2022-2023學年福建省永春市高一數(shù)學下學期月考試卷【含答案】

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1、2022-2023學年福建省永春市高一數(shù)學下學期月考試卷高一數(shù)學(考試時間:120分鐘 試卷滿分:150分)注意事項:1本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答第卷時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3回答第卷時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。第卷一、單選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的。1. 設(shè)復數(shù)滿足,則下列說法正確的是()A. 的虛部為B. C. 為純虛數(shù)D. 在復

2、平面內(nèi),對應的點位于第二象限2如圖,一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形,若,那么原三角形的周長是()ABCD3已知向量,則“與的夾角為銳角”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4若用平行于某圓錐底的平面去截該圓錐,得到的小圓錐與圓臺的母線長相等,則該小圓錐與該圓臺的側(cè)面積的比值為()ABCD5設(shè)表示平面,表示直線,表示三個不同的點,給出下列命題:若,則;若表示不同的平面,則;若,則若,則與重合.其中,正確的有()A1個B2個C3個D4個6我國古代數(shù)學家秦九韶左數(shù)書九章中記述了了“一斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角A,B,C所對的邊

3、分別為a,b,c,則的面積,根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()ABCD7已知正四面體的外接球表面積為,則正四面體的體積為()A. B.C. D. 8如圖,直角梯形 中,已知,動點在線段上運動,且,則的最小值是()A3BC4D二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目的要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。9下列有關(guān)復數(shù)的敘述正確的是()A若,則B若,則的虛部為C若,則可能為純虛數(shù) D若,則10已知,若,則()ABCD11在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知,則下列說法正確的是()A若,則B若,則是直角三角形C若是

4、等腰三角形,則D若,則的面積最大值為312如圖,在棱長為2的正方體中,M,N,P分別是,的中點,Q是線段上的動點,則()A存在點Q,使B,N,P,Q四點共面B存在點Q,使PQ平面MBNC經(jīng)過C,M,B,N四點的球的表面積為D過Q,M,N三點的平面截正方體所得截面圖形不可能是五邊形第卷三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知為銳角,且,則的值為_14如圖,一個底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水,若放入一個半徑為的實心鐵球,水面高度恰好升高,則_15 已知是內(nèi)部一點,且滿足,又,則的面積為_16 8. 如圖,在正方體中,分別是,的中點,點在四邊形的邊及其內(nèi)部運動,則當點滿足時,有

5、平面四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17已知向量,(1)當時,求向量的坐標;(2)設(shè)函數(shù),將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度得到的圖象,當時,求函數(shù)的最小值18已知的角,的對邊分別為,設(shè)向量,.(1)若,求證:為等腰三角形;(2)若,邊長,角,求的面積.19如圖所示,在正方體中,為中點.(1)求證:平面;(2)若正方體棱長為2,求三棱錐的體積.20在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且(1)求角B的大??;(2)若,D為AC邊上的一點,且_,求的面積BD是的平分線;D為線段AC的中點(從,兩個條件中任選一個,補充在上面的橫線上并作答)21

6、如圖:正方體ABCDA1B1C1D1棱長為2,E,F(xiàn)分別為DD1,BB1的中點.(1)求證:CF/平面A1EC1;(2)過點D在答題卡上作正方體截面使其與平面A1EC1平行,請給以證明并求出該截面的面積.22如圖,某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30相距海里的B處有一艘走私船,正沿東偏南45的方向以3海里小時的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以海里小時的速度沿著正東方向直線追去,1小時后,巡邏艇到達C處,走私船到達D處,此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇,立即改變航向,以原速向正東方向逃竄,巡邏艇立即加速以海里小時的速度沿著直線追擊(1)當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時,兩船相距多少海里(2)問巡邏艇應該沿什么方向去追,才能最

7、快追上走私船草稿紙參考答案:1B【詳解】:因為,所以的虛部為,故A錯誤;,故B正確;不是純虛數(shù),故C錯誤;在復平面內(nèi),對應的點位于第三象限,故D錯誤故選B2D【分析】由斜二測畫法原理將直觀圖轉(zhuǎn)化為原圖,根據(jù)原圖運算求解即可.【詳解】由題意可得:,由直觀圖可得原圖,如圖所示,可知:,可得,所以原三角形的周長.故選:D.3A【分析】求出與的夾角為銳角時的充要條件是且,從而判斷出答案.【詳解】因為與的夾角為銳角,則且與不共線.時,當時,則與不共線時,所以與的夾角為銳角的充要條件是且,顯然且是的真子集,即“與的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件,A正確.故選:A4C【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為,母線長

