概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1講

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1講》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1講（56頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1講本文件可從網(wǎng)址http:/上下載(單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄) 緒論人們通常將自然界或社會(huì)中出現(xiàn)的現(xiàn)象分成二類：一類是必然的necessity, inevitability，一類是偶然的chanciness, casulness, chance, fortuity, randomly 必然現(xiàn)象的例： 同性電荷互相排斥 純水加熱到100必然沸騰偶然現(xiàn)象的例： 擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面或反面兩種結(jié)局，但究竟出現(xiàn)哪種結(jié)局事先無(wú)法確定 必然性和偶然性相互之間是有聯(lián)系的大量的偶然性會(huì)導(dǎo)致某種必然的結(jié)果例如，在鬧市區(qū)，開(kāi)一家商店，每天有哪些顧客前來(lái)購(gòu)買(mǎi)東西是偶然的但每天必然

2、有顧客來(lái)購(gòu)買(mǎi)東西則是必然的概率論的任務(wù)就是從偶然性中發(fā)現(xiàn)必然性 概率一詞的英文是probabilityProbable 意指可能-ility 意指程度(large or small?)因此，probability可認(rèn)為是“可能性的大小”，翻譯成中文就是概率，但也有不同時(shí)期或者不同的資料翻譯成或然率或者幾率的。而在不同的學(xué)科中又有不同的稱呼，如產(chǎn)品合格率，犯罪率，出生率，離婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。 概率論在科學(xué)的各個(gè)學(xué)科中都有大量的應(yīng)用包括社會(huì)科學(xué)：社會(huì)學(xué)，管理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，軍事學(xué)，等等和自然科學(xué)：包括物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)，醫(yī)學(xué)，等等 本課程目的是為了給后繼課程的

3、應(yīng)用打基礎(chǔ)分為兩部分，第一部分建立概率論的基本的各個(gè)術(shù)語(yǔ)和概念，常用的公式和基本的定理，這樣后繼課程就可以繼續(xù)在專業(yè)領(lǐng)域中使用這些基礎(chǔ)知識(shí)。第二部分為數(shù)理統(tǒng)計(jì)，即研究怎樣從大量的隨機(jī)的看似雜亂無(wú)章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果的技術(shù)。我們的重點(diǎn)放在第一部分 由于時(shí)間所限所有帶星號(hào)*的章節(jié)將不講，也不作要求。重點(diǎn)將放在前六章，如果時(shí)間不允許將不進(jìn)行期中考試，如果進(jìn)行期中考試將采取開(kāi)卷形式，但只能看教材，不允許作弊。在臨近其末考試時(shí)將給出復(fù)習(xí)提綱。除重修的同學(xué)外，所有學(xué)生必須到課，必須完成布置的作業(yè)，否則平時(shí)成績(jī)將會(huì)降低 由于學(xué)生過(guò)多每次只能改部分作業(yè), 分成組輪流交作業(yè)。每位同學(xué)可根據(jù)書(shū)本后面的答案和網(wǎng)址

4、http:/上的習(xí)題解參考檢查自己的作業(yè)。 復(fù)習(xí)或介紹一下常用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 排列與組合 乘法原理: 如果一個(gè)過(guò)程可以分成兩個(gè)階段進(jìn)行, 第一個(gè)階段有m種不同的做法, 第二個(gè)階段有n種不同的做法, 且第一個(gè)階段的任一種做法都可以與第二個(gè)階段的任一種做法配成整個(gè)過(guò)程的一種做法, 那末整個(gè)過(guò)程應(yīng)該有mn種的做法. 一, 排列從n個(gè)不同的元素中, 任意取出r個(gè)不同的元素(0 r n)按照一定的順序排成一列, 這樣的一列元素叫做從n個(gè)不同元素中取r個(gè)不同元素組成的一種排列. 對(duì)于所有不同排列的種數(shù), 通常表示為 rnP 先設(shè)0rn, 每一種排列由在r個(gè)有次序位置上各放上一個(gè)元素所組成. 第一個(gè)位置上的元素

