離散數(shù)學(xué)課堂PPT(左孝凌版)

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1、第 一 章 命 題 邏 輯1 1 命 題 及 其 表 示 法1.什 么 是 命 題命 題 ： 能 判 斷 真 假 的 陳 述 句 。命 題 的 值 叫 它 的 真 值 。 真 值 ： “ 真 ” ： 表 示 判 斷 正 確 。 記 作 True， 用 T表 示 。 “ 假 ” ： 表 示 判 斷 錯(cuò) 誤 。 記 作 False， 用 F表 示 。 例 1 判 斷 下 列 句 子 中 哪 些 是 命 題 ？ （ 1） 2是 素 數(shù) 。 （ 2） 雪 是 黑 色 的 。 （ 3） 2+3=5 （ 4） 明 年 10月 1日 是 晴 天 。 （ 5） 3能 被 2整 除 。 （ 6） 這 朵 花 真

2、 好 看 呀 ！ （ 7） 明 天 下 午 有 會(huì) 嗎 ？ （ 8） 請(qǐng) 關(guān) 上 門 ！ （ 9） X+Y5 （ 10） 地 球 外 的 星 球 上 也 有 人 。（ 11） 我 正 在 說 謊 。 2 命 題 的 符 號(hào) 化 表 示 命 題 的 符 號(hào) 化 就 是 用 符 號(hào) 表 示 命 題 。簡(jiǎn) 單 命 題 （ 或 原 子 命 題 ） ： 簡(jiǎn) 單 陳 述 句 表 示的 命 題 。 用 P， Q， R,Pi,Qi,Ri,表 示 。例 P:2是 偶 數(shù) 。 Q:雪 是 黑 色 的 。命 題 常 量 （ 或 命 題 常 元 ） ： 簡(jiǎn) 單 命 題 。命 題 變 項(xiàng) （ 或 命 題 變 元 ） ：

3、 真 值 可 以 變 化 的簡(jiǎn) 單 陳 述 句 。 不 是 命 題 。 例 ： x+y5 命 題 變 項(xiàng) 也 用 P， Q， R, Pi,Qi,Ri,表 示 。復(fù) 合 命 題 ： 由 簡(jiǎn) 單 命 題 用 聯(lián) 結(jié) 詞 聯(lián) 結(jié) 而 成 的 命 題 。 例 2 將 下 列 命 題 符 號(hào) 化 。（ 1） 3 不 是 偶 數(shù) 。（ 2） 2 是 素 數(shù) 和 偶 數(shù) 。（ 3） 林 芳 學(xué) 過 英 語 或 日 語 。（ 4） 如 果 角 A和 角 B是 對(duì) 頂 角 ， 則 角 A 等 于 角 B。解 ： （ 1） 設(shè) P： 3是 偶 數(shù) 。 P （ ： 表 示 并 非 ）（ 2） 設(shè) P： 2 是 素

4、數(shù) ； Q： 2是 偶 數(shù) 。 P Q ( :表 示 和 ) （ 3） 設(shè) P： 林 芳 學(xué) 過 英 語 ； Q： 林 芳 學(xué) 過 日 語 。P Q ( :表 示 或 )（ 4） 設(shè) P： 角 A和 角 B是 對(duì) 頂 角 ； Q： 角 A 等 于 角 B。PQ （ 個(gè) 表 示 如 果 則 ） 1 2.聯(lián) 結(jié) 詞定 義 1 2.1 設(shè) P為 任 一 命 題 ， P的 否 定 是 一 個(gè) 新 的 命 題 ， 稱 為P的 否 定 式 ， 記 作 P。 為 否 定 聯(lián) 結(jié) 詞 。 P P T F F T例 p： 3是 偶 數(shù) 。 p： 3不 是 偶 數(shù) 。 定 義 1 2.2 設(shè) P、 Q為 兩 命

5、題 ， 復(fù) 合 命 題 “ P并 且 Q”（ 或 “ P和 Q”） 稱 為 P與 Q的 合 取 式 ， 記 作 P Q， 為 合 取 聯(lián) 結(jié) 詞 。 表 示 自 然 語 言 中 的 “ 既 又 ”， “ 不 僅 而 且 ”， “ 雖 然 但 是 ”P Q P QT T TT F FF T FF F F 例 3將 下 列 命 題 符 號(hào) 化 。（ 1） 李 平 既 聰 明 又 用 功 。（ 2） 李 平 雖 然 聰 明 ， 但 不 用 功 。（ 3） 李 平 不 但 聰 明 ， 而 且 用 功 。（ 3） 李 平 不 是 不 聰 明 ， 而 是 不 用 功 。解 ： 設(shè) P： 李 平 聰 明 ；

6、 Q： 李 平 用 功 。（ 1） P Q（ 2） P Q（ 3） P Q（ 4） （ P） Q注 意 ： 不 是 見 到 “ 和 ” 、 “ 與 ” 就 用 。例 ： “ 李 文 和 李 武 是 兄 弟 ” ， “ 王 芳 和 陳 蘭 是 好 朋 友 ” 是 簡(jiǎn)單 命 題 。 定 義 1 2.3 設(shè) P、 Q為 兩 命 題 ， 復(fù) 合 命 題 “ P或 Q”稱 為 P與 Q的 析 取 式 ， 記 作 P Q， 為 析 取 聯(lián) 結(jié)詞 。P Q P QT T TT F TF T TF F F 析 取 式 P Q表 示 的 是 一 種 相 容 性 或 ， 即 允 許 P和 Q同 時(shí) 為 真 。例

7、： “ 王 燕 學(xué) 過 英 語 或 日 語 ” P Q自 然 語 言 中 的 “ 或 ” 具 有 二 義 性 ， 有 時(shí) 表 示不 相 容 的 或 。例 ： “ 派 小 王 或 小 李 中 的 一 人 去 開 會(huì) ” 。 為 排 斥性 的 或 。P： 派 小 王 去 開 會(huì) ； Q： 派 小 李 去 開 會(huì) 。（ P Q） （ P Q） ， （ P Q） （ P Q） 定 義 1 2.4 設(shè) P、 Q為 兩 命 題 ， 復(fù) 合 命 題 “ 如 果 P，則 Q”稱 作 P與 Q的 蘊(yùn) 涵 式 ， 記 作 PQ， 為 蘊(yùn) 涵 聯(lián)結(jié) 詞 。P Q P QT T TT F FF T TF F T 在

