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1、第 21講 矩 形 、 菱 形 、 正 方 形 考 點 一 考 點 二 考 點 三 考 點 四考 點 一 矩 形 (高頻) 考 點 一 考 點 二 考 點 三 考 點 四 考 點 一 考 點 二 考 點 三 考 點 四考 點 二 菱 形 (高頻) 考 點 一 考 點 二 考 點 三 考 點 四 考 點 一 考 點 二 考 點 三 考 點 四考 點 三 正 方 形 (高頻) 考 點 一 考 點 二 考 點 三 考 點 四考 點 四 平 行 四 邊 形 、 矩 形 、 菱 形 、 正 方 形 之 間 的 關 系 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3命 題 點 1 矩 形 的 性 質1.(
2、2017安徽,10,4分)如 圖 ,矩 形 ABCD中 ,AB=5,AD=3.動 點 P滿 足S PAB= S矩 形 ABCD.則 點 P到 A,B兩 點 距 離 之 和 PA+PB 的 最 小 值 為 (D ) 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3解 析 : 設 ABP中AB邊上的高是h. 動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上,如圖,作A關于直線l的對稱點E,連接AE,連接BE,則BE的長就是所求的最短距離.在Rt ABE中, AB=5,AE=2+2=4, 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3命 題 點 2 矩 形 、 菱 形 的 性 質 綜 合 應 用2.(2
3、015安徽,9,4分)如 圖 ,矩 形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,點 E在 AB上 ,點 F在 CD上 ,點 G,H在 對 角 線 AC上 .若 四 邊 形 EGFH是 菱 形 ,則 AE的 長 是( C ) 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3解 析 如圖,連接EF交AC于點O,根據(jù)菱形性質有FE AC,OG=OH,易證OA=OC.由四邊形ABCD是矩形,得 B=90,根據(jù)勾股定理得 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3命 題 點 3 正 方 形 的 性 質 與 判 定3.(2014安徽,10,4分)如 圖 ,正 方 形 ABCD的 對 角 線 BD長 為 2 ,
4、若 直線 l滿 足 : 點 D到 直 線 l的 距 離 為 ; A,C兩 點 到 直 線 l的 距 離 相 等 .則 符 合 題 意 的 直 線 l的 條 數(shù) 為 ( B )A.1 B.2C.3 D.4解 析 如圖,連接AC與BD相交于O,同理,在點D的另一側還有一條直線滿足條件, 故共有2條符合題意的直線l.故選B. 考 法 1 考 法 2 考 法 3考 法 1矩 形 的 相 關 證 明 與 計 算 例 1(2018合肥行知學校模擬)如 圖 ,已 知 ABCD,延 長 AB到 E使BE=AB,連 接 BD,ED,EC,若 ED=AD.(1)求 證 :四 邊 形 BECD是 矩 形 ;(2)連
5、 接 AC,若 AD=4,CD=2,求 AC的 長 .解 :(1)證 明 : 四 邊 形 ABCD是 平 行 四 邊 形 , AB CD,AB=CD, BE=AB, BE=CD, 四 邊 形 BECD是 平 行 四 邊 形 . AD=BC,AD=DE, BC=DE, BECD是 矩 形 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3(2)連 接 AC, CD=2, AB=BE=2. AD=4, ABD=90, 考 法 1 考 法 2 考 法 3方 法 總 結 1.矩 形 判 定 的 一 般 思 路首先判定是否為平行四邊形,再找直角或者對角線的關系.若角度容易求,則證明其一角為90,便可判定是矩形;若對
6、角線容易求,則證明其對角線相等即可判定其為矩形.2.應 用 矩 形 性 質 計 算 的 一 般 思 路(1)根據(jù)矩形的四個角都是直角,一條對角線將矩形分成兩個直角三角形,用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長.(2)矩形對角線相等且互相平分,矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形,在利用矩形性質進行相關的計算時,可利用面積法,建立等量關系. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應 練 1(課本習題改編)下 列 命 題 ,其 中 是 真 命 題 的 為 ( D )A.一 組 對 邊 平 行 ,另 一 組 對 邊 相 等 的 四 邊 形 是 平 行 四 邊 形B.對 角 線 互 相 垂 直 的 四 邊