5、有n種不同的取法; 在它取定之后, 第二個(gè)位置上的元素只有n-1種不同的取法; 前兩個(gè)元素取定之后, 第三個(gè)位置上的元素只有n-2種不同的取法; 依次類推, 第r個(gè)位置上的元素只有n-r+1種不同的取法, 因此按乘法原理, 所求排列種數(shù)為 ( 1)( 2) ( 1)rnP n n n n r - - - 或改寫(xiě)為( 1)( 2) ( 1)( 1) ( 1)( )( 1) 3 21( )( 1) 3 21!( )!rnP n n n n rn n n r n r n rn r n rnn r - - - - - - - - - - - - 當(dāng)r=n時(shí), 所求排列種數(shù)為n!. 若規(guī)定0!=1, 則

6、上式仍然成立. 因此, 當(dāng)0rn時(shí), 上述排列問(wèn)題的答案總可以表達(dá)成!( )!rn nP n r - 例1 計(jì)算從八個(gè)不同的元素中任取三個(gè)的排列種數(shù).解 所求排列種數(shù)為38 8 7 6 336P 例2 從1,2,3,4,5,6,7七個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成的三位數(shù)中有幾個(gè)是偶數(shù)?解 所得的三位數(shù)是偶數(shù), 它的個(gè)位上應(yīng)是2,4,6中的一個(gè). 因此, 按置在個(gè)位上的數(shù)有三種不同的取法, 而十位, 百位上的數(shù)共有65種不同的取法. 從而所求的個(gè)數(shù)為 365=90 以上排列問(wèn)題中參加排列的元素是不允許重復(fù)的. 但有時(shí)需要考慮允許重復(fù)的情況, 例如電話號(hào)碼就允許數(shù)字重復(fù). 現(xiàn)考慮從n個(gè)各不相同的元素里

7、任取一個(gè), 然后放回去, 再取一個(gè), 然后又放回去, 這樣共進(jìn)行r次, 問(wèn)所得不同的排列共有多少種? 顯然, 這種情況下排列種數(shù)共有 rn n n nr 例3 用0,1,2,.,9這十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù), 在這些三位數(shù)中,(1) 如考慮數(shù)字可以重復(fù), 問(wèn)可以組成多少不同的三位數(shù)?(2) 三個(gè)數(shù)字沒(méi)有重復(fù)的有幾個(gè)?(3) 三個(gè)數(shù)字都相同的有幾個(gè)?(4) 只有兩個(gè)數(shù)字相同的有幾個(gè)? 解 (1) 在數(shù)字可以重復(fù)的情況下, 計(jì)算能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)時(shí), 由于百位數(shù)上不能放置0, 所以組成的不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)為 91010=900 (2) 百位上的數(shù)字有9種不同的取法. 在百位上的數(shù)字取定后, 十位

8、上的數(shù)字有9種不同的取法. 在百位和十位上的數(shù)字都取定后, 個(gè)位上的數(shù)字只有8種不同的取法, 所以沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 998=648. (3) 由于百位上的數(shù)字有9種不同的取法, 在百位上的數(shù)字取定后, 十位上及個(gè)位上的數(shù)字隨之而定, 所以三個(gè)數(shù)字都相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9. (4) 只有百位上與十位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為99, 只有十位上與個(gè)位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為99, 只有百位上與個(gè)位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為99. 所以只有兩個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為99+99+99=243 二, 組合設(shè)有n個(gè)不同的元素, 從它們中間任取r個(gè)(0 r n)構(gòu)成一組. 這里, 不考

9、慮這r個(gè)元素的次序, 只研究有多少種不同的取法, 這就是組合問(wèn)題. 稱每一個(gè)取得的組為一個(gè)組合. 對(duì)于所有不同的組合的種數(shù), 通常把它記作 rnCrn或 從n個(gè)不同元素中任取r個(gè)元素出來(lái), 得到一個(gè)組合, 對(duì)這r個(gè)元素進(jìn)行各種排列, 共得r!種不同的排列, 但所有這些排列均是由一種組合變來(lái)的, 所以排列的種數(shù)rnP是組合種數(shù)nr 的r!倍, 即 ! ( )! !rnn nP nr n rr n r r - 例4 有五本不同的數(shù)學(xué)書(shū), 八本不同的物理書(shū), 從中任取兩本數(shù)學(xué)書(shū), 四本物理書(shū). 問(wèn)有多少種不同的取法?解 從五本數(shù)學(xué)書(shū)中任取兩本, 種數(shù)為5 5 4 102 12 從八本物理書(shū)中任取四本