8、PQ中 ， Q是 P的 必 要 條 件 ， P是 Q的 充 分 條 件 。表 示 自 然 語 言 “ 只 要 P就 Q” ，“ P僅 當(dāng) Q”，“ 只 有 Q， 才 P”注 意 ： 1.在 自 然 語 言 中 ， “ 如 果 P， 則 Q”中 的 P與 Q往 往 有 某 種 內(nèi) 在 的 聯(lián) 系 ， 但 在 數(shù) 理 邏 輯 中 ， PQ中 的 P與 Q不 一 定 有 內(nèi) 在 的 聯(lián) 系 。2.在 數(shù) 學(xué) 中 ， “ 如 果 P， 則 Q”表 示 P為 真 ， Q為 真 的邏 輯 關(guān) 系 ， 但 在 數(shù) 理 邏 輯 中 ， 當(dāng) P為 假 時(shí) PQ為 真 。 例 4將 下 列 命 題 符 號(hào) 化 。

9、(1)只 要 不 下 雨 ， 我 就 騎 自 行 車 上 班 。(2)只 有 不 下 雨 ， 我 才 騎 自 行 車 上 班 。(3)若 2+2 4， 則 太 陽 從 東 方 升 起 。(3)若 2+24， 則 太 陽 從 東 方 升 起 。(4)若 2+2 4， 則 太 陽 從 西 方 升 起 。(5)若 2+24， 則 太 陽 從 西 方 升 起 。解 ： 在 （ 1） 、 （ 2） 中 ， 設(shè) P： 天 下 雨 ； Q： 我 騎 自 行 車 上班 。（ 1） PQ （ 2） Q P在 （ 3） （ 6） 中 ， 設(shè) P： 2+2 4； Q： 太 陽 從 東 方 升 起 ；R: 太 陽 從

10、 西 方 升 起 。（ 1） PQ， 真 值 為 T （ 2） PQ， 真 值 為 T（ 3） PR ， 真 值 為 F （ 4） PR 真 值 為 T 定 義 1-2.5 設(shè) P、 Q為 兩 命 題 ， 復(fù) 合 命 題 “ P當(dāng) 且 僅當(dāng) Q”稱 作 P與 Q的 等 價(jià) 式 ， 記 作 P Q， 為等 價(jià) 聯(lián) 結(jié) 詞 。P Q表 示 P與 Q互 為 充 分 必 要 條 件 。 P Q P QT T TT F FF T FF F T 例 5將 下 列 命 題 符 號(hào) 化 。（ 1） 2+2 4， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 3是 奇 數(shù) 。（ 2） 2+2 4， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 3不 是 奇 數(shù) 。（ 3

11、） 2+24， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 3是 奇 數(shù) 。（ 4） 2+24， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 3不 是 奇 數(shù) 。（ 5） 兩 圓 的 面 積 相 等 ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 它 們 的 半 徑 相 同 。（ 6） 兩 角 相 等 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 它 們 是 對(duì) 頂 角 。解 ： （ 1） （ 4） 設(shè) P： 2+2 4； Q： 3是 奇 數(shù) 。（ 1） P Q 真 命 題（ 2） P Q 假 命 題（ 3） P Q 假 命 題（ 4） P Q 真 命 題（ 5） 設(shè) P： 兩 圓 的 面 積 相 等 ； Q： 兩 圓 的 面 積 相 同 。P Q 真 命 題（ 6） 設(shè) P： 兩 角 相 等 ； Q：

12、它 們 是 對(duì) 頂 角 。 P Q 假 命 題 4.5種 聯(lián) 結(jié) 詞 的 優(yōu) 先 級(jí) 順 序 ： ， ， ， ， 1-3命 題 公 式 與 翻 譯 1.命 題 公 式命 題 公 式 ： 由 命 題 常 量 、 命 題 變 元 、 聯(lián) 結(jié) 詞 、 括 號(hào) 等 組 成 的 符 號(hào) 串 。 命 題 公 式 中 的 命 題 變 元 稱 作 命 題 公 式 的 分 量 。 定 義 1 3.1 （ 1） 單 個(gè) 命 題 常 量 或 命 題 變 元 ,Q,R,Pi,Qi,Ri,， F， T是 合 式 公 式 。（ 2） 如 果 A是 合 式 公 式 ， 則 （ A） 也 是 合 式 公 式 。（ 3） 如

13、果 A、 B是 合 式 公 式 ， 則 （ A B） 、 （ A B） 、 （ AB） 、 （ A B） 也 是 合 式 公 式 。（ 4） 只 有 有 限 次 地 應(yīng) 用 （ 1） （ 3） 組 成 的 符 號(hào)串 才 是 合 式 公 式 。例 ： P, P, ( P), (0 P),P(PQ), (P Q) R) ( R)是 公 式 ； PQR, (P), PQ)不 是 公 式 。 2.翻 譯 翻 譯 就 是 把 自 然 語 言 中 的 有 些 句 子 符 號(hào) 化 。復(fù) 合 命 題 符 號(hào) 化 的 基 本 步 驟 ：（ 1） 分 析 出 各 簡(jiǎn) 單 命 題 ， 將 它 們 符 號(hào) 化 。（

14、2） 使 用 合 適 的 聯(lián) 結(jié) 詞 ， 把 簡(jiǎn) 單 命 題 逐 個(gè) 聯(lián) 結(jié) 起 來 ，組 成 復(fù) 合 命 題 的 符 號(hào) 化 表 示 。 例 將 下 列 命 題 符 號(hào) 化 。（ 1） 小 王 是 游 泳 冠 軍 或 是 百 米 冠 軍 。 P Q（ 2） 小 王 現(xiàn) 在 在 宿 舍 或 在 圖 書 館 。 P Q （ 排 斥 性 或 ， 不 可 能 同 時(shí) 為 真 ）(3)選 小 王 或 小 李 中 的 一 人 當(dāng) 班 長(zhǎng) 。（ P Q） （ P Q） 或 （ P Q）（ 排 斥 性 或 ， 可 能 同 時(shí) 為 真 ）P Q 原 命 題 P Q （ P Q）T T F T FT F T F

15、 TF T T F TF F F T F (4)如 果 我 上 街 ， 我 就 去 書 店 看 看 ， 除 非 我 很 累 。 R(PQ) 或 （ R P） Q （ 除 非 ： 如 果 不 ）(5)王 一 樂 是 計(jì) 算 機(jī) 系 的 學(xué) 生 ， 他 生 于 1968年 或 1969年 ， 他是 三 好 學(xué) 生 。 P （ Q R） S（ 6） 我 們 要 做 到 身 體 好 、 學(xué) 習(xí) 好 、 工 作 好 ， 為 祖 國(guó) 四 化 建設(shè) 而 奮 斗 。A： 我 們 要 做 到 身 體 好B： 我 們 要 做 到 學(xué) 習(xí) 好C： 我 們 要 做 到 工 作 好P： 我 們 要 為 祖 國(guó) 四 化

