復(fù)數(shù)的概念,是基礎(chǔ)題4(4分)直線(xiàn)x+ay+20與直線(xiàn)ax+y

3、+2a20平行,則實(shí)數(shù)a的值為()A1或1B0或1C1D1【分析】利用兩條直線(xiàn)平行的充要條件列出方程組,求解即可【解答】解:因?yàn)橹本€(xiàn)x+ay+20與直線(xiàn)ax+y+2a20平行,所以,解得a1故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握兩條直線(xiàn)平行的充要條件的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5(4分)甲乙兩名學(xué)生,六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)(百分制)如圖所示:甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù);甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高;甲同學(xué)成績(jī)的極差為18;甲同學(xué)成績(jī)方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差上面說(shuō)法正確的是()ABCD【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),分別計(jì)算甲、乙二人的中位數(shù)、平均數(shù)、方差,再求出甲的極差【解答

4、】解:根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù),計(jì)算甲的中位數(shù)是(80+82)81,乙的中位數(shù)是(87+88)87.5,所以甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù),錯(cuò)誤;計(jì)算甲的平均數(shù)是(72+76+80+82+86+90)81,方差是(7281)2+(7681)2+(8081)2+(8281)2+(8681)2+(9081)2,乙的平均數(shù)是(69+78+87+88+92+96)85,方差是(6985)2+(7885)2+(8785)2+(8885)2+(9285)2+(9685)2,所以甲的平均分比乙的低,錯(cuò)誤,甲的方差小于乙的方差,正確;計(jì)算甲同學(xué)成績(jī)的極差為907218,所以正確;綜上知,正確的命題序號(hào)是故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題

5、考查了利用莖葉圖中的數(shù)據(jù)求中位數(shù)、平均數(shù)、方差和極差的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題6(4分)我國(guó)古代科學(xué)家祖沖之之子祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”(“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高),意思是兩個(gè)同高的幾何體,如在等高處截面的面積恒相等,則它們的體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖所表示的幾何體滿(mǎn)足“冪勢(shì)既同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為()A8B82C122D12【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀(guān)圖,進(jìn)一步利用割補(bǔ)法求出結(jié)合體的體積【解答】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀(guān)圖為:該幾何體為由長(zhǎng)為3,寬為2,高為2的長(zhǎng)方體,在長(zhǎng)方體的兩頭挖去兩個(gè)半圓柱組成的不規(guī)

6、則的幾何體;故V232122122故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三視圖和幾何體的直觀(guān)圖之間的轉(zhuǎn)換,幾何體的體積公式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力,屬于基礎(chǔ)題7(4分)已知函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移2個(gè)單位后與函數(shù)y2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),若f(x0)1,則x0()A2B2Clog23Dlog23【分析】將函數(shù)y2x的圖象逆向變換(即先關(guān)于x對(duì)稱(chēng),再向右平移2個(gè)單位)可得到f(x)的解析式,再結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算法則,求解即可【解答】解:函數(shù)y2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為y2x,將其向右平移2個(gè)單位,得到f(x)2x2,f(x0)1,1,即x020,x02故選:B【點(diǎn)評(píng)】本

7、題考查函數(shù)圖象的變換,熟練掌握函數(shù)圖象的平移與對(duì)稱(chēng)變換原則是解題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題8(4分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S7S8,S8S9S10,則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()Aa90BS15S14Cd0DS8與S9均為Sn的最小值【分析】由已知可得a80,a90,a100,d0,然后結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解【解答】解:因?yàn)榈炔顢?shù)列an,S7S8,S8S9S10,所以S7S8a80,S9S8a90,S10S9a100,即a80,a90,a100,d0,故A正確,C錯(cuò)誤;S15S14a150,即S15S14,故B正確;由a80,a90,a100可知S8與S9均

8、為Sn的最小值,D正確故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了考生分析問(wèn)題的能力9(4分)在A(yíng)BC中,“sinAcosB”是“ABC為銳角三角形”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)算三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可【解答】解:若B為鈍角,A為銳角,則sinA0,cosB0,則滿(mǎn)足sinAcosB,但ABC為銳角三角形不成立,若ABC為銳角三角形,則A,B,AB都是銳角,即AB,即A+B,BA,則cosBcos(A),即cosBsinA,故“sinAcosB”是“ABC為銳角三角形”的必要不充分條件,故選:B

