機器人學(xué)導(dǎo)論第5章.ppt

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1、 第 5章 軌跡規(guī)劃 （ 4學(xué)時） 學(xué)習(xí)目的： 1 理解軌跡規(guī)劃原理 2 學(xué)會用軌跡規(guī)劃處理實際問題 學(xué)習(xí)內(nèi)容： 1 軌跡規(guī)劃原理 2 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃 3 直角坐標空間的軌跡規(guī)劃 4 連續(xù)軌跡紀錄 定義： 如果規(guī)定一個機器人從 A點經(jīng)過 B點運動到 C點而不 強調(diào)時間的概念，那么這一過程中的位形序列就構(gòu) 成了一條 路徑 。如果我們強調(diào)到達其中任意一點的 時間，那么這就是一條 軌跡 。我們可以看出軌跡和 路徑的區(qū)別就在于 軌跡依賴速度和加速度 。 5.1 路徑與軌跡 5.2 關(guān)節(jié)空間描述與直角空間描述 1 關(guān)節(jié)空間描述 如果給定機器人運動的起點和終點，就可以利用逆 運動學(xué)方程計算出每個關(guān)節(jié)的

2、矢量角度值；然后機 器人控制器驅(qū)動關(guān)節(jié)電機運動使機器人到達相應(yīng)的 位置。這種以關(guān)節(jié)角度的函數(shù)來描述機器人軌跡的 方法稱為關(guān)節(jié)空間法。 特點： 在機器人運動的過程中，中間狀態(tài)是不可知 的，但計算量較小，不會出現(xiàn)奇異點 。 2 直角坐標空間描述 將軌跡分成若干段，使機器人的運動經(jīng)過這些中間 點，在每一點都求解機器人的關(guān)節(jié)變量，直到到達 終點，如下圖所示： 特點： 路徑可控且可預(yù)知，直觀、容易看到機器人 末端軌跡；但計算量大，容易出現(xiàn)奇異點 ，如下圖 所示： 直角空間描述 軌跡穿過 機器人自 身 關(guān)節(jié)值突變 5.3 軌跡規(guī)劃的基本原理 一 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃 1. 計算起點和終點的關(guān)節(jié)變量，各關(guān)節(jié)都

3、以最大角 速度運動 特點： 軌跡不規(guī)則，末端走過的距離不均勻，且各 關(guān)節(jié)不是同時到達。 A B 2. 在 1的基礎(chǔ)上對關(guān)節(jié)速率做歸一化處理，使各關(guān) 節(jié)同時到達終點。 特點： 各關(guān)節(jié)同時到達終點，軌跡各部分比較均 衡，但所得路徑仍然是不規(guī)則的。 A B 二 直角坐標空間軌跡規(guī)劃 1. 首先畫出路徑，接著將路徑 n等分 (為了獲得較好 的沿循精度， n越大越好 ) ，分別計算到達各點所需 的關(guān)節(jié)變量。 特點： 關(guān)節(jié)角非均勻變化，末端沿已知路徑行走。 2. 在 1的基礎(chǔ)上，考慮各關(guān)節(jié)的加速減速時間，為 防止在加速期間軌跡落后于設(shè)想的軌跡，在劃分分 界點時，如果是直線軌跡，就按照方程劃分。曲線 軌跡就

4、相對復(fù)雜一些。 3. 多點的情況 （ 1） 從 A向 B先加速 ， 再勻速 ， 接近 B時再減速 ， 從 B到 C再重復(fù) 。 為避免這一過程中不必要的停 止動作 ， 可將 B點兩邊的動作進行平滑過渡 。 機 器人先抵達 B點 ， 然后沿著平滑過渡的路徑重新 加速 ， 最終抵達并停止在 C點 。 （ 2）考慮到由于采用了平滑過渡曲線，機器人經(jīng) 過的可能不是原來的 B點，可事先設(shè)定一個不同 的 B點，使曲線正好經(jīng)過 B點。 (3) 在 B點前后各加過渡點 D,E，使得 B點落在 DE上。 三 軌跡規(guī)劃的分類 1) 對于點位作業(yè)機器人，需要描述它的起始狀態(tài)和 目標狀態(tài)。如果用 表示工具坐標系的起始值