16、建 設(shè) 面 奮 斗 。命 題 符 號(hào) 化 形 式 為 ： （ A B C） P 1 4真 值 表 與 等 價(jià) 公 式1.真 值 表定 義 1 4.1含 n個(gè) （ n1） 個(gè) 命 題 變 元 （ 分 量 ） 的 命 題 公 式 ，共 有 2n組 真 值 指 派 。 將 命 題 公 式 A在 所 有 真 值 指 派 之 下 取值 的 情 況 列 成 表 ， 稱 為 A的 真 值 表 。構(gòu) 造 真 值 表 的 步 驟 ：(1)找 出 命 題 公 式 中 所 含 的 所 有 命 題 變 元 P1,P2,Pn。 列 出所 有 可 能 的 真 值 指 派 。(2)對(duì) 應(yīng) 每 種 真 值 指 派 ， 計(jì) 算

17、 命 題 公 式 的 各 層 次 的 值 ， 直 到 最后 計(jì) 算 出 命 題 公 式 的 值 。 例 1 構(gòu) 造 求 P Q的 真 值 表 。P Q P P QT T F TT F F FF T T TF F T T 例 2 給 出 （ P Q） P的 真 值 表 。P Q P Q P （ P Q） PT T T F FT F F F FF T F T FF F F T F 例 3 給 出 （ P Q） （ P Q） 的 真 值 表 。P Q P Q P Q P Q （ P Q） （ P Q）T T F F T F TT F F T F F FF T T F F F FF F T T F T

18、 T 例 4 給 出 （ P Q） （ P Q） 的 真 值 表 。P Q P Q （ P Q） P Q P Q （ P Q） （ P Q）T T T F F F F TT F F T F T T TF T F T T F T TF F F T T T T T 由 以 上 例 子 可 以 看 出 有 一 類 命 題 公 式 不 論 各 命 題 變 元 作 何 種 批 派 ， 其 值 永 為真 （ 假 ） ， 我 們 把 這 類 公 式 記 為 T（ F） 。 如 例 4和 例 2 2 等 價(jià) 公 式 從 真 值 表 中 可 以 看 到 ， 有 些 命 題 公 式 在 分 量 的 各種 指 派

19、下 ， 其 對(duì) 應(yīng) 的 真 值 都 完 全 相 同 ， 如 P Q與PQ的 對(duì) 應(yīng) 真 值 相 同 。P Q P P Q PQT T F T TT F F F FF T T T TF F T T T（ P Q） （ P Q） 與 P Q對(duì) 應(yīng) 的 真 值 相 同 。 定 義 1 4.2 給 定 兩 個(gè) 命 題 公 式 A和 B， 設(shè) P1，P2， ， Pn為 所 有 出 現(xiàn) 于 A和 B中 的 原 子 變 元 ,若 給 P1，P2， ， Pn任 一 組 真 值 指 派 ,A和 B的 真 值 都 相 同 ,則稱 A和 B是 等 價(jià) 的 或 邏 輯 相 等 。 記 作 A B。例 5 證 明 P

20、Q （ PQ） （ QP） 證 明 列 出 真 值 表P Q PQ QP (PQ） ( QP） P QT T T T T TT F F T F FF T T F F FF F T T T T 24個(gè) 重 要 的 等 價(jià) 式P P 雙 重 否 定 律P P P 等 冪 律P P PP Q Q P 交 換 律P Q Q P（ P Q） R P （ Q R） 結(jié) 合 律（ P Q） R P （ Q R）P （ Q R） （ P Q） （ P R） 分 配 律P （ Q R） （ P Q） （ P R） （ P Q） P Q 德 摩 根 律 （ P Q） P Q P （ P Q） P 吸 收 律P （

21、 P Q） PP T T 零 律P F FP F P 同 一 律P T PP P T 排 中 律P P F 矛 盾 律PQ P Q 蘊(yùn) 涵 等 價(jià) 式P Q （ PQ） （ QP） 等 價(jià) 等 價(jià) 式PQ Q P 假 言 易 位P Q P Q 等 價(jià) 否 定 等 價(jià) 式（ PQ） （ P Q） P 歸 謬 論 其 中 P、 Q和 R代 表 任 意 的 命 題 公 式 。 例 6 驗(yàn) 證 吸 收 律 P （ P Q） P和 P （ P Q） PP Q P Q P （ P Q） P Q P （ P Q）T T T T T TT F F T T TF T F F T FF F F F F F 定 義

22、 1-4.3 如 果 X是 合 式 公 式 A的 一 部 分 ,且 X本 身 也 是 一個(gè) 合 式 公 式 ,則 稱 X為 公 式 A的 子 公 式 。定 理 1 4.1如 果 X是 合 式 公 式 A的 子 公 式 ， 若 X Y， 如 果將 A中 的 X用 Y來 置 換 ， 所 得 到 公 式 B與 公 式 A等 價(jià) ， 即 A B。 證 明 因 為 在 相 應(yīng) 變 元 的 任 一 種 指 派 下 ， X與 Y的 真 值 相 同 ，故 以 Y取 代 X后 ， 公 式 B與 公 式 A在 相 應(yīng) 的 指 派 下 ， 其 真 值 必 相同 ， 故 A B。 滿 足 定 理 1 4.1的 置 換

23、 稱 為 等 價(jià) 置 換 （ 等 價(jià) 代 換 ） 例 7 證 明 PQ （ P Q）證 明 PQ P Q， （ 根 據(jù) 蘊(yùn) 涵 等 價(jià) 式 ） P Q （ P q） ， （ 德 摩 根 律 ） 即 Pq （ P q） 例 8 證 明 P(QR) (P Q) R證 明 P(QR) P (QR) （ 蘊(yùn) 涵 等 價(jià) 式 ） P ( Q R) （ 蘊(yùn) 涵 等 價(jià) 式 ） ( P Q) R （ 結(jié) 合 律 ） (P Q) R （ 德 摩 根 律 ） (P Q) R （ 蘊(yùn) 涵 等 價(jià) 式 ） 例 9 證 明 P (P Q) (P Q)證 明 P P 1 (同 一 律 ) P (Q Q) （ 排 中 律

24、 ） (P Q) (P Q) （ 分 配 律 ） 練 習(xí) 1.證 明 Q ( ( P Q) P) T; 2.證 明 (P P) ( (Q Q) R) F 3.證 明 (PQ) P P 1,證 明 Q ( ( P Q) P) Q ( ( P P) (P Q) ) （ 分 配 律 ） Q ( F (P Q) ) （ 矛 盾 律 ） Q (P Q) （ 同 一 律 ） Q ( P Q) （ 德 摩 根 律 ） (Q Q) P （ 結(jié) 合 律 ） T P （ 排 中 律 ） T （ 零 律 ） 2.證 明 (P P) ( (Q Q) R) T( (Q Q) R) （ 排 中 律 ） T(F R) （

