2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市高一自主招生考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、 2022年高一自主招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共7小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，把正確的選項(xiàng)填在答題卡答題欄中）1. 方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用絕對值的意義，分為或兩種情況，結(jié)合一元二次方程的解法求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，方程可化為，解得：；當(dāng)時(shí)，方程可化為，解得：(不合題意舍去)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根故選：C2. 依次將正整數(shù)1，2，3，的平方數(shù)排成一串：149162536496481100121144，排在第1個(gè)位置的數(shù)字是1，排在第5個(gè)位置的數(shù)字是6，排在第10個(gè)位置的數(shù)字是4，排在第898個(gè)位置的數(shù)字是

2、（ ）A. 1B. 4C. 5D. 9【答案】B【解析】【分析】先分別找到占1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)數(shù)位的平方數(shù)的個(gè)數(shù)，從而得出第898個(gè)位置的數(shù)字是的個(gè)位數(shù)字，求解即可【詳解】到，結(jié)果都各占1個(gè)數(shù)位，共占133個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都各占2個(gè)數(shù)位，共占2612個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都各占3個(gè)數(shù)位，共占32266個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都各占4個(gè)數(shù)位，共占468272個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都各占5個(gè)數(shù)位，共占5109545個(gè)數(shù)位；此時(shí)31266272545898，而，所以，排在第898個(gè)位置的數(shù)字恰好應(yīng)該是的個(gè)位數(shù)字，即為4故選：B3. 設(shè)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為和，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【

3、解析】【分析】依題意、為方程的兩根，即可得到，再代入計(jì)算可得.【詳解】依題意、為方程的兩根，所以，所以，所以.故選：A4. 若直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)M、N滿足條件M、N都在函數(shù)y的圖象上M、N關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)對是函數(shù)y的一個(gè)“共生點(diǎn)對”（點(diǎn)對與看作同一個(gè)”共生點(diǎn)對”），已知函數(shù)，則函數(shù)y的“共生點(diǎn)對”有（ ）個(gè)A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“共生點(diǎn)對”的概念知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y的“共生點(diǎn)對”個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象分析即可.【詳解】根據(jù)“共生點(diǎn)對”的概念知，作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象與函數(shù)的圖象如下圖所示： 由圖可知它們

4、的交點(diǎn)有兩個(gè)，所以函數(shù)y的“共生點(diǎn)對”有2對.故選：C.5. 如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接CF交BD于點(diǎn)G連接BE交AG于點(diǎn)H若正方形的邊長為4，則線段DH長度的最小值是（ ） A. B. C. 3D. 3.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件可證明ABE和DCF全等，ADG和CDG全等，從而得到13，然后求出AHB90，取AB的中點(diǎn)O，可得OHAB2，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長度最小.【詳解】 在正方形ABCD中，在和中，在和中，取AB的中點(diǎn)，連接OH，OD，則，在Rt中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，當(dāng)O、D

5、、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長度最小，最小值為故選：A6. 如圖，一個(gè)邊長分別是6，8，10的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的點(diǎn)A重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形的兩邊BC，CD上，則正方形的面積是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可以證明AEF是直角三角形，利用正方形的性質(zhì)可以證明FECEAB，然后利用相似三角形的性質(zhì)可以得到CEBA34，設(shè)CE3x，則EBx，在EAB中，根據(jù)勾股定理可求出，即可求出正方形的面積【詳解】AEF的三邊為6，8，10，而，AEF為直角三角形，AEF90，F(xiàn)ECAEB90，而四邊形ABCD為正方形，B90，EABAEB90，F(xiàn)ECEAB，

6、又BC90，F(xiàn)ECEAB，CEBAEFAE34設(shè)CE3x，則BA4x，EBx，三角形EBA為直角三角形，正方形的面積故選：D7. 如圖，O是正方形ABCD對角線AC上一點(diǎn)，OEOD，OED45，E在AB上，結(jié)論：；若，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由題意DOE是等腰直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，可判斷；根據(jù)AODAEF，EAFOAD45，證明AODAEF，可判斷；根據(jù)AEOEFO，AOEEOF，證明AEOEFO，可判斷；利用勾股定理得出DE的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可判斷【詳解】OEOD，DOE90，OED4

7、5，DOE是等腰直角三角形，ODOE，ODE45.EAD90，AEDADE90，AED90ADE，AODDAOADO180，AOD4545ADE180，AOD90ADE，所以AODAED，故正確；AODAEF，EAFOAD45，AODAEF，ADODAFEF，故正確；AEOAEDDEOAED45，EFOAODEDOAOD45，又AODAED，AEOEFO，又AOEEOF，AEOEFO，即，故正確；ABAD6，BE4，AE2，DOE是等腰直角三角形，OEOD，故正確.故正確結(jié)論個(gè)數(shù)為4.故選：D.二、填空題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）8. _【答案】【解析】【分析】根據(jù)立方差公式與根

8、式的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】.故答案為：9. 若有四個(gè)不同的正整數(shù)a,b,c,d,滿足,則_【答案】8087或8089【解析】【分析】根據(jù)a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù),可知四個(gè)括號內(nèi)的值分別是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3,據(jù)此可得出結(jié)論【詳解】a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù),四個(gè)括號內(nèi)的值分別是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3四個(gè)括號內(nèi)的值分別是：1,-1,-2,3時(shí),不妨令,；四個(gè)括號內(nèi)的值分別是：1,-1,2,-3時(shí),不妨令,.故答案為：8087或808910 已知實(shí)數(shù)且滿足，則_【答案】【解析】【分析】由題意可得是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由利用韋達(dá)定理可得答案.【詳解