8、為,利用圓錐側(cè)面的面積公式:即可求解.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為,母線長為,則該圓錐的側(cè)面積,截得的小圓錐的底面半徑為,母線長為,其側(cè)面積,而圓臺的側(cè)面積故兩者側(cè)面積的比值故選:C5B【分析】由平面的基本性質(zhì)的公理1可判斷;由公理2判斷;由線面的位置關(guān)系可判斷;由平面基本性質(zhì)的公理3可判斷【詳解】,表示兩個平面,表示直線,表示三個不同的點,若,則,由平面的基本性質(zhì)的公理1,可得正確;,不重合,若,則,由平面的基本性質(zhì)的公理2,可得正確;若,則或,可得不正確;若,如果,不共線,則與重合,如果3點共線,則與可以相交由平面的基本性質(zhì)的公理3,可得不正確其中正確的個數(shù)為2,故選:B6B【分析】由已知

9、結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡,求得,再結(jié)合已知及余弦定理,求得的值,代入已知公式,即可求解.【詳解】由題意,因為,所以,即,又由,所以,由因為,所以,所以,即,因為,由余弦定理可得,解得,則的面積為.故選:B.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和兩角和與差的正弦函數(shù)公式的化簡求值的綜合應用,意在考查推理與運算能力,屬于中檔試題.7C【分析】本題考查棱錐的外接球,球的表面積,棱錐體積,棱錐與棱柱的結(jié)構(gòu)特征,屬于中檔題將正四面體補全為正方體,利用正四面體的外接球與正方體外接球相同,求出正方體的邊長,進而求出正四面體的體積【詳解】解:設(shè)外接球半徑為,由,解得,將正四面體補成正方體,知正四面

10、體的棱為正方體的面對角線,正四面體的外接球即為正方體的外接球,正方體的體對角線等于外接球的直徑,設(shè)正方體棱長為,則,解得該正四面體的體積為正方體的體積減去個三棱錐的體積,所以故選C8C【分析】設(shè),可以用表示和,從而得到與的關(guān)系,再利用均值不等式求解.【詳解】設(shè)因為所以所以,所以當且僅當,即取等,此時,與重合,符合題意.故選:C.【點睛】本題的關(guān)鍵是利用平面向量基本定理找到與的關(guān)系,從而把問題轉(zhuǎn)化為均值不等式問題.9AD【分析】根據(jù)復數(shù)的運算、復數(shù)的概念、復數(shù)模的幾何意義判斷各選項【詳解】,所以,A正確;,虛部是,B錯誤;,若,則是實數(shù),若,則是虛數(shù),不是純虛數(shù),C錯誤;,則復數(shù)對應的點在以為圓

11、心,1為半徑的圓上,這個圓上的點到原點的距離最小值為0,最大值為2,所以,D正確故選:AD10ACD【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標運算,可得出的值,根據(jù)二倍角公式及兩角和的正切即可判斷各選項.【詳解】 所以 , 故A正確;,,故B錯誤;,故C正確;,故D正確;故選:ACD.11BCD【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理及三角形面積公式分別判斷A,B,C,D選項即可【詳解】由正弦定理及可得對于A,根據(jù)余弦定理得,所以,故A錯誤;對于B,若,則,又,所以,而,所以,即,故B正確;對于C,若是等腰三角形,只可能是(若,則,不能構(gòu)成三角形),則,由余弦定理可得,所以,故C正確;對于D,由余弦定理可得,所以,

12、所以,當時,取最大值3,故D正確故選:BCD.12ABD【分析】作出過B,N,P的截面判斷選項A;取中點為Q,證明其滿足選項B;過MN與底面平行的平面截正方體得出的下半部分為長方體,其外接球也是過C,M,B,N四點的球,由此求得球半徑,得表面積,判斷選項C;當Q在運動時,確定截面的形狀,判斷選項D【詳解】A.連接,正方體中易知,又有分別是,中點,則,所以,即四點共面,所以當Q與重合時滿足B,N,P,Q四點共面,故選項A正確;B.如圖,取中點為Q,連接PQ,QM,因為分別,中點,則與平行且相等,故四邊形是平行四邊形,所以,又是中點,所以,所以,平面BMN,平面BMN,所以PQ平面BMN.故選項B

13、正確;選項C,取中點U,中點V,連接MV,MU,NV,NU,則多面體MUNV-ABCD是正四棱柱(也是長方體),它的外接球就是過B,C,M,N四點的球,所以球直徑為,半徑,表面積為.故選項C錯選項D,正方體中,M,N分別是,中點,則,Q在線段(除端點外)上,如圖,作交于E,連接EN,延長交DC延長線于點K,連接QM延長交DA延長線于點T,連接TK交AB于點G,交BC于點F,多邊形QENFGM為所過M,N,Q三點的截面,由正方體的對稱性可知梯形QENM與梯形FGMN全等,則截面為六邊形.當點與點重合時,點與點重合,此時截面為四邊形(菱形).當點與點重合時,點與點重合,此時截面為四邊形(矩形).綜