25、矛 盾 律 ） TF （ 零 律 ） T F （ 蘊(yùn) 涵 等 值 式 ） F F F （ 等 冪 律 ） 3. 證 明 (PQ) P ( P Q) P （ 蘊(yùn) 涵 等 價(jià) 值 式 ） P （ 吸 收 律 ） 1-5 重 言 式 與 蘊(yùn) 涵 式 定 義 1 5.1 給 定 一 命 題 公 式 ， 若 無 論 對(duì) 分 量 作 什 么 樣 的 指派 ， 其 對(duì) 應(yīng) 的 真 值 永 為 T， 則 稱 該 命 題 公 式 為 重 言 式 或 永 真 式 。 定 義 1 5.2 給 定 一 命 題 公 式 ， 若 無 論 對(duì) 分 量 作 什 么 樣 的 指派 ， 其 對(duì) 應(yīng) 的 真 值 永 為 F， 則

26、稱 該 命 題 公 式 為 矛 盾 式 或 永 假 式 。 定 理 1 5.1 任 何 兩 個(gè) 重 言 式 的 合 取 或 析 取 ， 仍 然 是 一 個(gè)重 言 式 。 定 理 1 5.2 一 個(gè) 重 言 式 ， 對(duì) 同 一 分 量 ， 都 用 任 何 合 式 公式 置 換 ， 其 結(jié) 果 仍 為 一 重 言 式 。 證 明 由 于 重 言 式 的 真 值 與 分 量 的 指 派 無 關(guān) ， 幫 對(duì) 同 一 分量 以 任 何 合 式 公 式 置 換 后 ， 重 言 式 的 真 值 仍 永 為 真 。 對(duì) 于 矛 盾 式 也 有 類 似 于 定 理 1 5.1和 定 理 5 1.2的 結(jié) 果 。

27、 例 1 證 明 （ （ P S） R） （ （ P S） R）為 重 言 式 。證 明 因 為 P P T， 用 （ （ P S） R） 置 換P得 （ （ P S） R） （ （ P S） R） T 定 理 1 5.3 設(shè) A 、 B為 兩 命 題 公 式 A B ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) AB 為一 個(gè) 重 言 式 。證 明 若 A B ， 則 A、 B有 相 同 的 真 值 ， 即 有 A B 永 為 T。 若 A B 為 重 言 式 ， 則 A B 永 為 T， 故 A、 B的 真 值 相同 ， 即 A B 。 例 2 證 明 （ P Q） （ P Q） 證 明 做 （ P Q） （ P

28、Q） 的 真 值 表 。P Q P Q P Q （ P Q） P Q （ P Q） P QT T T F F F F TT F F F T T T TF T F T F T T TF F F T T T T T由 以 上 真 值 表 可 知 ， （ P Q） P Q 為 重 言 式 ，根 據(jù) 定 理 1 5.3得 （ P Q） （ P Q） 定 義 1 5.3 當(dāng) 且 僅 當(dāng) P Q 是 重 言 式 時(shí) ， 我 們 稱“P蘊(yùn) 涵 Q”， 并 記 作 P Q 。做 PQ QP， P Q， Q p 的 真 值 表P Q P Q PQ Q P QP P QT T F F T T T TT F F T

29、 F F T TF T T F T T F FF F T T T T T T由 此 得 PQ Q P， QP P Q， 因 此 要P Q， 只 要 證 明 Q P， 反 之 亦 然 。 要 證 明 P Q， 即 證 PQ 是 重 言 式 ， 對(duì) 于 PQ 來 說 ，除 P的 真 值 取 T， Q的 真 值 取 F這 樣 一 種 指 派 時(shí) ， PQ 的 真 值為 F外 ， 其 余 情 況 PQ 的 真 值 為 T， 故 要 征 P Q， 只 要 對(duì) 條件 PQ 的 前 件 P， 指 定 真 值 為 T， 若 由 此 指 出 Q的 真 值 為 T，則 PQ 為 重 言 式 ， 即 P Q 成 立

30、 ； 同 理 ， 如 對(duì) 條 件 命 題PQ 中 ， 假 定 后 件 Q的 真 值 為 F， 若 由 此 推 出 P的 真 值 為 F，即 推 證 了 Q P。 故 P Q成 立 。 即 若 P為 T時(shí) ， 推 出 Q為 T 或 若 Q為 F時(shí) ， 推 出 P為 F 則 P Q。 例 1 推 證 Q （ PQ ） P證 法 1 假 定 Q （ PQ ） 為 T， 則 Q為 T， 且 PQ 為T。 所 以 Q為 F， PQ 為 T， 所 以 P為 F， 故 P為 T。證 法 2 假 定 P為 F， 則 P為 T， 若 Q為 F， 則 PQ 為 F， Q （ PQ ） 為 F， 若 Q為 T， 則

31、 Q為 F， Q （ PQ ） 為 F， 所 以 Q （ PQ ） P 常 用 的 蘊(yùn) 涵 式 如 下 ： P Q P P Q Q P P Q P PQ Q PQ （ PQ） P （ PQ） Q P （ PQ） Q Q （ PQ ） p P （ P Q） Q （ PQ ） （ QR） PR （ P Q） （ PR） （ QR） R （ PQ ） （ RS） （ P R） （ Q S）1. （ PQ） （ QR） （ PR） 定 理 1 5.4 設(shè) P、 Q為 任 意 兩 個(gè) 命 題 公 式 ， P Q 的 充 分必 要 條 件 是 P Q 且 Q P證 明 若 P Q， 則 PQ為 重 言 式

32、 。 因 為 P Q （ P Q） （ QP） ， 故 PQ為 T， 且 QP 為 T， 因 為 P Q 且 QP成 立 。 反 之 ， 若 P Q 且 Q P， 則 PQ為 T， 且 QP 為 T， 因 此 P Q （ PQ） （ QP） 為 T， 即 P Q 這 個(gè) 定 理 也 可 以 作 為 兩 個(gè) 公 式 等 價(jià) 的 定 義 。 蘊(yùn) 涵 的 幾 個(gè) 常 用 的 性 質(zhì) ：（ 1） 設(shè) A、 B、 C為 合 式 公 式 ， 若 A B且 A為 重 言 式 ， 則 B也是 重 言 式 。 證 明 因 為 AB 永 為 T， 所 以 當(dāng) A為 T時(shí) ， B必 T。（ 2） 若 A B， B

