2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高二年級下冊學(xué)期期中檢測 數(shù)學(xué)【含答案】

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1、2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級期中檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.2.請考生將答案寫在答題卷上,寫在試卷上無效.3.請考生在答題卷規(guī)定的位置寫班級,姓名和考號(hào),交卷時(shí)只交答題卷,試卷無須上交.一單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求)1. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程即可.【詳解】由題意可得:,則曲線的斜率為,切線方程為:,即.本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中

2、分子的符號(hào),防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.2. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則的第5項(xiàng)是A. 13B. C. D. 15【答案】B【解析】【詳解】分析:把n=5代入,即得的第5項(xiàng).詳解:當(dāng)n=5時(shí),=-13.故選B.點(diǎn)睛:求數(shù)列的某一項(xiàng),只要把n的值代入數(shù)列的通項(xiàng)即得該項(xiàng).3. 函數(shù)有極值的充要條件是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)?,所以,即,?yīng)選答案C4.

3、 若函數(shù)在處取得極值,則()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由題設(shè)可得,從而可求,注意檢驗(yàn).【詳解】因?yàn)?,所以,又函?shù)在處取得極值,所以,即此時(shí),當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),故是極大值點(diǎn),故符合題意故選:D5. 萊茵德紙草書是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一書中有這樣一道題目:把個(gè)面包分給個(gè)人,使每個(gè)人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的是較小的兩份之和,則最小的一份為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為,設(shè)公差為,可得,求出,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于關(guān)系式,即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為,

4、設(shè)公差為,依題意可得,解得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算,等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6. 若數(shù)列滿足,則的值為A. 2B. -3C. D. 【答案】B【解析】【詳解】,所以故數(shù)列是以4 為周期的周期數(shù)列,故故選B.7. 已知數(shù)列前項(xiàng)和,則的通項(xiàng)公式()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令,解得,當(dāng)時(shí),得數(shù)列的遞推公式,根據(jù)等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,即可得到所求【詳解】令,則,解得,當(dāng)時(shí),則,即,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以故選:C8. 中國明代商人程大位對文學(xué)和數(shù)學(xué)也頗感興趣,他于60歲時(shí)

5、完成杰作直指算法統(tǒng)宗,這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著,該書第五卷有問題云:“今有白米一百八十石,令三人從上及和減率分之,只云甲多丙米三十六石,問:各該若干?”翻譯成現(xiàn)代文就是:“今有百米一百八十石,甲乙丙三個(gè)人來分,他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少米?”請你計(jì)算甲應(yīng)該分得A. 78石B. 76石C. 75石D. 74石【答案】A【解析】【分析】由只知道甲比丙多分三十六石,求出公差,再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的,能求出甲應(yīng)該分得78石,得到答案【詳解】由題意,今有百米一百八十石,甲乙丙三個(gè)人來分,他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,只知道甲比丙多分三十六石,所以,所以,解

6、得石甲應(yīng)該分得78石故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和基本量的運(yùn)算,其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題二多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的不得分)9. 如圖是導(dǎo)數(shù)的圖象,下列說法正確的是()A. 為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B. 為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C. 函數(shù)在處取得極大值D. 函數(shù)在處取得極小值【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系及極值的定義一一判定即可.【詳解】對于A、B選項(xiàng),由導(dǎo)函數(shù)的圖象

7、可知上導(dǎo)函數(shù)為正,上導(dǎo)函數(shù)為負(fù),故A、B正確;對于C、D選項(xiàng),由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知處導(dǎo)函數(shù)不為零,在處導(dǎo)函數(shù)為零,其左側(cè)導(dǎo)函數(shù)為正號(hào),右側(cè)導(dǎo)函數(shù)為負(fù)號(hào),故處應(yīng)取得極大值,故C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AB10. (多選)等差數(shù)列是遞增數(shù)列,且,前項(xiàng)和為,則()A. B. C. 當(dāng)時(shí),最小D. 當(dāng)時(shí),的最小值為8【答案】AD【解析】【分析】先求得,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷AB選項(xiàng)的正確性,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式判斷CD選項(xiàng)的正確性.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,可得,即又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列,可知,則,故A正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)椋?,可知?dāng)或時(shí)最小,故C錯(cuò)誤;令,解得(舍去)或,即時(shí)的最小值為8,

8、故D正確故選:AD11. 若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)可能取值為A. 2B. 1C. 0D. 【答案】BCD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合考查兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象都過原點(diǎn),則求函數(shù)過原點(diǎn)的切線【詳解】解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為;所以過原點(diǎn)的切線的斜率為;則過原點(diǎn)的切線的方程為:;所以當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn);故選:BCD【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想,考查函數(shù)零點(diǎn),函數(shù)的切線的求法;屬于基礎(chǔ)題12. 已知函數(shù),則以下結(jié)論正確的是()A. 在上單調(diào)遞增B. C. 方程有實(shí)數(shù)解D. 存在實(shí)數(shù),使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】BCD【解析】【分析】對于A項(xiàng),利用導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可判定,對

9、于B項(xiàng),通過求導(dǎo)判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,再比較自變量即可;對于C項(xiàng),求導(dǎo)判定函數(shù)的極值再數(shù)形結(jié)合即可判定,對于D項(xiàng),分類討論,分離參數(shù)求導(dǎo)函數(shù)及數(shù)形結(jié)合即可判定.【詳解】由,顯然當(dāng)時(shí),即在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),即在上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤;對于B項(xiàng),易知,由在上單調(diào)遞增可知B正確;對于C項(xiàng),由上知處取得極小值,而,故C正確,如圖所示;對于D項(xiàng),即,當(dāng),顯然成立,即是其一根,當(dāng)時(shí),原方程等價(jià)于,令,令,解得,即在上單調(diào)遞減,令,解得或時(shí),即在和上單調(diào)遞增,故在處取得極大值,在處取得極小值,又時(shí),可得的大致圖象,如圖所示,當(dāng)時(shí),有三個(gè)不同的根,且均不為零,綜上所述D正確;故選:BCD三填空題(本大題共4小題,每