9、【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵10(4分)已知函數(shù),若存在唯一的整數(shù)x,使得成立,則滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為()A2B3C4D無(wú)數(shù)【分析】作出f(x)的函數(shù)圖象,由不等式表示的幾何意義,結(jié)合圖象可得所求范圍【解答】解:作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示:表示點(diǎn)(x,f(x)與點(diǎn)(a,1)所在直線(xiàn)的斜率,可得曲線(xiàn)上只有一個(gè)點(diǎn)(x,f(x)(x為整數(shù))和點(diǎn)(a,1)所在直線(xiàn)的斜率大于0,而點(diǎn)(a,1)在到直線(xiàn)y1上運(yùn)動(dòng),由f(0)0,f(1)3,f(2)0,可得當(dāng)1a0時(shí),只有點(diǎn)(1,3)滿(mǎn)足;當(dāng)1a2時(shí),只有點(diǎn)(0,0)滿(mǎn)足綜上可得a的范圍是1,01,

10、2故滿(mǎn)足條件的整數(shù)a有:1,0,1,2共四個(gè)故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用,考查分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11(5分)雙曲線(xiàn)1的漸近線(xiàn)方程為y2x【分析】直接根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程,令方程的右邊等于0求出漸近線(xiàn)的方程【解答】解:已知雙曲線(xiàn)x21令:x20即得到漸近線(xiàn)方程為:y2x故答案為:y2x【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的求法12(5分)設(shè)(2x1)5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a110【分析】根據(jù)a1是x的系數(shù),求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,令x的次數(shù)為1,進(jìn)行求

11、解即可【解答】解:a1是x的系數(shù),展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為kk+1C(2x)5k(1)kC25kx5k(1)k,由5k1得k4,則a12(1)410,故答案為:10【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的求解,求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題13(5分)已知f(x)sin(x)+cos(x+)是偶函數(shù),且0,則【分析】正弦函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),從而當(dāng)x0時(shí),函數(shù)取得最值,代入函數(shù)后,結(jié)合正弦函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸處取得函數(shù)最值可求【解答】解f(x)sin(x)+cos(x+)是偶函數(shù),故函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知,當(dāng)x0時(shí),f(x)取得最值,故sin+cos2,所以sincos2,

12、即2()2,所以sin()1,因?yàn)?,則,故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正弦函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸處取得最值條件的應(yīng)用14(5分)能夠說(shuō)明命題p:xR,x2+2ax+a0是假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)a是【分析】若命題p:xR,x2+2ax+a0是假命題,則命題p:xR,x2+2ax+a0是真命題,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案【解答】解:若命題p:xR,x2+2ax+a0是假命題則命題p:xR,x2+2ax+a0是真命題,即4a24a0,解得:a(0,1),故答案為:(答案不唯一,(0,1)上任意數(shù)均可)【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的否定,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),難度中檔1

13、5(5分)向量集合,對(duì)于任意,S,以及任意(0,1),都有+(1)S,則稱(chēng)S為“C類(lèi)集”,現(xiàn)有四個(gè)命題:若S為“C類(lèi)集”,則集合也是“C類(lèi)集”;若S,T都是“C類(lèi)集”,則集合也是“C類(lèi)集”;若A1,A2都是“C類(lèi)集”,則A1A2也是“C類(lèi)集”;若A1,A2都是“C類(lèi)集”,且交集非空,則A1A2也是“C類(lèi)集”其中正確的命題有(填所有正確命題的序號(hào))【分析】由新定義“C類(lèi)集”,結(jié)合不等式的性質(zhì)和集合的運(yùn)算性質(zhì),即可判斷結(jié)論【解答】解:若S為“C類(lèi)集”,則對(duì)于任意,S,以及任意(0,1),都有+(1)S,集合,可得對(duì)于任意,M,以及任意(0,1),都有+(1)M,故正確;若S是“C類(lèi)集”,則對(duì)于任意