7、 形 是 菱 形C.對 角 線 相 等 的 四 邊 形 是 矩 形D.一 組 鄰 邊 相 等 的 矩 形 是 正 方 形 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應 練 2(2017山東濰坊)如 圖 ,將 一 張 矩 形 紙 片 ABCD的 邊 BC斜著 向 AD邊 對 折 ,使 點 B落 在 AD上 ,記 為 B,折 痕 為 CE;再 將 CD邊 斜 向下 對 折 ,使 點 D落 在 BC上 ,記 為 D,折 痕 為 CG,BD=2,BE= BC.則 矩形 紙 片 ABCD的 面 積 為 15 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 析 :由折疊可知BC=BC,CD=CD,又BD=2,故設B
8、C=x,整理,得x 2-7x+10=0,解得x1=5,x2=2(不合題意,舍去),矩形紙片ABCD的面積為BCCD=53=15. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應 練 3(2018甘肅白銀)已 知 矩 形 ABCD中 ,E是 AD邊 上 一 個 動 點 ,點 F,G,H分 別 是 BC,BE,CE的 中 點 .(1)求 證 : BGF FHC;(2)設 AD=a,當 四 邊 形 EGFH是 正 方 形 時 ,求 矩 形 ABCD的 面 積 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 :(1) 點 F是 BC邊 上 的 中 點 , BF=FC. 點 F,G,H分 別 BC,BE,CE的 中
9、 點 , GF,FH是 BEC的 中 位 線 . BGF FHC(SSS).(2)當 四 邊 形 EGFH是 正 方 形 時 , BEC=90,FG=GE=EH=FH. FG,FH是 BEC的 中 位 線 , BE=CE. BEC是 等 腰 直 角 三 角 形 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3考 法 2菱 形 的 相 關 證 明 及 計 算 例 2(2017江蘇揚州)如 圖 ,將 ABC沿 著 射 線 BC方 向 平 移 至 ABC,使 點 A落 在 ACB的 外 角 平 分 線 CD上 ,連 接 AA.(1)判 斷 四 邊 形 ACCA的 形 狀 ,并 說 明 理 由 ;(2)在 AB
10、C中 , B=90,AB=24,cos BAC= ,求 CB的 長 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 :(1)四 邊 形 ACCA為 菱 形 .理 由 如 下 : ABC是 由 ABC平 移 得 到 的 , AA CC,且 AA=CC. 四 邊 形 ACCA是 平 行 四 邊 形 , AAC= ACC. CD平 分 ACC, ACA= ACC. AAC= ACA, AC=AA. 四 邊 形 ACCA為 菱 形 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3方 法 總 結 1.菱形判定的一般思路:首先判定是平行四邊形,然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形來判定,這是判定菱形的最常見思路.也可以考慮
11、其他判定方法,例如若能證明對角線互相垂直平分,也能判定該四邊形是菱形.2.應用菱形性質計算的一般思路:因菱形的四條邊相等,菱形對角線互相垂直,故常借助對角線垂直和勾股定理來求線段長.也可以根據(jù)菱形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,結合它的對稱性得出的一些結論來計算. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應 練 4(原創(chuàng)題)菱 形 不 具 備 的 性 質 是 ( C )A.四 條 邊 都 相 等 B.四 條 邊 對 邊 平 行C.對 角 線 一 定 相 等 D.對 角 線 互 相 垂 直對 應 練 5(2018安慶四中模擬)如 圖 ,在 四 邊 形 ABCD中 ,對 角 線AC,BD相 交 于
12、 點 O,AO=CO,BO=DO,添 加 下 列 條 件 ,不 能 判 定 四 邊 形ABCD是 菱 形 的 是 ( B )A.AB=AD B.AC=BDC.AC BD D. ABO= CBO 對 應 練 6(2017北京)如 圖 ,在 四 邊 形 ABCD中 ,BD為 一 條 對 角線 ,AD BC,AD=2BC, ABD=90,E為 AD的 中 點 ,連 接 BE.(1)求 證 :四 邊 形 BCDE為 菱 形 ;(2)連 接 AC,若 AC平 分 BAD,BC=1,求 AC的 長 .考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 1 考 法 2 考 法 3 (1)證 明 : E為AD中點,A
13、D=2BC, BC=ED. AD BC,四邊形BCDE是平行四邊形. ABD=90,E為AD中點. BE=ED,四邊形BCDE是菱形. (2)解 : AD BC,AC平分 BAD, BAC= DAC= BCA, BA=BC=1. AD=2BC=2, 考 法 1 考 法 2 考 法 3考 法 3正 方 形 的 相 關 證 明 及 計 算 例 3(2018湖北十堰)已 知 正 方 形 ABCD與 正 方 形 CEFG,M是 AF的中 點 ,連 接 DM,EM.(1)如 圖 1,點 E在 CD上 ,點 G在 BC的 延 長 線 上 ,請 判 斷 DM,EM的 數(shù)量 關 系 與 位 置 關 系 ,并
