面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度數(shù)值計(jì)算

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1、面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度數(shù)值計(jì)算 0、 引言 作為機(jī)械裝置中的一個(gè)重要零部件,齒輪傳動(dòng)被廣泛應(yīng)用于航空、風(fēng)電、汽車等領(lǐng)域。隨著工作轉(zhuǎn)速的逐步提高,齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)性能越來(lái)越受到設(shè)計(jì)、制造及使用者的重視。相比較其他類型的傳動(dòng)系統(tǒng),齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主要不同之處在于: 它不但會(huì)因?yàn)橥獠考?lì)而產(chǎn)生動(dòng)態(tài)響應(yīng),同時(shí)會(huì)因?yàn)閭鲃?dòng)過(guò)程中嚙合齒對(duì)數(shù)的改變、輪齒的彈性變形及輪齒誤差而導(dǎo)致嚙合剛度發(fā)生變化,從而產(chǎn)生輪齒動(dòng)態(tài)嚙合力,且此種由于嚙合綜合剛度的時(shí)變性引起的動(dòng)態(tài)激勵(lì)是齒輪傳動(dòng)中最主要的動(dòng)態(tài)激勵(lì)形式之一。因此,確定齒輪傳動(dòng)的時(shí)變嚙合剛度一直是齒輪動(dòng)力學(xué)研究中的重要問(wèn)題。對(duì)于圓柱齒輪的嚙合剛度計(jì)算問(wèn)題,已有較多的學(xué)者進(jìn)行

2、過(guò)深入研究,得到了一些比較成熟的計(jì)算方法。對(duì)于面齒輪及螺旋錐齒輪等結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜的齒輪傳動(dòng)形式的嚙合剛度計(jì)算問(wèn)題,由于其齒面為復(fù)雜曲面,要準(zhǔn)確計(jì)算時(shí)變嚙合剛度存在較大難度,因此相關(guān)研究文獻(xiàn)較少。Gosselin 等基于有限條法給出了計(jì)算螺旋錐齒輪剛度的方法,但也只得到了沿齒高和齒長(zhǎng)方向的位移曲線,并沒(méi)有得到剛度曲線。Mennem等使用有限單元法計(jì)算了不同載荷下輪齒接觸柔度,獲得了時(shí)變剛度。面齒輪傳動(dòng)是近二十年才真正發(fā)展起來(lái)的一種主要用于航空領(lǐng)域的齒輪傳動(dòng)形式,針對(duì)其嚙合剛度的計(jì)算方法,目前尚未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道。在面齒輪的動(dòng)力學(xué)研究中,齒輪嚙合剛度都采用經(jīng)過(guò)傅里葉變換后的一次正余弦函數(shù)來(lái)近似,與實(shí)際嚙合

3、剛度存在比較大的差異。有學(xué)者研究發(fā)現(xiàn),采用近似時(shí)變嚙合剛度得到的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)因子比采用實(shí)際嚙合剛度時(shí)大,而且不能有效地得到系統(tǒng)在低頻階段的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。因此,采用近似時(shí)變嚙合剛度來(lái)擬合實(shí)際嚙合剛度研究齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為,并不能正確反映齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。本文提出了一種新的齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度數(shù)值計(jì)算方法。首先以直齒圓柱齒輪為例,建立合理的有限元模型,得到直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度曲線,并與 ISO6336方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,說(shuō)明該嚙合剛度計(jì)算方法的正確性及有限元模型的精確性; 然后應(yīng)用該嚙合剛度計(jì)算方法,研究面齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度變化規(guī)律,得到精確的面齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度曲線。研究結(jié)果為面齒輪傳動(dòng)

4、的動(dòng)力學(xué)分析及設(shè)計(jì)提供參考。1 齒輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算方法在齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中,輪齒之間的嚙合作用可以簡(jiǎn)化為一個(gè)在嚙合線方向上的時(shí)變彈簧,彈簧剛度等于該時(shí)刻的嚙合剛度,如圖 1 所示。圖中,ω 為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速,Rbp、Rbg分別為主從動(dòng)輪基圓半徑,Km為嚙合剛度,T為負(fù)載扭矩,LOA(line of action) 表示嚙合線。齒輪嚙合剛度的一般表達(dá)式為Kn= Fn/ δn(1)其中,Fn為法向接觸力;δn為法向綜合彈性變形,它應(yīng)包括由于局部赫茲接觸產(chǎn)生的接觸彈性變形量 δH、輪齒彎曲產(chǎn)生的接觸位置的位移 δF、輪轂變形產(chǎn)生的接觸位置的位移

