2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月期中聯(lián)考考試 數(shù)學(xué)【含答案】

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1、2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期集中練習(xí)2高一數(shù)學(xué)時(shí)間:120分鐘滿分:150分一、選擇題(每小題5分,共8小題40分)1. 設(shè),是兩個(gè)不共線的平面向量,已知,若,則( )A. 2B. -2C. 6D. -6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可知,再根據(jù),代入求解即可.【詳解】因?yàn)?,故,故,因?yàn)?,是兩個(gè)不共線的平面向量,故,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行求參數(shù)的問(wèn)題,若,則,屬于基礎(chǔ)題.2. 若復(fù)數(shù)滿足 (為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】C【解析】【分析】先求,再用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算,從而得到復(fù)數(shù)在

2、復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】,所以,故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第三象限.故選:C3. 如圖,在中,是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為() A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】平面內(nèi)三點(diǎn)共線的充要條件為:存在實(shí)數(shù),使,且.求得,從而可得結(jié)果.【詳解】由,可得,所以,又三點(diǎn)共線,由三點(diǎn)共線定理,可得:,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線定理的應(yīng)用,意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4. 一平面四邊形OABC的直觀圖OABC如圖所示,其中OCx軸,ABx軸,BCy軸,則四邊形OABC的面積為()A. B. 3C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖

3、形可得,則可得四邊形面積,后可得四邊形OABC的面積.【詳解】設(shè)軸與交點(diǎn)為D,因OCx軸,ABx軸,則,又BCy軸,則四邊形為平行四邊形,故.又,結(jié)合ABx軸,則,故.則四邊形面積為,因四邊形面積是四邊形OABC的面積的倍,則四邊形OABC的面積為.故選:B5. 設(shè),是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)命題:,則;若,則;若,則;若,則其中正確命題的序號(hào)是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】舉例說(shuō)明判斷AD;利用面面平行的性質(zhì)判斷B;利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷C作答.【詳解】對(duì)于,因?yàn)椋?dāng)時(shí),滿足,此時(shí),錯(cuò)誤;對(duì)于,因?yàn)?,則,正確;對(duì)于,因?yàn)?,則,又,因此,正確;對(duì)

4、于,當(dāng),時(shí),有,若,滿足,顯然不成立,錯(cuò)誤,所以正確命題的序號(hào)是.故選:D6. 在中,角的對(duì)邊分別為,.則的最大值為A. 1B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題干得到B=,原式,根據(jù)角A的范圍得到最值即可.【詳解】角的對(duì)邊分別為,變形為:根據(jù)余弦定理,故角B=因?yàn)楣首畲笾禐椋?.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡(jiǎn)單題. 對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.7. 三棱錐P-ABC的三條

5、側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直,且長(zhǎng)度分別為3、4、5,則三棱錐P-ABC外接球的體積是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】由PA、PB、PC兩兩互相垂直為一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為.所以三棱錐P-ABC外接球的半徑為.所以體積為.故選:C8. 如圖,為平行四邊形所在平面外一點(diǎn),為的中點(diǎn),為上一點(diǎn),當(dāng)平面時(shí),( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】連接交于,連接,因?yàn)槠矫?平面,平面平面,可得,結(jié)合已知條件,即可求得答案.【詳解】連接交于,連接,平面,平面平面平面,故:又,為的中點(diǎn),由可得:故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)線面平行求線段比例,解題關(guān)鍵是掌握

6、線面平行判定定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.二、多選題(每小題5分,共4小題20分)9. 已知向量,則()A. B. 向量在向量上的投影向量為C. 與的夾角余弦值為D. 若,則【答案】BCD【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)的正誤;設(shè)向量在向量上的投影向量為,根據(jù)題意得出,求出的值,可判斷B選項(xiàng)的正誤;利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)的正誤;利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),所以,與不共線,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),設(shè)向量在向量上的投影向量為,則,即,解得,故向量在向量上的投影向量為,B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),C選項(xiàng)正確

7、;對(duì)于D選項(xiàng),若,則,所以,D選項(xiàng)正確.故選:BCD.10. 設(shè)復(fù)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A. 實(shí)部為2B. 虛部為C. 模為D. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限【答案】ACD【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)整理得,依次驗(yàn)證A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng),可知B錯(cuò)誤.【詳解】,知復(fù)數(shù)的虛部為,實(shí)部為2,所以選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,所以選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限,所以選項(xiàng)D正確.故選:ACD.11. 如圖是正方體的平面展開(kāi)圖,則關(guān)于這個(gè)正方體的說(shuō)法正確的是A. 與平行B. 與是異面直線C. 與成角D. 與是異面直線【答案】CD【解析】【分析】把平面展開(kāi)圖還原成幾何體,再由棱柱的

8、結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義異面直線所成角逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案.【詳解】把平面展開(kāi)圖還原成幾何體,如圖:.由正方體的性質(zhì)可知,與異面且垂直,故錯(cuò)誤;.與平行,故錯(cuò)誤;.連接,則,為與所成角,連接,可知為正三角形,則,故正確;.由異面直線的定義可知,與是異面直線,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查由正方體的展開(kāi)圖還原立體圖,直線與直線的位置關(guān)系,直線與直線所成角的判斷,屬于基礎(chǔ)題12. 如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器一邊于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面幾個(gè)結(jié)論,其中正確的命題有( )A. 沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形B. 水面所在四邊形的面積為定值C. 隨著容器傾斜度