5、， 表示目標值，就是表示這兩個值的相對關(guān)系。 這種運動稱為點到點運動 (PTP) 2) 對于弧焊、研磨、拋光等曲面作業(yè)，不僅要規(guī)定 起始點和終止點，還要規(guī)定中間整個運動過程。對 于一段連續(xù)運動過程，理論上無法精確實現(xiàn)，實際 上是選取一定數(shù)量 (滿足軌跡插補精度 )的點作為中 間點，從而近似實現(xiàn)沿給定的路徑運動。 這種運動稱為連續(xù)路徑運動或輪廓運動 (CP) 3) 障礙約束軌跡規(guī)劃 0T fT 5.4 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃 0)( 0)( )( )( 32 210 3 f i ff ii t t t t tctctcct ：這里初始和末端條件是 一、 三次多項式的軌跡規(guī)劃 我們假設(shè)機器人某一關(guān)節(jié)的

6、運動方程是三次的 從上例可以看出，若我們已知開始和終止時刻 的角度以及角速度，那么就可以求得 ，進而求 得關(guān)節(jié)的運動方程。 ic 032 0 32 2 21 1 32 210 0 2 21 32 210 3 3 3 3 fff i f ffff ii tCtCCt Ct tCtCtCCt Ct tctcct tctctcct 得到：將初始和末端條件代入 求一階導(dǎo)數(shù)得到：對 盡管每一個關(guān)節(jié)都是分別計算的，但是在實際 控制中，所有關(guān)節(jié)自始至終都是同步運動； 如果機器人初始和末端速度不為零，可以通過 給定數(shù)據(jù)得到未知數(shù)值； 如果要求機器末端人依次通過兩個以上的點， 則每一段求解出的邊界速度和位置均可

7、作為下一段 的初始條件，其余相同； 位置、速度連續(xù)，但是加速度不連續(xù)。 例 5.1： 已知一個關(guān)節(jié)在 5秒之內(nèi)從初始角 30度運動 到終端角 75度，使用三次多項式計算在第 1， 2， 3， 4秒時關(guān)節(jié)的角度。（我們假設(shè)在開始和終止的瞬 間關(guān)節(jié)的速度是 0) 解：由題意可得到 0)5(3)5(2)( 0)( 75)5()5()5()( 30)( 2 321 1 3 3 2 210 0 ccct ct cccct ct f i o f o i 72.0 4.5 0 30 3 2 1 0 c c c c 由此得到位置，速度和加速度的多項式方程如下： tt ttt ttt 32.48.10 16.2

8、8.10 72.04.530 2 32 32.70)4( 16.59)3( 84.45)2( 68.34)1( 我們可以進一步畫出關(guān)節(jié)的位置，速度和加速度曲線 可以看出，本例中需要的初始加速度為 10.8度 /秒 2 運動末端的角加速度為 -10.8度 /秒 2。 例題： 在例 5.1的基礎(chǔ)上繼續(xù)運動，要求在其后的 3秒內(nèi)關(guān)節(jié) 角到達 。畫出該運動的位置，速度和加速度曲線。 105 思路點撥： 可將第一運動段末端的關(guān)節(jié)位置和速度 作為下一運動段的初始條件。 解： tt ttt ttt 332.1320)( 666.620)( 222.21075)( 2 32 進而可以畫出以下曲線 可以求得 其

9、中 3 0 62)( 32 32 2 21 32 210 3 3 f i t t tCCt tCtCCt tCtCtCCt 105 75 f i 0 0 f i 為保證 機器人 的加速 度不超 過其自 身能力， 應(yīng)考慮 加速度 的限制。 2m a x )( )(4 if if tt 根據(jù)此式可計算出達到目標所需 要的時間 二、 五次多項式軌跡規(guī)劃 同例 5.1，若采用 五 次多項式，若再已知初始 加速度和末端減速度均為 5 度 /秒 2 ，其他條件不變， 試畫出三條相應(yīng)曲線。（邊界條件變?yōu)?6個） 3 5 2 432 4 5 3 4 2 321 5 5 4 4 3 3 2 210 201262

10、)( 5432)( )( tctctcct tctctctcct tctctctctcct 根據(jù)這些方程，可以通過位置、速度和加速度 邊界條件計算出五次多項式的系數(shù)。 3 5 2 432 4 5 3 4 2 321 5 5 4 4 3 3 2 210 201262)( 5432)( )( tctctcct tctctctcct tctctctctcct 32 432 5432 3 0 928.096.66.95)( 232.032.28.45)( 0464.058.06.15.30)( 6.1 30 75 30 tttt ttttt ttttt c c f o i ：進而得到如下運動方程 中，

11、得出： 將初始和末端條件代入 秒度 秒度 /0 /0 f i 2 2 /5 /5 秒度 秒度 f i 58.0 0 4 1 c c 0 4 6 4.0 5.2 5 2 c c 關(guān)節(jié)位置、速度和加速度圖形 三、拋物線過渡的線性運動軌跡 如果機器人關(guān)節(jié)以恒定速度運動，那么軌跡方程就相當(dāng)于 一次多項式，其速度是常數(shù)，加速度為 0，這說明在起點和終 點，加速度為無窮大，只有這樣才可以瞬間達到勻速狀態(tài)。但 很顯然這是不可能的，因此在起點和終點處，可以用拋物線來 進行過渡。如圖所示 2 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 21 2 210 )( )( 2 1 )( 0 )( 0)0( )0( )( )