14、,S,以及任意1(0,1),都有1+(11)S,T是“C類(lèi)集”,則對(duì)于任意,T,以及任意2(0,1),都有2+(12)T,可得對(duì)于任意+M,+M,以及任意(0,1),都有(+)+(1)(+)M,故正確;若A1“C類(lèi)集”,可得對(duì)于任意,A1,以及任意(0,1),都有+(1)A1,A2是“C類(lèi)集”,對(duì)于任意,A2,以及任意(0,1),都有+(1)A2,設(shè)MA1A2,M為A1,A2中的元素的合并而得,且不重復(fù),不符合“C類(lèi)集”的定義,故錯(cuò)誤;若A1“C類(lèi)集”,可得對(duì)于任意,A1,以及任意(0,1),都有+(1)A1,A2是“C類(lèi)集”,對(duì)于任意,A2,以及任意(0,1),都有+(1)A2,設(shè)MA1A2

15、,M為A1,A2中的元素的公共部分而得,且不為空集,符合“C類(lèi)集”的定義,故正確故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的新定義的理解和運(yùn)用,考查定義法解題,以及推理能力,屬于基礎(chǔ)題三、解答題共6小題,共85分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程。16(14分)在銳角ABC中,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且(1)求B的大?。唬?)若AB2,BC,點(diǎn)D在邊AC上,_,求BD的長(zhǎng)請(qǐng)?jiān)贏(yíng)DDC;DBCDBA;BDAC這三個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上,并完成解答(注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分)【分析】(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式,結(jié)合A,可得sinA0,可求,結(jié)合范

16、圍,可求B的值(2)若選法一:由題意可得,兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求解BD的值;法二:由余弦定理可求AC的值,在A(yíng)BD,BDC中,分別應(yīng)用余弦定理,結(jié)合cosADB+cosCDB0,可求4+2BD2+,即可解得BD的值若選由于SABCSABD+SCBD,利用三角形的面積公式即可求解BD的值;若選由余弦定理可求AC的值,利用三角形的面積公式可得,進(jìn)而解得BD的值【解答】解:(1)在A(yíng)BC中,由正弦定理,及得,sinBsinAsinA(2分)因?yàn)锳BC為銳角三角形,所以A,所以sinA0所以(4分)又因?yàn)椋訠(6分)(2)若選法一:在A(yíng)BC中,因?yàn)锳DDC,所以(8分)所以2(1

17、0分),所以BD(12分)法二:在A(yíng)BC中,由余弦定理,得AC2AB2+BC22ABBCcosB,所以,所以ADDC(8分)在A(yíng)BD中,由余弦定理,得AB2BD2+DA22BDDAcosADB即,在BDC中,由余弦定理,得BC2BD2+DC22BDDCcosCDB即(10分)又ADB+CDB,所以cosADB+cosCDB0所以4+2BD2+,所以BD(12分)若選在A(yíng)BC中,SABCSABD+SCBD,(8分)即BABCsinBABDsin+BDBCsin,(10分)即,解得(12分)若選在A(yíng)BC中,由余弦定理,得AC2AB2+BC22ABBCcosB,所以(8分)因?yàn)镾ABCBABCsin

18、B,又SABCBDACBD,(10分)所以,解得(12分)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理,三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題17(14分)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,BCBB1,BC1B1CO,AO平面BB1C1C(1)求證:ABB1C;(2)若B1BC60,直線(xiàn)A1B1與平面BB1C1C所成角為30,求二面角A1B1C1A的余弦值【分析】(1)推導(dǎo)出B1CBC1,AOB1C,從而B(niǎo)1C平面AOB,由此能證明B1CAB(2)設(shè)O為原點(diǎn),OB1為x軸,OC1為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二

19、面角A1B1C1A的余弦值【解答】解:(1)證明:由題知四邊形BCC1B1是菱形,B1CBC1,AO平面BB1C1C,AOB1C,AOB1CO,B1C平面AOB,AB平面AOB,B1CAB(2)A1B1AB,AB與平面BB1C1C所成角為30,AO平面BB1C1C,ABO30,設(shè)O為原點(diǎn),OB1為x軸,OC1為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B1(1,0,0),C1(0,0),A(0,0,1),B(0,0),由,知A1(1,1),(0,1),(1,0),(1,0,1),設(shè)平面AB1C1的法向量為(x,y,z),則,取y1,得(),同理得平面A1B1C1的法向量(),cos,二面角A1B