33、C， 則 A C 證 明 由 A B， B C 得 AB ， BC 為 重 言 式 所 以 （ AB） （ BC） 為 重 言 式 ， 根 據(jù) （ PQ ） （ QR） PR 所 以 （ AB） （ BC） AC， 由 性 質(zhì) （ 1） 得 ： AC為 重 言 式 ， 即 A C （ 3） A B， 且 A C， 那 么 A （ B C） 證 明 由 假 設(shè) 知 AB ， AC為 重 言 式 。 設(shè) A這 T， 則 B、 C為 T， 故 B C為 T， 因 此 A（ B C） 為 T， 若 A為 F， 則 A（ B C） 為 T， 所 以 A （ B C） （ 4） 若 A B 且 C B ，

34、 則 A C B 證 明 因 為 AB 為 T， CB為 T， 故 （ A B） （ C B） 為 T， 則 （ A C） B 為 T， 即 （ A C） B為 T， 即 （ A C） B為 T， 所 以 （ A C） B 1 6 其 他 聯(lián) 結(jié) 詞 定 義 1 6.3 設(shè) P、 Q是 兩 個(gè) 命 題 公 式 ， 復(fù) 合 命 題 P Q稱作 P和 Q的 “ 與 非 ” 。PQ （ P Q） P Q P QT T FT F TF T TF F T 聯(lián) 結(jié) 詞 “ ”的 幾 個(gè) 性 質(zhì) ：（ 1） PP （ P P） p（ 2） （ PQ） （ PQ） （ PQ） P Q（ 3） （ PP） （

35、QQ） P Q （ P q） P Q 定 義 1 6.3 設(shè) P、 Q是 兩 個(gè) 命 題 公 式 ， 復(fù) 合 命 題 P Q稱 作 P和 Q的 “ 或 非 ” 。P Q （ P Q） P Q P QT T FT F FF T FF F T 聯(lián) 結(jié) 詞 “ ”的 幾 個(gè) 性 質(zhì) ：（ 1） P P （ P P） p（ 2） （ P Q） （ PQ） （ PQ） P Q（ 3） （ PP） （ QQ） P Q P Q當(dāng) 有 n個(gè) 命 題 變 元 時(shí) ， 可 構(gòu) 成 22 n種 不 等 價(jià) 的 命 題公 式 ， 如 n 2時(shí) ， 有 16種 不 等 價(jià) 的 命 題 公 式 。 ， 見 27頁 表 1

36、 6.5。 最 小 聯(lián) 結(jié) 詞 組 ： 對(duì) 于 任 何 一 個(gè) 命 題 公 式 ， 都 能 由 僅 含 這 些 聯(lián)結(jié) 詞 的 命 題 公 式 等 價(jià) 代 換 。由 于 （ 1） （ PQ） （ PQ） （ QP） （ 2） （ PQ） P Q （ 3） P Q （ P Q） （ 4） P Q （ P q） 故 由 “ ”、 “ ”、 “ ”， “ ”、 “ ”這 五 個(gè) 聯(lián) 結(jié)詞 組 成 的 命 題 公 式 ， 必 可 以 由 ， 或 ， 組 成 的 命題 公 式 所 替 代 。 1 7 對(duì) 偶 與 范 式 定 義 1 7.1在 給 定 的 命 題 公 式 A中 ， 將 換 成 ， 換 成 ，

37、若 有 特 殊 變 元 F和 T亦 相 互 取 代 ， 所 得 命 題 公 式 A*稱 為 A的 對(duì) 偶式 。 A和 A*互 為 對(duì) 偶 式 。例 1: P Q與 P Q, (P Q )與 (P Q) ( P Q) R與 (P Q) R (P T) Q 與 (P F) Q 均 為 對(duì) 偶 式 .例 2： PQ、 P Q的 對(duì) 偶 式 。 解 ： PQ (P Q )， PQ的 對(duì) 偶 式 為 (P Q) P Q （ P Q） ， P Q的 對(duì) 偶 式 為 (P Q ) 定 理 1 7.1設(shè) A和 A*互 為 對(duì) 偶 式 , P1,P2,Pn， 是 出 現(xiàn) 在A和 A*中 的 全 部 的 命 題

38、變 元 ,則 A(P1,P2,Pn) A*( P1, P2, Pn) A( P1, P2, Pn) A*(P1, P2, Pn)例 :設(shè) A(P,Q,R) P ( Q R) 得 :A*(P,Q,R) P ( Q R) (1)由 知 : A(P,Q,R) P (Q R) 由 知 : A*( P, Q, R) P (Q R)所 以 : A(P,Q,R) A*( P, Q, R)類 似 地 ,有 A( P, Q, R) A*(P,Q, R) 定 理 1 7.2設(shè) P1,P2,Pn 是 出 現(xiàn) 有 命 題 公 式 A和 B中 的 所 有命 題 變 元 ， 若 A B， 則 A* B*。 證 明 ： 因

39、 為 A B， 即 A(P1,P2,Pn) B(P1,P2,Pn) 是 重 言 式 ， A( P1, P2, Pn) B( P1, P2, Pn) 是 重言 式 ， 故 A( P1, P2, Pn) B( P1, P2, Pn) 由 定 理 1 7.1得 A*(P1,P2,Pn) B*(P1,P2,Pn) 因 此 A* B* 例 4 如 果 A(P,Q,R) 是 P（ Q （ RP） ） ， 求 它 的 對(duì) 偶 式A*(P,Q,R) 。 并 求 與 A及 A*等 價(jià) ， 但 僅 包 含 聯(lián) 結(jié) 詞 “ ”、 “ ”、“ ”的 公 式 。解 ： 因 A(P,Q,R) 是 P（ Q （ RP） ）

40、 故 A*(P,Q,R) 是 P （ Q （ RP） ） 但 P（ Q （ RP） ） P（ Q （ R P） ） （ P （ Q （ R P） ） ） 所 以 P （ Q （ RP） ） (P （ Q （ R P） ） ) 定 義 1 7.2 一 個(gè) 命 題 公 式 稱 為 合 取 范 式 ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 它 具 有形 式 A1 A2 An（ n1） 。 其 中 A1， A2， ， An 都 是 命題 變 元 或 其 否 定 所 組 成 的 析 取 式 。例 P (P Q) (P P ) ( P R) 定 義 1 7.3 一 個(gè) 命 題 公 式 稱 為 析 取 范 式 ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng)