10、, 種數(shù)為8 8 7 6 5 70 4 12 3 4 因此所求總數(shù)為1070=700. 第二節(jié) 集合 集合, 有時(shí)簡(jiǎn)稱為集, 是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的集體. 通常用大寫(xiě)字母A,B,C,.來(lái)表示集合. 組成集合的各個(gè)事物稱為這集合的元素. 如果e是集合A的一個(gè)元素, 便記作eA. 如果e不是A的元素記作eA. 如果集合A是由元素e1,e2,.等組成的, 記作A=e1,e2,. 集合的元素可以是任意種類的對(duì)象: 點(diǎn), 數(shù), 函數(shù), 事件, 人等等. 例如,(1) 全體自然數(shù)組成的集合A, 表示為:A=1,2,.;(2)在給定直線上全體點(diǎn)組成的集合;(3)平面上區(qū)域D中所有點(diǎn)組成的集合;(4

11、)數(shù)軸上所有區(qū)間組成的一個(gè)集合;(5)定義域?yàn)閰^(qū)間(a,b)的所有連續(xù)函數(shù);(6)某地區(qū)所有學(xué)齡前兒童組成的一個(gè)集合. 在討論集合時(shí), 重復(fù)的元素只算一次. 例如把1,2,2,3與1,2,3看作是同一個(gè)集合. 如果一個(gè)集合中只有有限多個(gè)元素, 稱這集合為有限集. 如果一個(gè)集合中有無(wú)限多個(gè)元素, 稱這集合為無(wú)限集.如果一個(gè)無(wú)限集中的諸元素能與全體自然數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 則稱這無(wú)限集為可數(shù)集或可列集, 否則為不可數(shù)集. . ),(,)( ; ;,41,31,21,41,31,21 ;3,2,13,2,1,集它也是一個(gè)不可數(shù)無(wú)限稱它為區(qū)間的實(shí)數(shù)組成一個(gè)集合于小所有大于數(shù)的無(wú)限集所有實(shí)數(shù)組成一個(gè)不可

12、為元素的可數(shù)集是以數(shù)字為元素的有限集是以三個(gè)數(shù)字例如babab a 集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算 一, 子集如果屬于集合A的任一元素都屬于集合B, 則稱集合A是集合B的子集, 記作AB(或BA), 讀作A含于B(或B包含A).BA 例如, 由所有偶數(shù)組成的集合是由所有整數(shù)組成的集合的子集; 區(qū)間(1,2)是區(qū)間(1,4)的子集. 特別地, 一個(gè)集合A是它自己的一個(gè)子集. 顯然, 當(dāng)AB且BC時(shí), AC. 為了討論方便, 把不含任何元素的集合稱為空集, 記作. 把空集作為任一集合A的子集, 即對(duì)任一集合A, A.如果AB且BA, 則稱集合A,B相等, 記作A=B 二, 并集由至少屬于集合A或集合B

13、二者之一的所有元素所組成的集合稱為集合A與集合B的并集, 記作AB. A B 例如, 集合1,2,3與集合3,4,5的并集為集合1,2,3,4,5; 區(qū)間(1,3)與(2,4)的并集為區(qū)間(1,4); 區(qū)間(-,3)與區(qū)間(-,1)的并集為區(qū)間(-,3) 由平面上坐標(biāo)滿足1x2的點(diǎn)的全體組成的集合與由坐標(biāo)滿足2y4的點(diǎn)的全體組成的集合的并集如圖所示:O 1 224 y x 三, 交集由同時(shí)屬于集合A及集合B的所有元素所組成的集合稱為集合A與集合B的交集, 記作AB A B 例如, 區(qū)間(-, 3)與區(qū)間(1, +)的交集為區(qū)間(1,3); 由平面上圓x2+y2=1內(nèi)的所有點(diǎn)的集合與由橫坐標(biāo)大于

14、零的所有點(diǎn)組成的集合的交集如圖所示的右半圓.xy 11O 如果AB=, 即A,B無(wú)公共元素, 就稱集合A與集合B互不相交.例如, 由所有正數(shù)組成的集合與由所有負(fù)數(shù)組成的集合互不相交; 區(qū)間(1,2)與區(qū)間(2,3)互不相交. 集合的并與交滿足如下的分配率:(AB)C=(AC)(BC).A BC 證 下列諸關(guān)系式是相互等價(jià)的:e(AB)C,eAB且eC,eAC或eBC,e(AC)(BC).從而上述分配律成立. 集合的并及交可以從兩個(gè)推廣到有限多個(gè)或可數(shù)多個(gè)集合上去, 諸集合A1,A2,.的并集A1A2.就是由至少屬于A1,A2,.中一個(gè)的所有元素組成的集合; 諸集合A1,A2,.的交集A1A2.