20、1C1A的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是中檔題18(14分)隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,越來(lái)越多的人習(xí)慣用手機(jī)應(yīng)用程序(簡(jiǎn)稱(chēng)app)獲取新聞資訊為了解用戶(hù)對(duì)某款新聞?lì)恆pp的滿(mǎn)意度,隨機(jī)調(diào)查了300名用戶(hù),調(diào)研結(jié)果如表:(單位:人)青年人中年人老年人滿(mǎn)意6070x一般5525y不滿(mǎn)意25510()從所有參與調(diào)研的人中隨機(jī)選取1人,估計(jì)此人“不滿(mǎn)意”的概率;()從參與調(diào)研的青年人和中年人中各隨機(jī)選取1人,估計(jì)恰有1人“滿(mǎn)意”的概率;()現(xiàn)需從參與調(diào)研的老年人中選擇6人作

21、進(jìn)一步訪(fǎng)談,若在“滿(mǎn)意”、“一般”、“不滿(mǎn)意”的老年人中各取2人,這種抽樣是否合理?說(shuō)明理由【分析】()根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可()根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可()根據(jù)抽樣的公平性的性質(zhì)進(jìn)行判斷【解答】解:()從所有參與調(diào)研的人共有300人,不滿(mǎn)意的人數(shù)是25+5+1040記事件D為“從所有參與調(diào)研的人中隨機(jī)選取1人此人不滿(mǎn)意”,則所求概率為()記事件M為“從參與調(diào)研的青年人中隨機(jī)選取1人,此人滿(mǎn)意”,則;記事件N為“從參與調(diào)研的中年人中隨機(jī)選取1人,此人滿(mǎn)意”,則;則“從參與調(diào)研的青年人和中年人各隨機(jī)選取1人,恰有1人滿(mǎn)意”的概率為()這種抽樣不合理理由:參與調(diào)研的6

22、0名老年人中不滿(mǎn)意的人數(shù)為20,滿(mǎn)意和一般的總?cè)藬?shù)為x+y50,說(shuō)明滿(mǎn)意度之間存在較大差異,所以從三種態(tài)度的老年中各取2人不合理合理的抽樣方法是采用分層抽樣,根據(jù)x,y,10的具體數(shù)值來(lái)確定抽樣數(shù)值【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽樣方法的應(yīng)用,以及概率的計(jì)算,根據(jù)古典概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵難度不大19(15分)已知橢圓C:的右焦點(diǎn)為F,離心率,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓交于M,N兩點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn))(1)求橢圓C的方程;(2)已知點(diǎn)Q(0,2),求線(xiàn)段MQ長(zhǎng)度的取值范圍;(3)延長(zhǎng)MO交橢圓C于P點(diǎn),求PMN面積的最大值,并求此時(shí)直線(xiàn)l的方程【分析】(1)通過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng),結(jié)合離心率,即得到

23、橢圓的方程;(2)設(shè)M(x1,y1),由M為橢圓上一點(diǎn),可得,再利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可;(3)設(shè)出MN所在直線(xiàn)方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式,點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解三角形的面積,利用基本不等式求解最大值即可【解答】解:(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,2a4,a2,又離心率,c,b2a2c21,橢圓C的方程為,(2)設(shè)M(x1,y1),則,y1,0)(0,1,|MQ|,|MQ|的取值范圍是;(3)設(shè)直線(xiàn)MN的方程為xmy+,聯(lián)立,消x得,0,原點(diǎn)O到直線(xiàn)xmy+的距離,P到直線(xiàn)MN的距離為,令,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以直線(xiàn)l的方程為或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

24、,考查了轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力,屬中檔題20(14分)已知函數(shù)f(x)(aR)(1)若曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(,f()處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a;(2)當(dāng)a0時(shí),判斷函數(shù)f(x)在x(0,)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由【分析】(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)的斜率,再由兩點(diǎn)的斜率公式解方程可得a的值;(2)由f(x)0,可令g(x)x2a2sinx,討論當(dāng)x(0,),)時(shí),g(x)的單調(diào)性,可得f(x)的單調(diào)性,可得所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)【解答】解:(1)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x),可得曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(,f()處的切線(xiàn)的斜率為f(),f()a2,即切點(diǎn)為(,a2),由于切線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn),可得,解