41、 它 具 有形 式 A1 A2 An（ n1） 。 其 中 A1， A2， ， An 都 是 命題 變 元 或 其 否 定 所 組 成 的 合 取 式 。例 (P Q R) (P Q) (P Q R) 求 合 取 范 式 或 析 取 范 式 的 步 驟 ：（ 1） 將 公 式 中 的 聯(lián) 結(jié) 詞 化 歸 成 、 、 。（ 2） 將 消 去 或 內(nèi) 移 。（ 3） 利 用 分 配 律 、 交 換 律 求 合 取 范 式 或 析 取 范 式 。 （ 求 合 取 范 式 ： 對(duì) ； 求 析 取 范 式 ： 對(duì) ）注 意 任 何 命 題 的 析 取 范 式 和 合 取 范 式 都 不 是 唯 一 的

42、。 例 求 下 面 命 題 公 式 的 合 取 范 式 和 析 取 范 式 。（ （ P Q） R） P解 （ 1） 求 合 取 范 式（ （ P Q） R） P （ （ P Q） R） P ( (P Q) R) P ( P Q) R) P ( ( P Q) R) P ( P Q) R) P (P Q) R) P (P Q P) ( R P) （ P Q） ( R P) (2)求 析 取 范 式(P Q) R) P (P R) (Q R) P P （ P R） (Q R) P (Q R) 練 習(xí) ： 求 下 面 命 題 公 式 的 合 取 范 式 和 析 取 范 式 。 （ 1） 求 合 取

43、范 式(PQ) R ( P Q) R ( P Q) R) (R( P Q) ( ( P Q) R) ( R ( P Q) (P Q) R) ( R P Q) (P R) ( Q R) ( R P Q)（ 2） 求 析 取 范 式(P Q) R) ( R P Q) （ (P Q) ( R P Q)） (R ( R P Q) (P Q) R) (P Q) P) (P Q) Q) (R R) (R P) (R Q) (P Q R) (P P Q) (P Q Q) (R R) ( P R) (Q R) (P Q R) ( P R) (Q R) 定 義 1 7.4 n個(gè) 命 題 變 元 的 合 取 式

44、， 稱 作 布 爾 合 取 或 小項(xiàng) ， 其 中 變 元 與 它 的 否 定 不 能 同 時(shí) 存 在 ， 但 兩 者 必 須 出現(xiàn) 且 僅 出 現(xiàn) 一 次 。 n個(gè) 命 題 變 元 共 有 2n個(gè) 小 項(xiàng) 。例 兩 個(gè) 命 題 變 元 P和 Q， 其 小 項(xiàng) 為 ： P Q， P Q， P Q， P Q 3個(gè) 命 題 變 項(xiàng) P、 Q、 R可 形 成 8個(gè) 小 項(xiàng) ：m000 P Q Rm001 P Q Rm010 P Q R m011 P Q Rm100 P Q R M101 P Q R m110 P Q R m111 P Q R 小 項(xiàng) 的 性 質(zhì) ：（ 1） 每 一 個(gè) 小 項(xiàng) 當(dāng) 其

45、真 值 指 派 與 編 碼 相 同 時(shí) ， 其 真 值 為 T，其 余 均 為 F。（ 2） 任 意 兩 個(gè) 不 同 小 項(xiàng) 的 合 取 永 為 F。（ 3） m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 T 定 義 1 7.3 對(duì) 于 給 定 的 命 題 公 式 ， 如 果 有 一 個(gè) 等價(jià) 公 式 ， 它 僅 由 小 項(xiàng) 的 析 取 所 組 成 ， 則 該 等 價(jià) 式 稱作 原 式 的 主 析 取 范 式 。 定 理 1 7.3 在 真 值 表 中 ， 一 個(gè) 公 式 的 真 值 為 T的指 派 所 對(duì) 小 項(xiàng) 的 析 取 ， 即 為 此 公 式 的 主 析 取 范 式 。 例 6給 定

46、 P Q， P Q和 （ P Q） ， 求 這 些 公 式 的 主析 取 范 式 。解 ： 真 值 表 如 下 ：P Q P Q P Q （ P Q）T T T T FT F F T TF T T T TF F T F T故 P Q （ P Q） （ P Q） （ P Q） P Q （ P Q） （ P Q） （ P Q） （ P Q） （ P Q） （ P Q） （ P Q） 例 7 設(shè) 一 公 式 A的 真 值 表 如 下 ， 求 公 式 A的 主 析 取 范 式 。P Q R AT T T TT T F FT F T FT F F TF T T FF T F FF F T FF F F

47、T解 公 式 A的 主 析 取 范 式 為 ：A （ P Q R） （ P R R） （ P Q R） 例 8 求 （ P Q） （ P R） （ Q R） 的 主 析 取范 式 。解 ： 原 式 （ P Q （ R R） ） （ P R （ Q Q） ） （ Q R （ P p） ） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） 例 9求 P （ （ PQ） （ Q P） ） 的 主 析 取范 式 。解 ： 原 式 P （ （ P Q） （ Q P） ） P

48、（ （ P Q P） （ Q Q P） ） P （ Q P） P （ Q Q） （ P Q） （ P Q） （ P Q） （ P Q） 求 主 析 取 范 式 的 步 驟 ：（ 1） 求 析 取 范 式 。（ 2） 去 掉 永 假 的 析 取 項(xiàng) 。（ 3） 去 掉 重 復(fù) 的 合 取 項(xiàng) 、 合 并 相 同 變 元 。（ 4） 對(duì) 合 取 項(xiàng) 補(bǔ) 入 沒 出 現(xiàn) 的 命 題 變 元 。 （ P P） 定 義 1 7.6 n個(gè) 命 題 變 元 的 析 取 式 ， 稱 作 布 爾 析 取或 大 項(xiàng) ， 其 中 變 元 與 它 的 否 定 不 能 同 時(shí) 存 在 ， 但 兩 者必 須 出 現(xiàn) 且

49、僅 出 現(xiàn) 一 次 。 n個(gè) 命 題 變 元 共 有 2n個(gè) 小 項(xiàng) 。例 兩 個(gè) 命 題 變 元 P和 Q， 其 小 項(xiàng) 為 ： P Q，P Q， P Q， P Q 3個(gè) 命 題 變 項(xiàng) P、 Q、 R可 形 成 8個(gè) 大 項(xiàng) ：M000 P Q RM001 P Q RM010 P Q R M011 P Q RM100 P Q R M101 P Q R M110 P Q R M111 P Q R 大 項(xiàng) 的 性 質(zhì) ：（ 1） 每 一 個(gè) 大 項(xiàng) 當(dāng) 其 真 值 指 派 與 編 碼 相 同 時(shí) ， 其 真值 為 F， 其 余 均 為 T。（ 2） 任 意 兩 個(gè) 不 同 大 項(xiàng) 的 析 取

