2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】

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1、2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)3i-2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2一個(gè)田徑隊(duì),有男運(yùn)動(dòng)員56人,女運(yùn)動(dòng)員42人,比賽后,立即用分層抽樣的方法,從全體隊(duì)員中抽出一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行尿樣興奮劑檢查,其中男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽的人數(shù)為()A4B3C2D13如圖,用斜二測(cè)畫法所畫的一個(gè)平面圖形的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形OABC,則原平面圖形的周長(zhǎng)為()A10aB8aC6aD4a4在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為A

2、D的中點(diǎn)則()ABCD5如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時(shí)氣球的高度是60m,則河流的寬度BC等于()AmBmCmDm6卡拉夫金字塔(如圖1)由埃及第四王朝法老卡夫拉建造,可通往另一座河谷的神廟和獅身人面像,是世界上最緊密的建筑之一。從外側(cè)看,金字塔的形狀可以抽象成一個(gè)正四棱錐(如圖2),其中,點(diǎn)E為SB的中點(diǎn),則SA,CE所成角的余弦值為()ABCD7已知三棱錐SABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,且SABC2,SBAC,SCAB,則球O的體積是()ABCD8已知在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且c5,點(diǎn)O為其外接圓的圓心,已知,則邊a(

3、)A5B6C7D8二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分9下列四個(gè)命題中正確的是()A若兩條直線互相平行,則這兩條直線確定一個(gè)平面B若兩條直線相交,則這兩條直線確定一個(gè)平面C若四點(diǎn)不共面,則這四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線D若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這兩條直線是異面直線10為豐富老年人的業(yè)余生活,某小區(qū)組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)興趣社團(tuán),該小區(qū)共有2000名老年人,每位老人依據(jù)自己興趣愛(ài)好最多可參加其中一個(gè),各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示,其中參加朗誦社的老人有8名,參加太極拳社團(tuán)的

4、有12名,則()A這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%C這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該小區(qū)老年人數(shù)的4%D從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人,其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為40%11在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,有如下命題,其中正確的是()A若sin2Asin2B,則ABC為等腰三角形B若sinAsinB,則ABC若,則ABC是鈍角三角形D若a3+b3c3,則ABC為銳角三角形12已知圓錐的底面半徑為1,高為,S為頂點(diǎn),A,B為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則()A圓錐的體積為B圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為C圓錐截面SAB的面積的最大值為D從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)

5、A的無(wú)彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為三、填空題:本大題共4小題,每小題5分13已知復(fù)數(shù)z滿足|z|1,則|z3i|的最大值為 14已知向量在向量方向上的投影向量為,且,則 15如圖1,一個(gè)正三棱柱容器,底面邊長(zhǎng)為1,高為2,內(nèi)裝水若干,將容器放倒,把一個(gè)側(cè)面作為底面,如圖2,這時(shí)水面恰好為中截面,則圖1中容器內(nèi)水面的高度是 16已知三棱錐PABC的棱長(zhǎng)均為4,先在三棱錐PABC內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1,然后再放入一個(gè)球O2,使得球O2與球O1及三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面都相切,則球O2的表面積為 四、解答題:本大題共6個(gè)大題,共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17已知復(fù)數(shù)z(2m2m1)+(m2+

6、2m3)i,mR(1)當(dāng)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù);(2)當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限時(shí),求m的取值范圍18在斜三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足asinA+4bsinCcos2AbsinB+csinC(1)求角A的大小;(2)若a2,且BC上的中線AD長(zhǎng)為,求斜三角形ABC的面積19在直角梯形ABCD中,已知ABCD,DAB90,AB4,ADCD2,對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O,點(diǎn)M在AB上,且滿足OMBD(1)求的值;(2)若N為線段AC上任意一點(diǎn),求的最小值20如圖,洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù),現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)P,已知射線AB,AC為濕地兩邊夾角

7、為120的公路(長(zhǎng)度均超過(guò)2千米),在兩條公路AB,AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M,N,從觀景臺(tái)P到M,N建造兩條觀光線路PM,PN,測(cè)得AM2千米,AN2千米(1)求線段MN的長(zhǎng)度;(2)若MPN60,求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值21如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCDA1B1C1D1中,E是DD1上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是CD的中點(diǎn)(1)求三棱錐BAB1E的體積;(2)若E是DD1的中點(diǎn),求證:BF平面AB1E22如圖,四邊形ABCD為正方形,ED平面ABCD,F(xiàn)BED,ABED2FB2(1)求證:AC平面BDEF;(2)求BC與平面AEF所成角的正弦值 參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小

8、題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1【解答】選:B2【解答】選:A3【解答】【解答】解:由直觀圖還原得到原圖形,如圖,OABCa,OB2a,BOA90,ABOC3a,原圖形的周長(zhǎng)為8a,故選:B4【解答】解:因?yàn)锳BC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),所以,故選:A5【解答】解:由題可得ACB30,所以,則AC120,在ABC中,BAC753045,ABC105,由正弦定理可得,即,解得故選:D6【解答】選:C7【解答】解:將三棱錐放入長(zhǎng)方體中,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,如圖所示:則,故a2+b2+c28,球O的半徑R,故體積為R3故選

9、:D8【解答】解:如圖,c5,O為ABC的外接圓圓心,a249,a7故選:C二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分)9【解答】解:公理2的推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面,選項(xiàng)A正確;公理2的推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面,選項(xiàng)B正確;空間四點(diǎn)不共面,則其中任何三點(diǎn)不共線,否則由公理2的推論1:直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面,這空間四點(diǎn)共面,所以選項(xiàng)C正確;若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn),可以互相平行,不一定是異面直線,選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選:ABC10【解答】解:由于參加朗誦社團(tuán)的