12、( 2 1 )( ct tct tct c c c ct ct ct ct tcct tctcct i ii 顯然，這個拋物線運動段的加速度是一常數(shù)，并在公共點 A 和 B上產(chǎn)生連續(xù)的速度。將邊界條件代入拋物線段的方程， 得到： 從而給出拋物線段的方程為： 假設(shè) ti和 tf時刻對應(yīng)的起點和終點 位置為 和 ，拋物線與直線 部分的過渡段在時間 tb和 tf-tb處是 對稱的，因此可得： i f 0 2 2 1 2 2 2 f iABf AB bfAbbfAB bA biA ttttt tc tc 顯然，對于直線段，速度將保持為常值，它可以根據(jù) 驅(qū)動器的物理性能來加以選擇。將零出速度、線性段 常

13、值速度 以及零末端速度代入 和 中， 可以得到 A、 B點以及終點的關(guān)節(jié)位置和速度如下： 2 22 1)( tct i tct 2)( 顯然， 不能大于總時間 的一半，否則在整個過程中 將沒有直線運動段而只有拋物線加速和拋物線減速段。 由上式可以計算出對應(yīng)的最大速度 。應(yīng)該 說明，如果運動段的初始時間不是 0而是 ，則可采用 平移時間軸的辦法使初始時間為 0。終點的拋物線段是 對稱的，只是其加速度為負。因此可表示為： bfb b if bfbif b tttt tttc t c 2 2 2 2 2 2 fif t/)(2m a x 由上式可以求解過渡時間： 進而由上式可以解得過渡時間： ffi

14、 b tt bt ft at b ff tcttct 2 2 22 1 其中 b f b f b f t t tt t t tt t t )( )()( )( 2 )( 2 例題： 若已知某關(guān)節(jié)以速度 =10度 /秒在 5秒內(nèi)從 初始角 運動到目的角 。求解所需的過渡 時間并繪制位置、速度和加速度曲線。 1 30i 70f 解：代入相應(yīng)公式可得到 10 10 530 , 1 2 t t s t t fBBAAi ffi b 的方程如下所示到由到由到由 0 10 10 tA 10 )5(10 )5(570 2 t t 曲線如下圖所示： 5.5 直角坐標空間的軌跡規(guī)劃 實際上，所有用于關(guān)節(jié)空間軌跡

15、規(guī)劃的方法 都可用于直角坐標空間的軌跡規(guī)劃。最根本的差 別在于，直角坐標空間軌跡規(guī)劃必須反復(fù)求解逆 運動學(xué)方程來計算關(guān)節(jié)角，也就是說，對于關(guān)節(jié) 空間軌跡規(guī)劃，規(guī)劃函數(shù)生成的值就是關(guān)節(jié)值， 而直角坐標空間軌跡規(guī)劃函數(shù)生成的值是機器人 末端手的位姿，他們需要通過求解逆運動學(xué)方程 化為關(guān)節(jié)量。 以上過程可以簡化為如下的計算循環(huán)： 在工業(yè)應(yīng)用中，最實用的軌跡是點到點之間的直 線運動，但也經(jīng)常碰到多目標點 (例如有中間點 )間需 要平滑過渡的情況。 為實現(xiàn)一條直線軌跡，必須計算起點和終點位姿 之間的變換，并將該變換劃分許多小段。起點構(gòu)型 (1) 將時間增加一個增量 t=t+ (2) 利用所選擇的軌跡函數(shù)

16、計算出手的位姿 (3) 利用機器人逆運動學(xué)方程計算出對應(yīng)手位姿 的關(guān)節(jié)量 (4) 將關(guān)節(jié)信息送給控制器 t 和終點構(gòu)型 之間的總變換 R可通過下面的方程進行 計算： iT fi iifi if TTR RTTTT RTT 1 11 至少有以下三種不同方法可用來將該總變換化為 許多的小段變換。 (1) 希望在起點和終點之間有平滑的線性變換，因 此需要大量很小的分段，從而產(chǎn)生了大量的微分運動。 利用上一章導(dǎo)出的微分運動方程，可將末端手坐標系 在每個新段的位姿與微分運動、雅可比矩陣及關(guān)節(jié)速 度通過下列方程聯(lián)系在一起。 dTTT TdT JDD o ldn e w DJD 1 這一方法需要進行大量的計