25、得a2;(2)因?yàn)閤(0,),所以sinx0,所以f(x)0,可化為x2a2sinx0,設(shè)g(x)x2a2sinx,g(x)2x2cosx,設(shè)h(x)2x2cosx,h(x)2+2sinx0,可得h(x)即g(x)在(0,)遞增,又g(0)20,g()0,所以存在x0(0,),使得g(x0)0,當(dāng)x(0,x0)時(shí),g(x)遞減;當(dāng)x(x0,)時(shí),g(x)遞增,所以,對(duì)于連續(xù)函數(shù)g(x),在x(0,x0)時(shí),g(x)遞減,在x(x0,)時(shí),g(x)遞增,又因?yàn)間(0)a0,當(dāng)g()2a0即a2時(shí),g(x)有唯一零點(diǎn)在(x0,)上,當(dāng)g()2a0即a2時(shí),g(x)在(0,)上無(wú)零點(diǎn),綜上可得,當(dāng)0

26、a2時(shí),函數(shù)f(x)在(0,)有唯一零點(diǎn);當(dāng)a2時(shí),函數(shù)f(x)在(0,)沒(méi)有零點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線(xiàn)方程和零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法,考查方程思想和分類(lèi)討論思想、運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題21(14分)已知集合SnX|X(x1,x2,xn),xi0,1,i1,2,n其中n2,對(duì)于A(yíng)(a1,a2,an),B(b1,b2,bn)Sn,定義A與B之間的距離為(1)記I(1,1,1,1)S4,寫(xiě)出所有AS4使得d(I,A)3;(2)記I(1,1,1,1)Sn,A,BSn,并且d(I,A)d(I,B)pn,d(A,B)的最大值;(3)設(shè)PSn,P中所有不同元素間的距離的最小值為k,記滿(mǎn)足條件的集

27、合P的元素個(gè)數(shù)的最大值為m,求證:【分析】(1)根據(jù)題中給出的定義,寫(xiě)出所有AS4使得d(I,A)即可3;(2)設(shè)A(a1,a2,an),B(b1,b2,bn),分兩種情況2pn、2pn時(shí),分別利用含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)求解即可;(3)設(shè)P是滿(mǎn)足條件的最大集合,即P中元素個(gè)數(shù)為m,由題中的定義可知,對(duì)于Sn中的任意元素X,都存在CP使得d(X,C)k1,否則,假設(shè)存在X0Sn,對(duì)任意CP都有d(X0,C)k,推出矛盾,故假設(shè)不成立,即可證明原命題【解答】(1)解:A的所有可能取值為(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1);(2)解:設(shè)A(a1,a2,an

28、),B(b1,b2,bn),因?yàn)閐(I,A)1a1+1a2+1anp,則a1+a2+annp,同理b1+b2+bnnp,當(dāng)2pn時(shí),d(A,B),當(dāng)2pn時(shí),d(A,B),當(dāng)A1,1,1,0,0,0(其中含有p個(gè)1)或A0,0,0,1,1,1(其中含有p個(gè)1)時(shí),上式取等號(hào),綜上所述,d(A,B)的最大值為;(3)證明:設(shè)P是滿(mǎn)足條件的最大集合,即P中元素個(gè)數(shù)為m,那么對(duì)任意的A,BP,且AB,d(A,B)k,對(duì)任意的CP,記集合S(C,k1)XSn|d(X,C)k1,那么S(C,k1)中元素個(gè)數(shù)為,對(duì)于Sn中的任意元素X,都存在CP使得d(X,C)k1,若不然,假設(shè)存在X0Sn,對(duì)任意CP都有d(X0,C)k,那么集合PPX0中所有不同元素間的距離的最小值為k,且P中有m+1個(gè)元素,這與m的最大性矛盾綜上所述,所有Sn中的每個(gè)元素必與P中的某個(gè)元素的距離不超過(guò)k1,又S(C,n)中元素個(gè)數(shù)為2n,所以【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問(wèn)題,解決此類(lèi)問(wèn)題,關(guān)鍵是讀懂題意,理解新定義的本質(zhì),把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中,運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答,屬于中檔題

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