5、δR、軸和支撐結(jié)構(gòu)變形對(duì)接觸點(diǎn)位置的影響量 δA。由于考慮軸、軸承及支撐結(jié)構(gòu)變形會(huì)使問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜,故本文暫只考慮 δH、δF及 δR,因此可以得到在齒輪傳動(dòng)過(guò)程中,由于輪齒受載變形及齒輪誤差,從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)位置會(huì)偏離其不考慮受載變形及齒輪誤差時(shí)所應(yīng)處的理想轉(zhuǎn)動(dòng)位置。齒輪傳遞誤差eT在1958 年被Harris定義為從動(dòng)輪實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)位移與理想轉(zhuǎn)動(dòng)位移之差;,如圖 2 所示,其一般表達(dá)式為式中,θp、θg分別為主從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角; zp、zg分別為主從動(dòng)輪齒數(shù)。假設(shè)齒輪沒(méi)有承受載荷,此時(shí)輪齒沒(méi)有彈性變形,但是由于輪齒誤差的存在

6、,依舊會(huì)產(chǎn)生無(wú)負(fù)載傳遞誤差 eNLT。在齒輪傳動(dòng)的加載接觸分析中,由于存在幾何模型誤差、有限元網(wǎng)格劃分產(chǎn)生的幾何誤差以及網(wǎng)格劃分產(chǎn)生的尺側(cè)間隙,故無(wú)負(fù)載傳遞誤差是不可避免的。無(wú)負(fù)載傳遞誤差導(dǎo)致齒輪嚙合過(guò)程中輪齒產(chǎn)生剛性位移,該位移在計(jì)算輪齒受載變形時(shí)必須減除。同時(shí),為了方便理解,將傳遞誤差轉(zhuǎn)換成嚙合線方向上的位移,因此可以得到齒輪副在一定負(fù)載下的受載傳遞誤差eLT一般表達(dá)式由此可以得到輪齒嚙合過(guò)程中綜合彈性變形2、 嚙合剛度數(shù)值計(jì)算方法驗(yàn)證由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算方法目前尚未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。為了說(shuō)明上述嚙合剛度計(jì)算方法的正確性及有限元模型的精確性,本文先以直齒圓柱齒輪為例進(jìn)行計(jì)

7、算,并將其與 ISO6336: 2006 方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。2. 1 有限元建?；谔七M(jìn)元等提出的齒輪虛擬加工制造方法,采用表 1 所示齒輪傳動(dòng)參數(shù),得到高精度的直齒圓柱齒輪三維幾何裝配模型。為了節(jié)約計(jì)算成本,忽略軸及軸承等支撐結(jié)構(gòu)的影響。鑒于靜力學(xué)分析中質(zhì)量分布不會(huì)影響分析結(jié)果,因此在模型中僅考慮可能產(chǎn)生嚙合的5 對(duì)輪齒,其他部分簡(jiǎn)化為一個(gè)輪緣圓柱,并分別在大小輪內(nèi)孔面與其對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)軸線上的參考點(diǎn)之間建立剛性耦合約束,在大輪耦合節(jié)點(diǎn)施加負(fù)載扭矩,在小輪耦合節(jié)點(diǎn)施加轉(zhuǎn)動(dòng)位移,以此來(lái)模擬小輪通過(guò)與大輪嚙合抵消大輪反抗扭矩帶動(dòng)大輪運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際工況,邊界條件如圖 3 所示。對(duì)可能發(fā)生接觸的 5 對(duì)

8、輪齒進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化,齒厚方向最小網(wǎng)格尺寸為 0. 037 mm,齒高方向最小網(wǎng)格尺寸為 0. 142 mm,總節(jié)點(diǎn)數(shù)為180 462,總單元數(shù)為158 592。網(wǎng)格模型如圖 4 所示。將大輪及小輪的工作齒面定義為接觸對(duì),暫不考慮摩擦對(duì)嚙合剛度的影響。采用隱式靜力學(xué)分析算法,輸出接觸力及大小輪的繞自身旋轉(zhuǎn)軸線的旋轉(zhuǎn)位移歷程曲線。2. 2 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算理論上,標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪的靜態(tài)傳遞誤差為零,但考慮到有限元模型不可避免地存在網(wǎng)格劃分帶來(lái)的幾何誤差,且有限元分析時(shí)必須要有完整的邊界約束條件,因此,本文近似以大輪負(fù)載為13. 2 N&m 時(shí)的傳遞誤差作為無(wú)負(fù)載傳遞誤差,該負(fù)載與額定負(fù)載

9、660 N&m 相比較小,產(chǎn)生的輪齒接觸變形及彎曲變形可以忽略不計(jì)?；谏鲜鳊X輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算方法,計(jì)算得到該齒輪副時(shí)變嚙合剛度曲線,并與 ISO6336: 2006 給出的計(jì)算公式得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖 5 所示。由圖 5 可知,所提出的方法得到的時(shí)變嚙合剛度曲線與 ISO6336: 2006 方法計(jì)算結(jié)果相比,平均值相對(duì)誤差為 5. 86%。因此可以證明所提出的齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法的正確性,同時(shí)說(shuō)明有限元模型已足夠精確。3、 面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度數(shù)值計(jì)算3. 1 有限元模型面齒輪傳動(dòng)幾何參數(shù)如表 2 所示,其中面齒輪輪緣系數(shù)定義為面齒輪輪齒高度與面齒輪齒根平面到面齒輪齒底平面之間