9、】因?yàn)閷?shí)數(shù)且滿足，所以是方程即的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，所以， ，所以，故答案為：.11. 如圖，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在BA上向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒2個(gè)單位長度，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)當(dāng)t為_秒時(shí)，MNA為等腰三角形 【答案】或或.【解析】【分析】根據(jù)題意，分、和，三種情況分類討論，結(jié)合三角形全等和相似，列出關(guān)系式，即可求解.【詳解】解：由題可知，如圖（1）所示，當(dāng)時(shí)，解得； 如圖（2）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，所以，所以，即，解得?如圖（3）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以，即，解? 綜上可得，當(dāng)?shù)闹禐榛蛎?/p>

10、秒或秒時(shí)，能成為等腰三角形.故答案為：或或.12. 如圖，點(diǎn)P為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，且到兩坐標(biāo)軸距離相等，半徑為，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的最小值是_ 【答案】【解析】【分析】設(shè)，求得，連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，此時(shí)最小，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，且到兩坐標(biāo)軸距離相等，所以可設(shè)，則，解得或（舍去），即點(diǎn)，即圓的方程為，如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，此時(shí)最小，因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小，又因?yàn)榈陌霃綖?，所以的最小值?故答案為：. 13. 如圖，在ABC中，以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作，延

11、長BP交AC于E，交CF于F，若則_ 【答案】6【解析】【分析】作出輔助線，利用全等和相似關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】因AB為直徑，所以，因?yàn)?，所以，延長交的延長線于點(diǎn)， 則，因?yàn)?，所以，故，所以，因?yàn)?，設(shè)，則由可得，由可得，又，故，解得，故.故答案為：614. 設(shè)自然數(shù)，且，則_【答案】16【解析】【分析】依題意可得，即可得到，從而得解.【詳解】因?yàn)?，即，即，所以，即，所以關(guān)于的方程有正整數(shù)解，所以，其中，解得，所以，又，因?yàn)?、為自然?shù)且，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故答案為：三、解答題（本大題共4小題，共59分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算或推演步驟）15. （1）解方程；（2

12、）對于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)x0，使成立，則稱x0為的固定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求的固定點(diǎn)；若對于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)不相同的固定點(diǎn)，求a的取值范圍【答案】（1）；（2）1和3；【解析】【分析】（1）設(shè)，則原方程變?yōu)椋喺淼?，求得的值，進(jìn)而得原方程的解；（2）把的值代入方程，解方程即可得的不動(dòng)點(diǎn)；根據(jù)方程有兩解可得對b為任意實(shí)數(shù)恒成立，將其看成關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)即可得結(jié)果【詳解】（1）設(shè)，則原方程變?yōu)?，得，化簡整理得，即?，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，原方程的解是.（2）當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得：或3，故1和3是的固定點(diǎn)；由題意，對于任意實(shí)數(shù)b，方程即總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，對b為任意實(shí)數(shù)恒成立則，.16. 某校開展研

13、學(xué)旅行活動(dòng)，決定租幾輛客車，要求每輛車乘坐相同的人數(shù)，每輛車至多乘坐32人如果租22座的客車，就有一人沒座位，如果租截客量大于22的客車可以比原來少租一輛，而且所有師生剛好平均分乘這些客車上，問原來租幾輛客車，師生共有多少人？【答案】原來租24輛客車，師生共有529人【解析】【分析】設(shè)原來租輛客車，實(shí)際租用的客車每輛車坐人，由題意得，且，從而得到，即可得到或，求出的值，即可得解.【詳解】設(shè)原來租輛客車，實(shí)際租用的客車每輛車坐人，由題意得：，且，所以，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以必須是正整數(shù)，于是或，當(dāng)，即時(shí)，32，不合題意，舍去當(dāng)，即時(shí)，符合題意，此時(shí)，所以原來租輛客車，師生共有人17. 如圖，在矩形A

14、BCD中，DE平分ADC時(shí)，將ABE沿AE折疊至AFE，點(diǎn)F恰好落在DE上 （1）求證：（2）如圖，延長CF交AE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H求證：；求的值【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析；.【解析】【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得AFDC，從而可證AFDDCE，得出結(jié)論；（2）利用等腰三角形兩個(gè)底角相等，通過計(jì)算角度，可證明AHGCFE，由相似三角形的性質(zhì)得，從而解決問題；利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出EM，可得BM，CM的長，再利用AHGCFE，由相似三角形的性質(zhì)得，求出GH即可得解【小問1詳解】四邊形ABCD矩形，ED平分ADC，將ABE沿AE折疊至AFE，ABEAFE，在

15、AFD與DCE中，AFDDCE，.【小問2詳解】AFDDCE，AHGCFE，.過點(diǎn)F作于M，如圖， 設(shè)，a，在RtBCH中，AHGCFE，.18. 已知如圖在RtOAB中，.若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)將RtOAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處. （1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若拋物線經(jīng)過C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；（3）若拋物線對稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M.問：是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1） （2） （3）存在，P點(diǎn)的坐為

16、【解析】【分析】（1）先求出OA的長度，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出OC，直接求解坐標(biāo)即可；（2）將點(diǎn)A和C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立方程組求解即可；（3）先表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而表示點(diǎn)M坐標(biāo)，利用建立方程求解，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).【小問1詳解】如圖： 過點(diǎn)C作軸，垂足為H，因?yàn)樵赗tOAB中，所以，由折疊知，所以，則，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過、兩點(diǎn)，所以，解得，所以此拋物線的解析式為；【小問3詳解】存在.因?yàn)閤頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即為點(diǎn)C，由題意軸，設(shè)垂足為N，因?yàn)椋?，所以，如圖： 作，垂足為Q，垂足為E，把代入得：，所以，同理：，要使，只需，即，解得：（舍去），所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以存在滿足條件的點(diǎn)P，使，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為.