10、小題5分,共20分,把答案填在題中的橫線上)13. 已知,若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則_.【答案】5【解析】【分析】由等差中項(xiàng)即可求解.【詳解】由等差中項(xiàng)可得,所以,故答案為:514. 函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,則_,_.【答案】 . . 【解析】【分析】由題得,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得,解方程組即得解.【詳解】由題得,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得,即,所以.故答案為:(1). (2). 【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.15. 已知數(shù)列為等差數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列不等式組,將表示為的線性和的

11、形式,由此求得的取值范圍.【詳解】依題意,設(shè),由解得,兩式相加得,即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,考查取值范圍的求法,屬于中檔題.16. 若函數(shù)f(x)x33x在區(qū)間(a,6a2)上有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在區(qū)間(a,6a2)上有最小值,所以f(x)先小于0然后再大于0,所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得:a15a2,進(jìn)而求出正確的答案【詳解】由題意可得:函數(shù) f(x)x33x,所以f(x)3x23令f(x)3x230可得,x1;在上遞增,在(-1,1)上遞減,在(1,+)上遞增

12、,因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在區(qū)間(a,6a2)上有最小值,則其最小值必為f(1),1(a,6a2)即a16a2,又結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得:f(a)a33af(1)2,且6a2a0,聯(lián)立解得:2a1故答案為2,1)【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的最值的問題,屬于中檔題四解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟)17. 已知函數(shù)在處取得極值(1)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值;(2)過點(diǎn)作曲線的切線,求此切線方程【答案】(1)是極大值,是極小值;(2);【解析】【詳解】試題分析:(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由函數(shù)在處取得極值,則得到關(guān)于的方程組,求出,可以得到函數(shù)

13、的解析式,再去判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得出函數(shù)的極大值與極小值;(2)點(diǎn)不在曲線上,先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),然后寫出切線的方程,再根據(jù)點(diǎn)在切線上,得到關(guān)于的方程,求出,從而得出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程;試題解析:(1),依題意得,即解得,令,得若,則,故在上是增函數(shù),在上是增函數(shù)若,則,故在上是減函數(shù)是極大值;是極小值(2)曲線方程為點(diǎn)不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為,則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足,故切線的方程為注意到點(diǎn)在切線上,有化簡得,解得,因此切點(diǎn)為,切線方程為考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)當(dāng)時(shí),求得,

14、當(dāng)時(shí),遞推作差得,即,得到數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)求得,得到,利用分組求和,即可求解【詳解】(1)當(dāng)時(shí),所以,當(dāng)時(shí),因?yàn)椋?,兩式作差得,即,因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,故;(2)令,則,所以數(shù)列的公差,故,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,以及數(shù)列的“分組求和”的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題19. 一杯80的熱紅茶置于20的房間里,它的溫度會(huì)逐漸下降,溫度T(單位:)

15、與時(shí)間t(單位:min)之間的關(guān)系由函數(shù)給出(1)判斷的正負(fù),并說明理由(2)的實(shí)際意義是什么?如果,你能畫出函數(shù)在時(shí)圖象的大致形狀嗎?【答案】(1)負(fù)(2)第三分鐘的水溫,平均每分鐘下降【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)的意義解釋即可.(2)根據(jù)圖像過,即可畫出大致圖象.【詳解】(1)因?yàn)榈囊饬x為在附近函數(shù)值的瞬時(shí)變化率,熱紅茶的溫度隨時(shí)間的增加而減小,故,的符號(hào)為負(fù).(2)的實(shí)際意義表示在第三分鐘附近紅茶的溫度約以每分鐘速率下降.函數(shù)的圖象過,大致圖象如下:20. 已知數(shù)列滿足,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,求數(shù)列前項(xiàng)和【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(

16、1)將式子合理變形,即可化成,從而證明是以首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,并利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等比數(shù)列與等差數(shù)列通項(xiàng)公式乘積得到,即可判斷其可運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解前n項(xiàng)和.【詳解】()證明:由題意可得:,則,又故是以首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,故(2)由(1)知【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的證明,以及錯(cuò)位相減法的運(yùn)用,屬于中檔題.對于等比數(shù)列的證明主要有兩種方法:(1)定義法,證得即可,其中為常數(shù);(2)等比中項(xiàng)法:證得即可.21. 正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足: (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)令,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,證明:對于任意的nN

17、*,都有Tn .【答案】(1)(2)見解析【解析】【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列前項(xiàng)和滿足:,所以當(dāng)時(shí),即解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,因?yàn)?,所以,解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,當(dāng)時(shí),有,所以,解得,當(dāng)時(shí),符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式,;(2)因?yàn)椋?,所以?shù)列的前項(xiàng)和為:,當(dāng)時(shí),有,所以,所以對于任意,數(shù)列的前項(xiàng)和.22. 已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若對任意,成立,求實(shí)數(shù)m的最大值【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,極小值,無極大值(2)4【解析】【分析】(1)求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值的定義即可求出極值;(2)對任意,成立,即恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得解.【小問1詳解】由,得,令,得;令,得,的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,故在處有極小值,無極大值;【小問2詳解】由及,得恒成立,令,則,由,由,所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以,因此,所以m的最大值是4

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