概率論與數理統(tǒng)計第1講

概率論與數理統(tǒng)計第1講本文件可從網址http:/上下載(單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄) 緒論人們通常將自然界或社會中出現的現象分成二類：一類是必然的necessity, inevitability，一類是偶然的chanciness, casulness, chance, fortuity, randomly 必然現象的例： 同性電荷互相排斥 純水加熱到100必然沸騰偶然現象的例： 擲一枚硬幣，可能出現正面或反面兩種結局，但究竟出現哪種結局事先無法確定 必然性和偶然性相互之間是有聯系的大量的偶然性會導致某種必然的結果例如，在鬧市區(qū)，開一家商店，每天有哪些顧客前來購買東西是偶然的但每天必然有顧客來購買東西則是必然的概率論的任務就是從偶然性中發(fā)現必然性 概率一詞的英文是probabilityProbable 意指可能-ility 意指程度(large or small?)因此，probability可認為是“可能性的大小”，翻譯成中文就是概率，但也有不同時期或者不同的資料翻譯成或然率或者幾率的。而在不同的學科中又有不同的稱呼，如產品合格率，犯罪率，出生率，離婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。 概率論在科學的各個學科中都有大量的應用包括社會科學：社會學，管理學，經濟學，軍事學，等等和自然科學：包括物理學，化學，生物學，醫(yī)學，等等 本課程目的是為了給后繼課程的應用打基礎分為兩部分，第一部分建立概率論的基本的各個術語和概念，常用的公式和基本的定理，這樣后繼課程就可以繼續(xù)在專業(yè)領域中使用這些基礎知識。第二部分為數理統(tǒng)計，即研究怎樣從大量的隨機的看似雜亂無章的數字中獲得統(tǒng)計結果的技術。我們的重點放在第一部分 由于時間所限所有帶星號*的章節(jié)將不講，也不作要求。重點將放在前六章，如果時間不允許將不進行期中考試，如果進行期中考試將采取開卷形式，但只能看教材，不允許作弊。在臨近其末考試時將給出復習提綱。除重修的同學外，所有學生必須到課，必須完成布置的作業(yè)，否則平時成績將會降低 由于學生過多每次只能改部分作業(yè), 分成組輪流交作業(yè)。每位同學可根據書本后面的答案和網址http:/上的習題解參考檢查自己的作業(yè)。 復習或介紹一下常用的數學基礎 排列與組合 乘法原理: 如果一個過程可以分成兩個階段進行, 第一個階段有m種不同的做法, 第二個階段有n種不同的做法, 且第一個階段的任一種做法都可以與第二個階段的任一種做法配成整個過程的一種做法, 那末整個過程應該有mn種的做法. 一, 排列從n個不同的元素中, 任意取出r個不同的元素(0 r n)按照一定的順序排成一列, 這樣的一列元素叫做從n個不同元素中取r個不同元素組成的一種排列. 對于所有不同排列的種數, 通常表示為 rnP 先設0rn, 每一種排列由在r個有次序位置上各放上一個元素所組成. 第一個位置上的元素有n種不同的取法; 在它取定之后, 第二個位置上的元素只有n-1種不同的取法; 前兩個元素取定之后, 第三個位置上的元素只有n-2種不同的取法; 依次類推, 第r個位置上的元素只有n-r+1種不同的取法, 因此按乘法原理, 所求排列種數為 ( 1)( 2) ( 1)rnP n n n n r - - - 或改寫為( 1)( 2) ( 1)( 1) ( 1)( )( 1) 3 21( )( 1) 3 21!( )!rnP n n n n rn n n r n r n rn r n rnn r - - - - - - - - - - - - 當r=n時, 所求排列種數為n!. 若規(guī)定0!=1, 則上式仍然成立. 因此, 當0rn時, 上述排列問題的答案總可以表達成!( )!rn nP n r - 例1 計算從八個不同的元素中任取三個的排列種數.解 所求排列種數為38 8 7 6 336P 例2 從1,2,3,4,5,6,7七個數中任取三個不同的數組成的三位數中有幾個是偶數?解 所得的三位數是偶數, 它的個位上應是2,4,6中的一個. 因此, 按置在個位上的數有三種不同的取法, 而十位, 百位上的數共有65種不同的取法. 