14、直 接 寫 出 結 論 ;(2)如 圖 2,點 E在 DC的 延 長 線 上 ,點 G在 BC上 ,(1)中 結 論 是 否 仍 然成 立 ?請 證 明 你 的 結 論 ;(3)將 圖 1中 的 正 方 形 CEFG繞 點 C旋 轉 ,使 D,E,F三 點 在 一 條 直 線 上 ,若 AB=13,CE=5,請 畫 出 圖 形 ,并 直 接 寫 出 MF的 長 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 :(1)結 論 :DM EM,DM=EM.(2)如 圖 1中 ,結 論 不 變 .DM EM,DM=EM.理 由 :如 圖 2中 ,延 長 EM交 DA的 延 長 線 于 H. 四 邊 形 AB
15、CD是 正 方 形 ,四 邊 形 EFGC是 正 方 形 , ADE= DEF=90,AD=CD, AD EF, MAH= MFE. AM=MF, AMH= FME, AMH FME. MH=ME,AH=EF=EC, DH=DE. EDH=90, DM EM,DM=ME. 考 法 1 考 法 2 考 法 3(3)如 圖 2中 ,作 MR DE于 R. DM=ME,DM ME,又 MR DE, 考 法 1 考 法 2 考 法 3方 法 總 結對于與正方形性質相關的計算問題,要合理應用其性質及由性質得到的一些結論:(1)四角相等均為90以及四邊相等.(2)對角線垂直且相等.(3)對角線平分一組對角
16、得到45角. 考 法 1 考 法 2對 應 練 7(2012安徽)為 增 加 綠 化 面 積 ,某 小 區(qū) 將 原 來 正 方 形 地 磚更 換 為 如 圖 所 示 的 正 八 邊 形 植 草 磚 ,更 換 后 ,圖 中 陰 影 部 分 為 植 草區(qū) 域 ,設 正 八 邊 形 與 其 內 部 小 正 方 形 的 邊 長 都 為 a,則 陰 影 部 分 的 面積 為 ( A )A.2a 2 B.3a2 C.4a2 D.5a2 考 法 3 解 析 : 圖案中間的陰影部分是正方形,面積是a 2,由于原來地磚更換成正八邊形,四周一個陰影部分是對角線為a的正方形的一半,它的面積用對角線積的一半來計算.
17、考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應 練 8(2018安徽名校模擬卷)我 國 漢 代 數(shù) 學 家 趙 爽 為 了 證 明勾 股 定 理 ,創(chuàng) 制 了 一 幅 “弦 圖 ”,后 人 稱 其 為 “趙 爽 弦 圖 ” 如 圖 (1) ,圖 (2)由 弦 圖 變 化 得 到 ,它 是 由 八 個 全 等 的 直 角 三 角 形 拼 接 而 成 ,記圖 中 正 方 形 ABCD、 正 方 形 EFGH、 正 方 形 MNKT的 面 積 分 別 為 S1、S2、 S3,若 正 方 形 EFGH的 邊 長 為 2,則 S1+S2+S3=12 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 析 :圖中的八個直
18、角三角形全等,設每個三角形的面積為S,則S1-S2=4S,S2-S3=4S, S1-S2=S2-S3, S1+S3=2S2=222=8, S 1+S2+S3=8+4=12. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對 應 練 9(2018安徽第五次聯(lián)考)如 圖 1,已 知 正 方 形 ABCD和 正 方形 QMNP,點 M是 正 方 形 ABCD的 對 稱 中 心 ,MN交 AB于 點 F,QM交 AD于 點 E.(1)猜 想 :ME與 MF的 數(shù) 量 關 系 ,不 用 證 明 ; 考 法 1 考 法 2 考 法 3(2)如 圖 2,若 將 原 題 中 的 “正 方 形 ”改 為 “菱 形 ”,且
19、EMF= ABC,其 他 條 件 不 變 ,探 索 線 段 ME與 線 段 MF的 數(shù) 量 關 系 ,并 加 以 證 明 ; 考 法 1 考 法 2 考 法 3(3)如 圖 3,若 將 原 題 中 的 “正 方 形 ”改 為 “矩 形 ”,且 AB BC=1 2,其他 條 件 不 變 ,探 索 線 段 ME與 線 段 MF的 數(shù) 量 關 系 ,并 加 以 證 明 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 :(1)ME=MF.(2)ME=MF.證 明 :如 圖 1,過 點 M作 MH AD于 點 H,MG AB于 點 G. M是 菱 形 ABCD的 對 稱 中 心 , M是 菱 形 ABCD對
20、角 線 的 交 點 , AM平 分 BAD, MH=MG. EMF= ABC, EMF+ BAD=180.又 MHA= MGF=90, HMG+ BAD=180, EMF= HMG, EMH= FMG, 又 MHE= MGF, MHE MGF. ME=MF. 考 法 1 考 法 2 考 法 3(3)ME MF=1 2.證 明 :如 圖 2,過 點 M作 MH AD于 點 H,MG AB于 點 G. 四 邊 形 ABCD是 矩 形 , GAH=90.又 MHA= MGA=90, HMG=90. EMF= HMG, EMH= FMG.又 MHE= MGF, MHE MGF,又 M是 矩 形 ABCD的 對 稱 中 心 , M是 矩 形 ABCD對 角 線 的 中 點 . MG AB, MG BC.
安徽省2019年中考數(shù)學總復習 第一篇 知識 方法 固基 第五單元 四邊形 第21講 矩形、菱形、正方形.ppt
