2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】

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1、2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3i-2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2一個(gè)田徑隊(duì)，有男運(yùn)動(dòng)員56人，女運(yùn)動(dòng)員42人，比賽后，立即用分層抽樣的方法，從全體隊(duì)員中抽出一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行尿樣興奮劑檢查，其中男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽的人數(shù)為（）A4B3C2D13如圖，用斜二測(cè)畫法所畫的一個(gè)平面圖形的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形OABC，則原平面圖形的周長(zhǎng)為（）A10aB8aC6aD4a4在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為A

2、D的中點(diǎn)則（）ABCD5如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高度是60m，則河流的寬度BC等于（）AmBmCmDm6卡拉夫金字塔（如圖1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神廟和獅身人面像，是世界上最緊密的建筑之一。從外側(cè)看，金字塔的形狀可以抽象成一個(gè)正四棱錐（如圖2），其中，點(diǎn)E為SB的中點(diǎn)，則SA，CE所成角的余弦值為（）ABCD7已知三棱錐SABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SABC2，SBAC，SCAB，則球O的體積是（）ABCD8已知在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c5，點(diǎn)O為其外接圓的圓心，已知，則邊a（

3、）A5B6C7D8二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9下列四個(gè)命題中正確的是（）A若兩條直線互相平行，則這兩條直線確定一個(gè)平面B若兩條直線相交，則這兩條直線確定一個(gè)平面C若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線D若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線10為豐富老年人的業(yè)余生活，某小區(qū)組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)興趣社團(tuán)，該小區(qū)共有2000名老年人，每位老人依據(jù)自己興趣愛(ài)好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社的老人有8名，參加太極拳社團(tuán)的

4、有12名，則（）A這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%C這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該小區(qū)老年人數(shù)的4%D從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為40%11在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，有如下命題，其中正確的是（）A若sin2Asin2B，則ABC為等腰三角形B若sinAsinB，則ABC若，則ABC是鈍角三角形D若a3+b3c3，則ABC為銳角三角形12已知圓錐的底面半徑為1，高為，S為頂點(diǎn)，A，B為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A圓錐的體積為B圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為C圓錐截面SAB的面積的最大值為D從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)

5、A的無(wú)彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分13已知復(fù)數(shù)z滿足|z|1，則|z3i|的最大值為 14已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則 15如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖1中容器內(nèi)水面的高度是 16已知三棱錐PABC的棱長(zhǎng)均為4，先在三棱錐PABC內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1，然后再放入一個(gè)球O2，使得球O2與球O1及三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面都相切，則球O2的表面積為 四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17已知復(fù)數(shù)z（2m2m1）+（m2+

6、2m3）i，mR（1）當(dāng)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求m的取值范圍18在斜三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足asinA+4bsinCcos2AbsinB+csinC（1）求角A的大小；（2）若a2，且BC上的中線AD長(zhǎng)為，求斜三角形ABC的面積19在直角梯形ABCD中，已知ABCD，DAB90，AB4，ADCD2，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，點(diǎn)M在AB上，且滿足OMBD（1）求的值；（2）若N為線段AC上任意一點(diǎn)，求的最小值20如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角

7、為120的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)2千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M，N，從觀景臺(tái)P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測(cè)得AM2千米，AN2千米（1）求線段MN的長(zhǎng)度；（2）若MPN60，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值21如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)（1）求三棱錐BAB1E的體積；（2）若E是DD1的中點(diǎn)，求證：BF平面AB1E22如圖，四邊形ABCD為正方形，ED平面ABCD，F(xiàn)BED，ABED2FB2（1）求證：AC平面BDEF；（2）求BC與平面AEF所成角的正弦值 參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小

8、題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1【解答】選：B2【解答】選：A3【解答】【解答】解：由直觀圖還原得到原圖形，如圖，OABCa，OB2a，BOA90，ABOC3a，原圖形的周長(zhǎng)為8a，故選：B4【解答】解：因?yàn)锳BC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，所以，故選：A5【解答】解：由題可得ACB30，所以，則AC120，在ABC中，BAC753045，ABC105，由正弦定理可得，即，解得故選：D6【解答】選：C7【解答】解：將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a，b，c，如圖所示：則，故a2+b2+c28，球O的半徑R，故體積為R3故選

9、：D8【解答】解：如圖，c5，O為ABC的外接圓圓心，a249，a7故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分）9【解答】解：公理2的推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面，選項(xiàng)A正確；公理2的推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，選項(xiàng)B正確；空間四點(diǎn)不共面，則其中任何三點(diǎn)不共線，否則由公理2的推論1：直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這空間四點(diǎn)共面，所以選項(xiàng)C正確；若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，可以互相平行，不一定是異面直線，選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：ABC10【解答】解：由于參加朗誦社團(tuán)的