從而所求的個數為 365=90 以上排列問題中參加排列的元素是不允許重復的. 但有時需要考慮允許重復的情況, 例如電話號碼就允許數字重復. 現考慮從n個各不相同的元素里任取一個, 然后放回去, 再取一個, 然后又放回去, 這樣共進行r次, 問所得不同的排列共有多少種? 顯然, 這種情況下排列種數共有 rn n n nr 例3 用0,1,2,.,9這十個數字組成三位數, 在這些三位數中,(1) 如考慮數字可以重復, 問可以組成多少不同的三位數?(2) 三個數字沒有重復的有幾個?(3) 三個數字都相同的有幾個?(4) 只有兩個數字相同的有幾個? 解 (1) 在數字可以重復的情況下, 計算能組成多少個不同的三位數時, 由于百位數上不能放置0, 所以組成的不同的三位數的個數應為 91010=900 (2) 百位上的數字有9種不同的取法. 在百位上的數字取定后, 十位上的數字有9種不同的取法. 在百位和十位上的數字都取定后, 個位上的數字只有8種不同的取法, 所以沒有重復數字的三位數的個數為 998=648. (3) 由于百位上的數字有9種不同的取法, 在百位上的數字取定后, 十位上及個位上的數字隨之而定, 所以三個數字都相同的三位數的個數為9. (4) 只有百位上與十位上的數字相同的三位數的個數為99, 只有十位上與個位上的數字相同的三位數的個數為99, 只有百位上與個位上的數字相同的三位數的個數為99. 所以只有兩個相同數字的三位數的個數為99+99+99=243 二, 組合設有n個不同的元素, 從它們中間任取r個(0 r n)構成一組. 這里, 不考慮這r個元素的次序, 只研究有多少種不同的取法, 這就是組合問題. 稱每一個取得的組為一個組合. 對于所有不同的組合的種數, 通常把它記作 rnCrn或 從n個不同元素中任取r個元素出來, 得到一個組合, 對這r個元素進行各種排列, 共得r!種不同的排列, 但所有這些排列均是由一種組合變來的, 所以排列的種數rnP是組合種數nr 的r!倍, 即 ! ( )! !rnn nP nr n rr n r r - 例4 有五本不同的數學書, 八本不同的物理書, 從中任取兩本數學書, 四本物理書. 問有多少種不同的取法?解 從五本數學書中任取兩本, 種數為5 5 4 102 12 從八本物理書中任取四本, 種數為8 8 7 6 5 70 4 12 3 4 因此所求總數為1070=700. 第二節(jié) 集合 集合, 有時簡稱為集, 是具有某種特定性質的事物所組成的集體. 通常用大寫字母A,B,C,.來表示集合. 組成集合的各個事物稱為這集合的元素. 如果e是集合A的一個元素, 便記作eA. 如果e不是A的元素記作eA. 如果集合A是由元素e1,e2,.等組成的, 記作A=e1,e2,. 集合的元素可以是任意種類的對象: 點, 數, 函數, 事件, 人等等. 例如,(1) 全體自然數組成的集合A, 表示為:A=1,2,.;(2)在給定直線上全體點組成的集合;(3)平面上區(qū)域D中所有點組成的集合;(4)數軸上所有區(qū)間組成的一個集合;(5)定義域為區(qū)間(a,b)的所有連續(xù)函數;(6)某地區(qū)所有學齡前兒童組成的一個集合. 在討論集合時, 重復的元素只算一次. 例如把1,2,2,3與1,2,3看作是同一個集合. 如果一個集合中只有有限多個元素, 稱這集合為有限集. 如果一個集合中有無限多個元素, 稱這集合為無限集.如果一個無限集中的諸元素能與全體自然數構成一一對應關系, 則稱這無限集為可數集或可列集, 否則為不可數集. . ),(,)( ; ;,41,31,21,41,31,21 ;3,2,13,2,1,集它也是一個不可數無限稱它為區(qū)間的實數組成一個集合于小所有大于數的無限集所有實數組成一個不可為元素的可數集是以數字為元素的有限集是以三個數字例如babab a 集合之間的關系與集合的運算 一, 子集如果屬于集合A的任一元素都屬于集合B, 則稱集合A是集合B的子集, 記作AB(或BA), 讀作A含于B(或B包含A).BA 例如, 由所有偶數組成的集合是由所有整數組成的集合的子集; 區(qū)間(1,2)是區(qū)間(1,4)的子集. 特別地, 一個集合A是它自己的一個子集. 顯然, 當AB且BC時, AC. 