17、算，并且僅當(dāng)雅可比矩 陣逆存在時才有效。 (2) 在起點和終點之間的變換分解為一個平移和兩 個旋轉(zhuǎn)。平移是將坐標原點從起點移動到終點，第 一個旋轉(zhuǎn)是將末端手坐標系與期望姿態(tài)對準，而第 二個旋轉(zhuǎn)是手坐標系繞其自身周轉(zhuǎn)到最終的姿態(tài)。 所有這 3個變換同時進行。 (3) 在起點和終點之間的變換 R分解為一個平移和一個 K軸的旋轉(zhuǎn)。平移仍是將坐標原點從起點移動到終點， 而旋轉(zhuǎn)則是將手臂坐標系與最終的期望姿態(tài)對準。兩 個變換同時進行。 6.78.0 8.0 38 1014 8 14 xy x y 例 5.6 一個兩自由度平面機器人要求從起點 (3,10)沿直 線運動到終點 (8,14)。假設(shè)路徑分為 1

18、0段，求出機器 人的關(guān)節(jié)變量。每一根連桿的長度為 9英寸。 解：直角坐標空間中起點和終點間的直線可描述為： 中間點的坐標可以通過將起點和終點的 x,y坐標 之差簡單地加以分割得到，然后通過求解逆運動學(xué)方 程得到對應(yīng)每個中間點的兩個關(guān)節(jié)角。 或者 # X Y 1 3 10 18.8 109 2 3.5 10.4 19 104.0 3 4 10.8 19.5 100.4 4 4.5 11.2 20.2 95.8 5 5 11.6 21.3 90.9 6 5.5 12 22.5 85.7 7 6 12.4 24.1 80.1 8 6.5 12.8 26 74.2 9 7 13.2 28.2 67.8

19、 10 7.5 13.6 30.8 60.7 11 8 14 33.9 52.8 1 2 13 331 2 2 2 1 3 1 118 1 a r c c os 162 162 a r c c os a r c t a n CC SPCCP P C P P P yZ z y y x 例： 一個 3自由度機器人有兩根連桿，每根連桿長 9 英寸。假設(shè)定義坐標系使得當(dāng)所有關(guān)節(jié)角均為 0時手 臂處于垂直向上狀態(tài)。要求機器人沿直線從點（ 9， 6， 10）移動到點（ 3， 5， 8）。求 3各關(guān)節(jié)在每個中 間點的角度值，并繪制出這些角度值。已知： 機器人及其坐標系 解：在求解本題時，可將起點與終點之間

20、10等分。通 過求解逆運動學(xué)方程既可算得每個中間點的關(guān)節(jié)角。 X Y Z 9 6 10 56.3 104.7 27.2 8.4 5.9 9.8 54.9 109.2 25.4 7.8 5.8 9.6 53.4 113.6 23.8 7.2 5.7 9.4 51.6 117.9 22.4 6.6 5.6 9.2 49.7 121.9 21.2 6 5.5 9 47.5 125.8 20.1 5.4 5.4 8.8 45 129.5 19.3 4.8 5.3 8.6 42.2 133 18.7 4.2 5.2 8.4 38.9 136.3 18.4 3.6 5.1 8.2 35.2 139.4 1

21、8.5 1 2 3 手坐標系及關(guān)節(jié)角 機器人的關(guān)節(jié)角曲線 5.6 連續(xù)軌跡記錄 有時機器人為了完成某些復(fù)雜的或軌跡難以用 直線或其他高次多項式來描述的任務(wù)，可以首先示 教機器人如何運動，同時記錄這些運動數(shù)據(jù)，然后 回放所記錄的運動并執(zhí)行該運動。在整個運動過程 中都必須不斷地采樣并記錄關(guān)節(jié)量，此后通過回放 采樣數(shù)據(jù)并驅(qū)動機器人的關(guān)節(jié)來驅(qū)動使機器人跟蹤 所記錄的軌跡，從而完成所規(guī)劃的任務(wù)。 前面所講的示教回放機器人 特點： 所需的編程和計算量較少，但需要精確執(zhí)行、 采樣和記錄所有的運動；每當(dāng)部分運動需要改變時 就必須重新示教編程。 小結(jié)： 軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)空間進行也可在直角坐標進 行。在兩種空間的許多方法可以通用。 直角坐標空間的軌跡規(guī)劃比較直觀，但是較難計 算和規(guī)劃。對于已指定的路徑（如直線）必須在 直角空間進行規(guī)劃才能實現(xiàn)。 如果沒有指定機器人的路徑，則關(guān)節(jié)空間的軌跡 規(guī)劃更容易計算。