10、同學(xué)有8名，該社團(tuán)人數(shù)占比為10%，社團(tuán)總?cè)藬?shù)為80人，故A錯(cuò)誤；合唱團(tuán)人數(shù)為8030%24，舞蹈社團(tuán)人數(shù)為8025%20人，脫口秀社團(tuán)的人數(shù)為80241220816，脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占有五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%，故B正確；五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的4%，故C正確；脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%，舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的25%，這兩個(gè)社團(tuán)人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的45%，從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%，故D錯(cuò)誤故選：BC11【解答】解：由sin2Asin2B可得2A2B或2A+2B，所以AB或A+B，A錯(cuò)誤；若sinAsinB，則ab，所以AB

11、，B正確；若，則C為鈍角，ABC是鈍角三角形，C正確；D項(xiàng)：a3+b3c3，則c最大，1（）3+（）3（）2+（）2，a2+b2c2，C為銳角，又知C為最大角，ABC為銳角三角形，D正確故選：BCD12【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)閳A錐的底面半徑為1，高為，所以體積，故A正確；對(duì)于B：設(shè)圓錐的母線為l，則，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，由弧長(zhǎng)公式得：l2r，即22，解得：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：顯然當(dāng)圓錐截面SAB為軸截面時(shí)，其面積最大，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D：由B可得該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，所以從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)A的無(wú)彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為4，故D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題（本大

12、題共4小題，每小題5分，共20分）13【解答】解：滿足|z|1的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，|z3i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)P（0，3）的距離，如圖：則|z3i|的最大值為4故答案為：414【解答】答案為：-1815【解答】解：在圖2中，水中部分是四棱柱，四棱柱底面積為S，高為2，四棱柱的體積為V2a，設(shè)圖1中容器內(nèi)水面高度為h，則V，解得h圖1中容器內(nèi)水面的高度是故答案為：16【解答】解：如圖所示：依題意得，底面ABC的外接圓半徑為，點(diǎn)P到平面ABC的距離為，所以，所以，設(shè)球O1的半徑為R，所以，則，得，設(shè)球O2的半徑為r，則，又，得，所以球O2的表面積為故答案為：四

13、、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17【解答】解：（1）z是純虛數(shù)，2m2m10且m2+2m30，解得；（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，解得3m故m的取值范圍為（3，）18【解答】解：（1）asinA+4bsinCcos2AbsinB+csinC，由正弦定理可得，a2+4bccos2Ab2+c2，cos2AcosA，三角形ABC為斜三角形，A不為直角，即cosA0，cosA，又A（0，），A；（2）A，a2，由余弦定理可得4b2+c2bc，BC上的中線AD長(zhǎng)為，可得BDCD1，在ABD中，由余弦定理可得cosADB，在ACD中，由余弦定理可得

14、cosADC，又cosADBcos（ADC）cosADC，整理可得b2+c28，由解得bc2，SABCbcsinA19【解答】解：方法一（1）在梯形ABCD中，因?yàn)锳BCD，AB2CD，所以AO2OC，；（2）令，則，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，有最小值方法二（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系；則A（0，0），B（4，0），C（2，2），D（0，2）；則，由相似三角形易得設(shè)M（，0），則，得則，（2）設(shè)N（a，a），顯然0a2，所以當(dāng)時(shí)，有最小值20【解答】解：（1）在AMN中，由余弦定理得，MN2AM2+AN22AMANcos120（2分），所以千米 （

15、4分）（2）設(shè)PMN，因?yàn)镸PN60，所以PNM120在PMN中，由正弦定理得，（6分）因?yàn)椋訮M4sin（1200），PN4sin（8分）因此PM+PN4sin（1200）+4sin（10分）（13分）因?yàn)?120，所以30+30150所以當(dāng)+300900，即600時(shí)，PM+PN取到最大值（15分）答：兩條觀光線路距離之和的最大值為千米（16分）21【解答】解：（1）在正方體ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABB1A1所以點(diǎn)E在DD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面ABB1A1的距離為4，；證明：（2）連接A1B交AB1于點(diǎn)M，連接EM，EF，D1C，因?yàn)镋FD1C，且，MBD1C，且，所以，所以

16、四邊形MEFB是平行四邊形，所以BFME，又因?yàn)锽F平面AB1E，ME平面AB1E，所以BF平面AB1E22【解答】證明：（1）連接BD交AC于O，四邊形ABCD為正方形，ACBD，又ED平面ABCD，AC平面ABCD，則EDAC又FBED，B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，EDBDD，且ED，BD平面BDEF，AC平面BDEF；解：（2）BCAD，BC與平面AEF所成角就是AD與平面AEF所成角，在AEF中，可以求得，根據(jù)余弦定理得，AEF（0，），設(shè)點(diǎn)D到平面AEF的距離為d，由DE平面ABCD知DEAB，而ADAB，ADDED，AB平面ADE，F(xiàn)BED，F(xiàn)B平面ADE，ED平面ADE，F(xiàn)B平面ADE，則點(diǎn)F到平面ADE的距離為AB長(zhǎng)2，又，由VDAEFVFADE，得，即，解得，故BC與平面AEF所成角的正弦值為