10、距離的比值。采用上述有限元建模方法,將可能發(fā)生接觸的 5 對(duì)輪齒之外的部分簡(jiǎn)化為一個(gè)階梯圓柱,忽略軸及軸承等支撐結(jié)構(gòu)變形對(duì)面齒輪傳動(dòng)接觸位置的影響,在小輪內(nèi)孔面與位于其旋轉(zhuǎn)軸線上的參考節(jié)點(diǎn)之間建立剛性耦合約束,在面齒輪與位于其旋轉(zhuǎn)軸線上的參考節(jié)點(diǎn)之間建立剛性耦合約束,即將軸及軸承簡(jiǎn)化為剛性支撐,在小輪參考節(jié)點(diǎn)施加旋轉(zhuǎn)位移,在面齒輪參考節(jié)點(diǎn)施加負(fù)載扭矩,以模擬小輪通過(guò)與大輪嚙合作用帶動(dòng)大輪抵消負(fù)載扭矩而運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際工況,邊界條件設(shè)置如圖 6 所示。對(duì)于未修形的直齒面齒輪傳動(dòng)而言,面齒輪由齒頂進(jìn)入嚙合,由齒根退出嚙合,其理論接觸軌跡在齒高方向大致呈一條豎直線。經(jīng)齒輪接觸分析得到,該對(duì)齒輪理論接觸軌跡

11、大致位于半徑為164. 4 mm 處,因此對(duì)面齒輪靠近內(nèi)端的一半輪齒及配對(duì)小輪對(duì)應(yīng)嚙合位置進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化,其網(wǎng)格密度與上述直齒圓柱齒輪模型中細(xì)化部分網(wǎng)格密度基本一致,總節(jié)點(diǎn)數(shù)為242 312,總單元數(shù)為201 420,網(wǎng)格模型如圖 7 所示。接觸定義、材料參數(shù)及分析步設(shè)置與上述直齒圓柱齒輪有限元模型保持一致。此時(shí)對(duì)于單個(gè)面齒輪輪齒而言,約有 54 個(gè)計(jì)算點(diǎn)。3. 2 面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度數(shù)值計(jì)算采用上述有限元模型,在大輪額定載荷為1536. 8 N&m 條件下,取負(fù)載為 38. 42 N&m 時(shí)的傳遞誤差為無(wú)負(fù)載傳遞誤差。額定載荷作用下各齒對(duì)法向接觸力歷程曲線如圖 8 所示。由圖 8 可知,該對(duì)齒

12、輪副存在雙齒接觸區(qū)(DT) 及三齒接觸區(qū)(TT) ,并且,由于在三齒接觸區(qū)時(shí)前一對(duì)輪齒即將退出嚙合,后一對(duì)輪齒剛剛進(jìn)入嚙合,齒間載荷分布非常不均勻,因此該對(duì)輪齒法向接觸力最大值出現(xiàn)在該嚙合區(qū)域。進(jìn)一步根據(jù)式(6) 計(jì)算得到面齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度曲線,如圖 9 所示。由圖 9 可以看出,面齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度曲線類似于一條正弦曲線,呈現(xiàn)明顯的周期特征,其最小值大致出現(xiàn)在三齒接觸區(qū)內(nèi)前后兩對(duì)輪齒受載相同的位置(圖 8中點(diǎn) A 處) 。此時(shí)該兩對(duì)輪齒約各承擔(dān)總載荷的6. 44% ,中間一對(duì)輪齒約承擔(dān)總載荷的 87. 15% ,齒間載荷的分布非常不均勻,并且此時(shí)前后兩對(duì)輪齒分別在靠近齒根及齒頂位置接觸

13、,因此該嚙合位置齒輪副彈性綜合變形最大,嚙合剛度最小。嚙合剛度最大值出現(xiàn)在雙齒嚙合區(qū)內(nèi)參與嚙合的兩對(duì)輪齒受載相同的位置(圖 8 中點(diǎn) B 處) ,此時(shí)該兩對(duì)輪齒各承擔(dān)總載荷的 50%,載荷分布最為均勻,因此該嚙合位置齒輪彈性綜合變形最小,嚙合剛度最大。圖 9 時(shí)變嚙合剛度曲線(T =1536. 8 N&m)4、 結(jié)論(1) 提出了一種新的齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度數(shù)值計(jì)算方法,并給出了相應(yīng)的加載接觸分析有限元建模方法。(2) 以直齒圓柱齒輪為例,采用該方法得到該齒輪副時(shí)變嚙合剛度曲線,與 ISO6336 方法計(jì)算結(jié)果相對(duì)比,驗(yàn)證了上述方法的正確性及所建有限元模型的精確性。(3) 應(yīng)用該嚙合剛度數(shù)值計(jì)算方法得到了面齒輪傳動(dòng)載荷分布規(guī)律及時(shí)變嚙合剛度曲線。