為了討論方便, 把不含任何元素的集合稱為空集, 記作. 把空集作為任一集合A的子集, 即對任一集合A, A.如果AB且BA, 則稱集合A,B相等, 記作A=B 二, 并集由至少屬于集合A或集合B二者之一的所有元素所組成的集合稱為集合A與集合B的并集, 記作AB. A B 例如, 集合1,2,3與集合3,4,5的并集為集合1,2,3,4,5; 區(qū)間(1,3)與(2,4)的并集為區(qū)間(1,4); 區(qū)間(-,3)與區(qū)間(-,1)的并集為區(qū)間(-,3) 由平面上坐標滿足1x2的點的全體組成的集合與由坐標滿足2y4的點的全體組成的集合的并集如圖所示:O 1 224 y x 三, 交集由同時屬于集合A及集合B的所有元素所組成的集合稱為集合A與集合B的交集, 記作AB A B 例如, 區(qū)間(-, 3)與區(qū)間(1, +)的交集為區(qū)間(1,3); 由平面上圓x2+y2=1內的所有點的集合與由橫坐標大于零的所有點組成的集合的交集如圖所示的右半圓.xy 11O 如果AB=, 即A,B無公共元素, 就稱集合A與集合B互不相交.例如, 由所有正數組成的集合與由所有負數組成的集合互不相交; 區(qū)間(1,2)與區(qū)間(2,3)互不相交. 集合的并與交滿足如下的分配率:(AB)C=(AC)(BC).A BC 證 下列諸關系式是相互等價的:e(AB)C,eAB且eC,eAC或eBC,e(AC)(BC).從而上述分配律成立. 集合的并及交可以從兩個推廣到有限多個或可數多個集合上去, 諸集合A1,A2,.的并集A1A2.就是由至少屬于A1,A2,.中一個的所有元素組成的集合; 諸集合A1,A2,.的交集A1A2.就是由同時屬于A1,A2,.的所有元素組成的集合. 分配律對于有限個或可數多個集合的并集也成立,即(A1A2.)C=(A1C)(A2C). 四, 差集 余集設A,B為任意兩個集合, 稱由屬于集合A而不屬于集合B的所有元素組成的集合為集合A與集合B的差集, 記作A-BA B 例如, 區(qū)間(1,4)與區(qū)間(0,2)的差集為區(qū)間2,4). 特殊地, 如果A與B不相交, 則A-B=A 設BU, 稱U-B為B在U內的余集, 記作UB B U 例如, 當U為整個數軸時, 區(qū)間(-,a)在U內的余集為a,+) 下面給出幾條關于余集的性質, 設A,B,.等都是U的子集, 為簡便起見, 略去表達余集時的下標U. BABA BABA BABAAA )3( ,)2( )1(那末如果 可列個的概念英文為countable, count的意思是計數, countable的意思是可計數的, 因此被翻譯成可列個, 也有翻譯成可數個的. 這個詞用來表示一個有著無限個元素的集合中的元素的多少的.我們知道全體自然數的集合N=1,2,3,是無限個的, 而自然數N的多少就被定義成可列個.此外, 任何與自然數N存在著1-1對應的關系的無限集合也被稱為可列個. 也就是說如果集合A是有無限多個元素, 而且每個元素可以用自然數作為下標來表示, 那么集合A就有可列個, 即A=a1, a2, a3, a4, , 也就是說, 任給A中的一個元素, 我們都有辦法說出它是第幾個元素.例如, 全體正偶數的集合E是可列的, 只要令ai=2i, 則任給一個偶數我們都知道它是第幾個偶數, 比如一個偶數246, 我們知道它是第123個偶數. 但是, 存在著無限集合其元素多于可列個的即無法采用自然數下標的辦法標出每一個元素. 實數集合R就是這樣一個集合.下面我們證明在(0,1)區(qū)間的全體實數是不可列的, 即無法表示為自然數下標的形式. 證明通過反證法, 即假設存在著這樣一種排列能夠表示(0,1)區(qū)間的全體實數, 例如, 假設表示為 a1=0.230108370212 a2=0.102089402801 a3=0.328047038293 根據此排列構造一個新的實數a使它的第i位小數與下面排列的第i位小數一樣 a1=0.230108370212 a2=0.102089402801 a3=0.328047038293 a=0.208.然后再任找一實數b它的每一位小數與a的相應位小數都不一樣, 例如, 令b=0.010, 則b一定不屬于上面的排列中的任何一個實數, 由此證明實數為不可列個. 請?zhí)釂?