15、就是由同時(shí)屬于A1,A2,.的所有元素組成的集合. 分配律對(duì)于有限個(gè)或可數(shù)多個(gè)集合的并集也成立,即(A1A2.)C=(A1C)(A2C). 四, 差集 余集設(shè)A,B為任意兩個(gè)集合, 稱由屬于集合A而不屬于集合B的所有元素組成的集合為集合A與集合B的差集, 記作A-BA B 例如, 區(qū)間(1,4)與區(qū)間(0,2)的差集為區(qū)間2,4). 特殊地, 如果A與B不相交, 則A-B=A 設(shè)BU, 稱U-B為B在U內(nèi)的余集, 記作UB B U 例如, 當(dāng)U為整個(gè)數(shù)軸時(shí), 區(qū)間(-,a)在U內(nèi)的余集為a,+) 下面給出幾條關(guān)于余集的性質(zhì), 設(shè)A,B,.等都是U的子集, 為簡(jiǎn)便起見(jiàn), 略去表達(dá)余集時(shí)的下標(biāo)U.

16、 BABA BABA BABAAA )3( ,)2( )1(那末如果 可列個(gè)的概念英文為countable, count的意思是計(jì)數(shù), countable的意思是可計(jì)數(shù)的, 因此被翻譯成可列個(gè), 也有翻譯成可數(shù)個(gè)的. 這個(gè)詞用來(lái)表示一個(gè)有著無(wú)限個(gè)元素的集合中的元素的多少的.我們知道全體自然數(shù)的集合N=1,2,3,是無(wú)限個(gè)的, 而自然數(shù)N的多少就被定義成可列個(gè).此外, 任何與自然數(shù)N存在著1-1對(duì)應(yīng)的關(guān)系的無(wú)限集合也被稱為可列個(gè). 也就是說(shuō)如果集合A是有無(wú)限多個(gè)元素, 而且每個(gè)元素可以用自然數(shù)作為下標(biāo)來(lái)表示, 那么集合A就有可列個(gè), 即A=a1, a2, a3, a4, , 也就是說(shuō), 任給A中

17、的一個(gè)元素, 我們都有辦法說(shuō)出它是第幾個(gè)元素.例如, 全體正偶數(shù)的集合E是可列的, 只要令ai=2i, 則任給一個(gè)偶數(shù)我們都知道它是第幾個(gè)偶數(shù), 比如一個(gè)偶數(shù)246, 我們知道它是第123個(gè)偶數(shù). 但是, 存在著無(wú)限集合其元素多于可列個(gè)的即無(wú)法采用自然數(shù)下標(biāo)的辦法標(biāo)出每一個(gè)元素. 實(shí)數(shù)集合R就是這樣一個(gè)集合.下面我們證明在(0,1)區(qū)間的全體實(shí)數(shù)是不可列的, 即無(wú)法表示為自然數(shù)下標(biāo)的形式. 證明通過(guò)反證法, 即假設(shè)存在著這樣一種排列能夠表示(0,1)區(qū)間的全體實(shí)數(shù), 例如, 假設(shè)表示為 a1=0.230108370212 a2=0.102089402801 a3=0.328047038293 根據(jù)此排列構(gòu)造一個(gè)新的實(shí)數(shù)a使它的第i位小數(shù)與下面排列的第i位小數(shù)一樣 a1=0.230108370212 a2=0.102089402801 a3=0.328047038293 a=0.208.然后再任找一實(shí)數(shù)b它的每一位小數(shù)與a的相應(yīng)位小數(shù)都不一樣, 例如, 令b=0.010, 則b一定不屬于上面的排列中的任何一個(gè)實(shí)數(shù), 由此證明實(shí)數(shù)為不可列個(gè). 請(qǐng)?zhí)釂?wèn)