50、永 為 T。（ 3） M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 F 定 義 1 7.7 對(duì) 于 給 定 的 命 題 公 式 ， 如 果 有 一 個(gè) 等 價(jià) 公式 ， 它 僅 由 大 項(xiàng) 的 合 取 所 組 成 ， 則 該 等 價(jià) 式 稱 作 原 式的 主 合 取 范 式 。 定 理 1 7.4 在 真 值 表 中 ， 一 個(gè) 公 式 的 真 值 為 F的 指派 所 對(duì) 大 項(xiàng) 的 合 取 ， 即 為 此 公 式 的 主 合 取 范 式 。 例 10 利 用 真 值 表 求 （ P Q） （ P R） 的 主 合 取 范 式 與主 析 取 范 式 。P Q R P Q P R （ P Q）

51、 （ P R）T T T T F TT T F T F TT F T F F FT F F F F FF T T F T TF T F F F FF F T F T TF F F F F F 主 合 取 范 式 ： （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R）主 析 取 范 式 ： （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） 求 主 合 取 范 式 的 步 驟 ：（ 1） 求 合 取 范 式 。（ 2） 去 掉 所 有 為 T的 合 取 項(xiàng) 。（ 3） 合 并 相 同 的 析 取 項(xiàng) 和 變 元 。（ 4） 補(bǔ) 入 沒 出 現(xiàn) 的 命 題

52、變 元 。 （ 即 添 加 P P） 例 11 求 （ P Q） （ P R） 的 主 合 取 范 式 。解 ： 原 式 （ P Q） P） （ （ P Q） R） （ P p） （ Q p） （ P R） （ Q R） （ Q p） （ P R） （ Q R） （ Q P （ R R） ） （ P R （ Q Q） ） （ Q R （ P P） ） （ Q P R） （ Q P R） （ P R Q） （ P R Q） （ Q R P） （ Q R P） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） 用 表 示 小 項(xiàng) 的 析 取用 表 示 大 項(xiàng) 的 合 取例 如

53、 （ P Q） （ P R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） M000 M010 M100 M101 0,2,4,5 m 001 m011 m110 m111 1,3,6,7 1-8推 理 理 論推 理 是 從 前 提 推 出 結(jié) 論 的 思 維 過 程 ,前 提 是 指 已知 的 命 題 公 式 ,結(jié) 論 是 從 前 提 出 發(fā) 應(yīng) 用 推 理 規(guī) 則 推 出來 的 命 題 公 式 。 前 提 可 以 是 多 個(gè) 。定 義 1 8.1設(shè) H1， H2， ， H n ， C是 命 題 公 式 ， 若（ H1 H2 Hn） C為 重 言 式 ,則 稱 C是

54、 一 組 前 提H1,H2,Hn的 有 效 結(jié) 論 。 記 作 ： H1 H2 Hn C 真 值 表 法推 理 方 法 直 接 證 法 間 接 證 法 （ 1） 真 值 表 法 若 H1， H2， ， H n 都 為 T的 行 ， C也 為 真 ；或 若 C為 假 的 行 ， H1， H2， ， H n 中 至 少 有 一 個(gè) 為 假則 H1 H2 Hn C 成 立 。 例 1 一 份 統(tǒng) 計(jì) 表 格 的 錯(cuò) 誤 或 者 是 由 于 材 料 不 可 靠 ， 或 者 是 由于 計(jì) 算 有 錯(cuò) 誤 ； 這 份 統(tǒng) 計(jì) 表 格 的 錯(cuò) 誤 不 是 由 于 材 料 不 可 靠 ，所 以 這 份 統(tǒng) 計(jì)

55、 表 格 是 由 于 計(jì) 算 有 錯(cuò) 誤 。解 ： 設(shè) P： 統(tǒng) 計(jì) 表 格 的 錯(cuò) 誤 是 由 于 材 料 不 可 靠 。 Q： 統(tǒng) 計(jì) 表 格 的 錯(cuò) 誤 是 由 于 計(jì) 算 不 可 靠 。 前 提 是 ： P Q， P ， 結(jié) 論 是 ： Q ， 即 證 明 （ P Q） P QP Q P Q PT T T FT F T FF T T TF F F T 故 （ P Q） P Q 例 2 如 果 張 老 師 來 了 ， 這 個(gè) 問 題 可 以 得 到 解 答 ， 如果 李 老 師 來 了 ， 這 個(gè) 問 題 也 可 以 得 到 解 答 ， 總 之 張老 師 或 李 老 師 來 了 ， 這

56、個(gè) 問 題 就 可 以 得 到 解 答 。解 ： 設(shè) P： 張 老 師 來 了 。 Q： 李 老 師 來 了 。 R： 這 個(gè) 問 題 可 以 得 到 解 答 。 本 題 可 譯 為 ： （ P R） （ QR） （ P Q） R P Q R PR QR P QT T T T T TT T F F F TT F T T T TT F F F T TF T T T T TF T F T F TF F T T T FF F F T T F （ 2） 直 接 證 法 就 是 由 一 組 前 提 ， 利 用 一 些 公 認(rèn) 的 推 理 規(guī) 則 ， 根 據(jù) 已 知 的 等價(jià) 公 式 或 蘊(yùn) 涵 公 式

57、， 推 出 有 效 結(jié) 論 。 P規(guī) 則 ： 前 提 在 推 導(dǎo) 過 程 中 隨 時(shí) 可 以 引 用 。 T規(guī) 則 ： 已 經(jīng) 推 出 的 公 式 在 以 后 的 推 導(dǎo) 過 程 中 可 隨 時(shí) 引 用 。 常 用 蘊(yùn) 涵 式 見 43頁 表 1 8.3 例 1 證 明 （ P Q） （ PR） （ QS） S R 證 法 1 （ 1） P Q P （ 2） PQ T（ 1） E （ 3） QS P （ 4） PS T（ 2） ， （ 3）I （ 5） SP T（ 4） E （ 6） PR P （ 7） SR T（ 5） ， （ 6） I （ 8） S R T（ 7） E 證 法 2 （ 1）

58、 PR P （ 2） P QR Q T（ 1） I （ 3） QS P （ 4） Q RS R T（ 3） I （ 5） P QS R T（ 2） ， （ 4） I （ 6） P Q P （ 7） S R T（ 5） ， （ 6） I 例 2 證 明 （ W R） V， VC S， SU， C U W證 明 （ 1） C U P （ 2） U T（ 1） I （ 3） SU P （ 4） S T（ 2） ,（ 3） I (5) C T（ 1） I (6) C S T(4),(5) I (7) (C S) T(6)E (8) （ W R） V P (9) V(C S) P (10) （ W R）