14、上,過Q,M,N三點的平面截正方體所得截面圖形不可能是五邊形.故選項D正確;故選:ABD【點睛】三棱錐外接球點睛:求三棱錐外接球時,常見方法有兩種:一種是直接法,一種是補形. 解題時要認真分析圖形,看能否把三棱錐補形成一個正方體(長方體),若能,則正方體(長方體)的頂點均在球面上,正方體(長方體)的體對角線長等于球的直徑.另一種是直接法,三棱錐任意兩個面過外心的垂線的交點即為三棱錐外接球的球心.13【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合誘導公式可求得結(jié)果.【詳解】因為為銳角,且,則,因此,.故答案為:.14【詳解】試題分析:由題可知,小球的體積等于水面上升的的體積,因此有,化簡可得,;考點:簡

15、單幾何體的體積公式15【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積定義和三角形面積公式可求得,由已知關(guān)系式可知為的重心,由此可得.【詳解】,;,是的重心,.故答案為:.16線段D.【分析】本題考查線面平行的條件的判斷,考查面面平行的判定與性質(zhì),屬于中檔題先通過面面平行的判定定理得到平面平面,從而求出滿足條件線段時,有平面【詳解】解:在正方體中,分別是,的中點,點在四邊形的邊及其內(nèi)部運動,所以,平面,平面,所以平面,同理可得平面,平面,平面平面,滿足條件線段時,有平面故答案為:線段D.17(1);(2)【分析】(1)代入數(shù)據(jù)即可求解;(2)先根據(jù)二倍角的正弦公式化簡函數(shù),再得到函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即

16、可求出答案【詳解】解:(1)當時,;(2),函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度得到的圖象,的最小值為【點睛】本題主要考查向量線性運算的坐標表示,考查三角函數(shù)的化簡與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題18(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù),利用向量平行的坐標表示,再由正弦定理將角化邊,即可證明;(2)根據(jù)向量垂直的數(shù)量積的坐標表示可得,再根據(jù)余弦定理,兩式聯(lián)立可直接求得,并求得三角形的面積.【詳解】(1)因為,且,所以,由正弦定理可得,即,顯然,所以,所以是等腰三角形.(2)因為,且,所以,整理得,根據(jù)余弦定理可得,即,即,所以解得(舍)或 ,所以,所以的面積是.19(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接

17、交于,由中位線得,即可證平面;(2),代入數(shù)據(jù)運算即可.【詳解】(1)證明:連接交于,連接, 則是的中點,又為中點,所以,又平面,平面,所以平面;(2).20(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理化簡,再根據(jù)三角形中角的范圍可求得;(2)若選:利用三角形面積關(guān)系和余弦定理求得,然后根據(jù)面積公式即可;若選:根據(jù)中點的向量關(guān)系式并同時平方,結(jié)合余弦定理求得,然后根據(jù)面積公式即可.【詳解】(1)由正弦定理知:又:代入上式可得:,則故有:又,則故的大小為:(2)若選:由BD平分得:則有:,即在中,由余弦定理可得:又,則有:聯(lián)立可得:解得:(舍去)故若選:可得:,可得:在中,由余弦定理可得:,即聯(lián)立解得

18、:故21(1)證明見解析(2)證明見解析, 【分析】(1)利用線面平行判定定理去證明CF/平面A1EC1;(2)先利用面面平行判定定理作出截面,再去求其面積即可.【詳解】(1)取中點M,連接由,可得四邊形為平行四邊形,則由,可得四邊形為平行四邊形,則則,又平面,平面,則平面;(2)取AA1,CC1中點G,H,連接DG,CB1,B1H,HD,因為四邊形ADHF為平行四邊形,所以AF/DH因為四邊形AFB1G為平行四邊形,所以GB1/AF,所以GB1/DH所以GDHB1即為過點D長方體截面,DG/A1E,平面AEC1,平面AEC1,DG/平面AEC1DH/ C1E,平面AEC1,平面AEC1,DH

19、/平面AEC1又,平面DHB1G/平面AEC1.22(1)兩船相距海里.(2)巡邏艇應該北偏東方向去追,才能最快追上走私船.【分析】(1)在中,解三角形得, 在中,由余弦定理求得.(2)在中,解三角形得,得到,在中,由正弦定理求得,結(jié)合圖形知巡邏艇的追趕方向.【詳解】(1)由題意知,當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時,走私船在D處,巡邏艇在C處,此時,由題意知在中,由余弦定理得所以在中, 由正弦定理得,即所以(舍去)所在又在中, 由余弦定理得, 故當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時,兩船相距海里.(2)當巡邏艇經(jīng)過小時經(jīng)方向在處追上走私船,則在中,由正弦定理得:則所以,在中,由正弦定理得:則,故 (舍)故巡邏艇應該北偏東方向去追,才能最快追上走私船.

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