9、的不同,始終與水面所在平面平行D. 當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí),為定值【答案】AD【解析】【分析】想象容器傾斜過(guò)程中,水面形狀(注意始終在桌面上),可得結(jié)論【詳解】由于始終在桌面上,因此傾斜過(guò)程中,沒(méi)有水的部分,是以左右兩側(cè)的面為底面的棱柱,A正確;圖(2)中水面面積比(1)中水面面積大,B錯(cuò);圖(3)中與水面就不平行,C錯(cuò);圖(3)中,水體積不變,因此面積不變,從而為定值,D正確故選:AD【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系,考查棱柱的概念,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題三、填空題(每小題5分,共4小題20分)13. 已知,與的夾角是90,與垂直,則的值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由與垂

10、直,可得,然后將代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋c夾角為90,則,因?yàn)榕c垂直,所以,又,所以,解得.故答案為:14. 已知,則的最大值是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè),則有,即,則在復(fù)平面中的點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓周上,表示與點(diǎn)的距離,如圖所示:由圖可知,即的最大值為7.故答案為:715. 如圖,一立在水平地面上圓錐形物體的母線長(zhǎng)為,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā),繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)處.若該小蟲爬行的最短路程為,則圓錐底面圓的半徑等于_.【答案】【解析】【分析】把圓錐側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)的母線展開(kāi),畫出側(cè)面展開(kāi)圖,根據(jù)題中條件,即可求出結(jié)果.【詳解】把圓錐側(cè)

11、面沿過(guò)點(diǎn)的母線展開(kāi)成如圖所示的扇形,由題意,則,所以 ,設(shè)底面圓的半徑為,則,所以.故答案為:.16. 如圖,直角梯形中, , ,若將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的表面積為 _【答案】;【解析】【詳解】幾何體為一個(gè)圓錐與圓柱的組合體,表面積為點(diǎn)睛:空間幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題,關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用四、解答題(第17題10分,第18題12分,第19題12分,第20題12分,第21題12分,第22題12分,

12、共6小題70分)17. 設(shè)向量,滿足,求的值;求與夾角的正弦值【答案】(1);(2)【解析】【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)即可得出;利用向量的夾角公式和數(shù)量積的性質(zhì)即可得出【詳解】向量,滿足,因此,設(shè)與夾角為,與夾角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)、向量的夾角公式,屬于基礎(chǔ)題18. 復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位(1)求及;(2)若,求實(shí)數(shù),的值【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解出復(fù)數(shù),進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解;(2)首先將代入等式,然后根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造方程組,解方程組即可得到實(shí)數(shù),的值.【小問(wèn)1詳解】,【小問(wèn)2詳解】由(1)可知,由,得:,即,解得19

13、. 如圖,在棱長(zhǎng)為正方體中,截去三棱錐,求(1)截去的三棱錐的表面積;(2)剩余的幾何體的體積.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)三棱錐中是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、都是直角邊為的等腰直角三角形,計(jì)算四個(gè)三角形面積之和即可求解.(2)正方體的體積減去三棱錐的體積即得剩余的幾何體的體積.【詳解】(1)由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、都是直角邊為的等腰直角三角形,所以截去的三棱錐的表面積(2)正方體的體積為,三棱錐的體積為,所以剩余的幾何體的體積為.20. 在中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為,且(1)求角C的大??;(2)若的面積,求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析

14、】【詳解】試題分析:由,得,即2sinCcosA=2sin(A+C)-sinA,整理可得,2sinAcosC- sinA=0,即sinA(2cosC-)=0,又A,C(0,),sinA0,cosC=,(2)由題意得, . 由余弦定理可得,由正弦定理得,考點(diǎn):本題考查正弦定理,余弦定理,兩角和與差的三角函數(shù)點(diǎn)評(píng):解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用正、余弦定理21. 在正方體中,S是的中點(diǎn),E,F(xiàn),G分別是BC,DC,SC的中點(diǎn),求證:(1)平面;(2)平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)連AC,BD交于點(diǎn)O,連SB,D1O,證明,利用線面平行的判定定理證明即可;(2)證

15、明都平行于平面,然后利用面面平行的判定定理證明即可.【小問(wèn)1詳解】證明:連AC,BD交于點(diǎn)O,連SB,D1O,G,E分別是SC,BC的中點(diǎn),又,則四邊形為平行四邊形,平面,平面,平面;【小問(wèn)2詳解】由題連接OF,A1F,OF是的中位線,四點(diǎn)共面,由(1)可知,平面,平面,則平面又,平面,平面,則平面,又,平面,平面,平面平面.22. 已知向量,設(shè)(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)增區(qū)間;(2)在中,分別為內(nèi)角的對(duì)邊,且,求的面積【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得,整體代入求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可;(2)由,可得,結(jié)合范圍,可得的值,由余弦定理可解得的值,利用三角形面積公式即可得解【詳解】解:(1)由,可得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,.(2)因?yàn)?,所以,又,則,所以,解得,由余弦定理可得,可得,解得,所以.

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