10、同學(xué)有8名,該社團(tuán)人數(shù)占比為10%,社團(tuán)總?cè)藬?shù)為80人,故A錯(cuò)誤;合唱團(tuán)人數(shù)為8030%24,舞蹈社團(tuán)人數(shù)為8025%20人,脫口秀社團(tuán)的人數(shù)為80241220816,脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占有五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%,故B正確;五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的4%,故C正確;脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%,舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的25%,這兩個(gè)社團(tuán)人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的45%,從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人,其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%,故D錯(cuò)誤故選:BC11【解答】解:由sin2Asin2B可得2A2B或2A+2B,所以AB或A+B,A錯(cuò)誤;若sinAsinB,則ab,所以AB

11、,B正確;若,則C為鈍角,ABC是鈍角三角形,C正確;D項(xiàng):a3+b3c3,則c最大,1()3+()3()2+()2,a2+b2c2,C為銳角,又知C為最大角,ABC為銳角三角形,D正確故選:BCD12【解答】解:對(duì)于A:因?yàn)閳A錐的底面半徑為1,高為,所以體積,故A正確;對(duì)于B:設(shè)圓錐的母線為l,則,設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為,由弧長(zhǎng)公式得:l2r,即22,解得:,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:顯然當(dāng)圓錐截面SAB為軸截面時(shí),其面積最大,此時(shí),故C正確;對(duì)于D:由B可得該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓,所以從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)A的無(wú)彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為4,故D錯(cuò)誤;故選:AC三、填空題(本大

12、題共4小題,每小題5分,共20分)13【解答】解:滿足|z|1的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓上,|z3i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)P(0,3)的距離,如圖:則|z3i|的最大值為4故答案為:414【解答】答案為:-1815【解答】解:在圖2中,水中部分是四棱柱,四棱柱底面積為S,高為2,四棱柱的體積為V2a,設(shè)圖1中容器內(nèi)水面高度為h,則V,解得h圖1中容器內(nèi)水面的高度是故答案為:16【解答】解:如圖所示:依題意得,底面ABC的外接圓半徑為,點(diǎn)P到平面ABC的距離為,所以,所以,設(shè)球O1的半徑為R,所以,則,得,設(shè)球O2的半徑為r,則,又,得,所以球O2的表面積為故答案為:四

13、、解答題(本大題共6小題,共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17【解答】解:(1)z是純虛數(shù),2m2m10且m2+2m30,解得;(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,解得3m故m的取值范圍為(3,)18【解答】解:(1)asinA+4bsinCcos2AbsinB+csinC,由正弦定理可得,a2+4bccos2Ab2+c2,cos2AcosA,三角形ABC為斜三角形,A不為直角,即cosA0,cosA,又A(0,),A;(2)A,a2,由余弦定理可得4b2+c2bc,BC上的中線AD長(zhǎng)為,可得BDCD1,在ABD中,由余弦定理可得cosADB,在ACD中,由余弦定理可得

14、cosADC,又cosADBcos(ADC)cosADC,整理可得b2+c28,由解得bc2,SABCbcsinA19【解答】解:方法一(1)在梯形ABCD中,因?yàn)锳BCD,AB2CD,所以AO2OC,;(2)令,則,即,令,則,所以當(dāng)時(shí),有最小值方法二(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系;則A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2);則,由相似三角形易得設(shè)M(,0),則,得則,(2)設(shè)N(a,a),顯然0a2,所以當(dāng)時(shí),有最小值20【解答】解:(1)在AMN中,由余弦定理得,MN2AM2+AN22AMANcos120(2分),所以千米 (

15、4分)(2)設(shè)PMN,因?yàn)镸PN60,所以PNM120在PMN中,由正弦定理得,(6分)因?yàn)椋訮M4sin(1200),PN4sin(8分)因此PM+PN4sin(1200)+4sin(10分)(13分)因?yàn)?120,所以30+30150所以當(dāng)+300900,即600時(shí),PM+PN取到最大值(15分)答:兩條觀光線路距離之和的最大值為千米(16分)21【解答】解:(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中,DD1平面ABB1A1所以點(diǎn)E在DD1上運(yùn)動(dòng)時(shí),到平面ABB1A1的距離為4,;證明:(2)連接A1B交AB1于點(diǎn)M,連接EM,EF,D1C,因?yàn)镋FD1C,且,MBD1C,且,所以,所以

16、四邊形MEFB是平行四邊形,所以BFME,又因?yàn)锽F平面AB1E,ME平面AB1E,所以BF平面AB1E22【解答】證明:(1)連接BD交AC于O,四邊形ABCD為正方形,ACBD,又ED平面ABCD,AC平面ABCD,則EDAC又FBED,B,D,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面,EDBDD,且ED,BD平面BDEF,AC平面BDEF;解:(2)BCAD,BC與平面AEF所成角就是AD與平面AEF所成角,在AEF中,可以求得,根據(jù)余弦定理得,AEF(0,),設(shè)點(diǎn)D到平面AEF的距離為d,由DE平面ABCD知DEAB,而ADAB,ADDED,AB平面ADE,F(xiàn)BED,F(xiàn)B平面ADE,ED平面ADE,F(xiàn)B平面ADE,則點(diǎn)F到平面ADE的距離為AB長(zhǎng)2,又,由VDAEFVFADE,得,即,解得,故BC與平面AEF所成角的正弦值為

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