59、 (C S) T(8),(9)I (11) (（ W R） T(7),(10)I (12) W R T(11)E (13) W T(12)E (3) 間 接 證 法 1(歸 謬 法 ) 要 證 H1 H2 Hn C 即 要 證 H1 H2 Hn C 為 重 言 式 H1 H2 Hn C (H1 H2 Hn ) C (H1 H2 Hn C)因 此 只 要 證 H1 H2 Hn C 為 矛 盾 式 . 例 3 證 明 AB, (B C)可 邏 輯 推 出 A證 明 (1) AB P (2) A P(附 加 前 提 ) (3) (B C) P (4) B C T(3)E (5) B T(1),(2)

60、I (6) B T(4) I (7) B B (矛 盾 ) T(5),(6) I 例 4 證 明 (P Q) (PR) (QS) S R證 明 (1) (S R) P (2) S R T(1)E (3) P Q P (4) PQ T(3)E (5) QS P (6) PS T(4),(5) I (7) SP T(6) (8) ( S R ) (P R) T(7) I (9) P R T(2),(8) I (10) PR P (11) P R T(10)E (12) (P R ) T(11)E (13) (P R ) (P R ) (矛 盾 ) T(9),(12) I (4) 間 接 證 法 2

61、(附 加 前 提 法 )要 證 H1 H2 Hn RC 只 要 證 ( H1 H2 Hn )(R C) 為 重 言 式 (H1 H2 Hn )(R C) ( H1 H2 Hn ) ( R C) ( H1 H2 Hn R ) C ( H1 H2 Hn R) C 只 要 證 ( H1 H2 Hn R) C 由 (S R) C 證 得 S (R C) 稱 為 CP規(guī) 則 。 例 5 證 明 A (BC), D A, B 重 言 蘊(yùn) 涵 DC證 明 (1) D P(附 加 前 提 ) (2) D A P (3) A T(1),(2) I (4) A (BC) P (5) BC T(3),(4) I (

62、6) B P (7) C T(5),(6) I (8) DC CP 例 6 設(shè) 有 下 列 情 況 ,結(jié) 論 是 否 有 效 ?(a) 或 者 是 天 晴 ,或 者 是 下 雨 。(b) 如 果 是 天 晴 ， 我 去 看 電 影 。(c) 如 果 我 去 看 電 影 ， 我 就 不 看 書 。結(jié) 論 ： 如 果 我 在 看 書 則 天 在 下 雨 。解 若 設(shè) M： 天 晴 。 Q： 下 雨 。 S： 我 看 電 影 。 R： 我 看 書 。即 證 ： M Q， MS， S R， 推 出 RQ其 中 M Q (MQ） (1) R P（ 附 加 前 提 ） (2) S R P (3) R S

63、T(2) E (4) S T(1),(3) I (5) MS P (6) M T(4),(5) I (7) (M Q） P (8) M Q T(7) E (9) ( M Q) ( QM) T(8) E (10) QM T(9) I (11) MQ T(10) E (12) Q T(6),(11) I (13) RQ CP 第 二 章 謂 詞 邏 輯 原 子 命 題 是 命 題 邏 輯 研 究 的 基 本 單 位 ,沒 有 對(duì) 原 子的 內(nèi) 部 結(jié) 構(gòu) 及 其 相 互 之 間 的 邏 輯 關(guān) 系 進(jìn) 行 分 析 ,這 樣就 無 法 處 理 一 些 簡(jiǎn) 單 而 又 常 見 的 推 理 問 題 。例

64、 如 : 所 有 的 人 都 是 要 死 的 ， 蘇 格 拉 底 是 人 ， 所 以 ,蘇 格 拉 底 是 要 死 的 。P: 所 有 的 人 是 要 死 的 .Q: 蘇 格 拉 底 是 人 .R: 所 以 ,蘇 格 拉 底 是 要 死 的P Q R 不 是 重 言 式 。 2 1 謂 詞 的 概 念 與 表 示原 子 命 題 由 主 語 和 謂 語 兩 部 分 組 成 。主 語 一 般 是 客 體 ?？?體 ： 可 以 是 一 個(gè) 具 體 的 事 物 ， 也 可 以 是 一 種 抽 象事 物 。 是 命 題 所 研 究 的 對(duì) 象 。謂 詞 ： 用 以 刻 劃 客 體 的 性 質(zhì) 或 客 體

65、 之 間 的 性 質(zhì) 。例 李 明 是 一 個(gè) 學(xué) 生 。 李 明 比 王 杰 高 。 哥 白 尼 指 出 地 球 繞 著 太 陽 轉(zhuǎn) 。 謂 詞 用 大 寫 字 母 表 示 。客 體 名 稱 用 小 寫 字 母 表 示 。客 體 常 元 ： 表 示 具 體 或 特 定 的 客 體 的 詞 。一 般 用 小 寫 字 母 a,b,c,表 示 ?？?體 變 元 ： 表 示 抽 象 的 或 泛 指 的 客 體 的 詞 。一 般 用 小 寫 字 母 x,y,z,表 示 。 例 如 ： A表 示 “ 是 個(gè) 大 學(xué) 生 ” ， c表 示 張 三 ， e表 示 李 四 ， 則 A（ c） 表 示 “ 張

66、三 是 個(gè) 大 學(xué) 生 ” ， A（ e） 表 示 “ 李 四 是 個(gè) 大 學(xué) 生 ” ， “b是 A” 類 型 的 命 題 可 用 A（ b） 表 示 。 兩 個(gè) 客 體 之 間 關(guān) 系 的 命 題 可 表 示 為 B（ a,b） 。 A（ b） 為 一 元 謂 詞 。 B（ a,b） 為 二 元 謂 詞 。 依 此 類 推 。 單 獨(dú) 一 個(gè) 謂 詞 不 是 命 題 ， 只 有 將 變 元 x,y,z等 取 特定 客 體 時(shí) ， 才 確 定 了 一 個(gè) 命 題 。 2 2 命 題 函 數(shù) 與 量 詞 定 義 2 2.1 由 一 個(gè) 謂 詞 ， 一 些 客 體 變 元 組 成 的 表達(dá) 式 稱 為 簡(jiǎn) 單 命 題 函 數(shù) 。 例 B（ x,y） 。 n元 謂 詞 就 是 有 n個(gè) 客 體 變 元 的 命 題 函 數(shù) 。 當(dāng) n 0時(shí) ， 它 本 身 就 是 一 個(gè) 命 題 。 由 一 個(gè) 或 幾 個(gè) 簡(jiǎn) 單 命 題 函 數(shù) 以 及 聯(lián) 結(jié) 詞 組 合 而 成的 表 達(dá) 式 稱 為 復(fù) 合 命 題 函 數(shù) 。 例 1 （ 1） 2是 素 數(shù) 且 是 偶 數(shù) 。 解 ： 設(shè) A（ x）