2020年昌平二模數(shù)學(xué)

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1、昌平區(qū)2020年高三年級第二次統(tǒng)一練習(xí) 數(shù) 學(xué) 試 卷 （滿分150分，考試時間 120分鐘）2020.6 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 （1）已知集合，則集合 （A） （B） （C） （D） （2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則實數(shù) （A） （B） （C） （D） （3）在的展開式中，的系數(shù)為 （A） （B） （C）

2、 （D） （4）已知向量，.若，則實數(shù)的值為 （A） （B） （C） （D） （5）設(shè)，則 （A） （B） （C） （D） （6）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是 （A） （B） （C） （D） （7）已知點是雙曲線的一條漸近線上一點，是雙曲線的右焦點，若△的面積為，則點的橫坐標(biāo)為 （A） （B） （C） （D） （8）已知函數(shù)，則“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“”的 （

3、A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （9）點在函數(shù)的圖象上.若滿足到直線的距離為的點有且僅有3個，則實數(shù)的值為 （A） （B） （C） （D） （10）一次數(shù)學(xué)考試共有8道判斷題，每道題5分，滿分40分.規(guī)定正確的畫√，錯誤的畫╳.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的解答及得分情況如下表所示，則m的值為 題號 學(xué)生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 ╳ √ ╳

4、 √ ╳ ╳ √ ╳ 30 乙 ╳ ╳ √ √ √ ╳ ╳ √ 25 丙 √ ╳ ╳ ╳ √ √ √ ╳ 25 丁 ╳ √ ╳ √ √ ╳ √ √ m （A） （B） （C） （D） 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。 (11) 已知，則的最小值為_________ . （12）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前n項和 ． （13）已知點在拋物線上，若以點為圓

5、心的圓與軸和其準(zhǔn)線都相切，則點到其頂點的距離為__ . （14） 在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱， 點在角的終邊上.若， 則________ ；_____ . （15）曲線C: ,點在曲線上．給出下列三個結(jié)論： ①曲線關(guān)于軸對稱； ②曲線上的點的橫坐標(biāo)的取值范圍是； ③若,，則存在點,使△的面積大于. 其中，所有正確結(jié)論的序號是________． 注：本題給出的結(jié)論中，有多個符合題目要求。全部選對得5分，不選或有錯選得分，其他得3分。 三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （16）（本小題14分） 在中

6、， （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，,求的面積. (17)（本小題14分） 如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點，________ ，求證：四邊形是直角梯形，并求直線與平面所成角的正弦值. 從①；②平面這兩個條件中選一個，補充在上面問題中，并完成解答； 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分. （18）（本小題14分） 為了認真貫徹落實北京市教委關(guān)于做好中小學(xué)生延期開學(xué)期間“停課不停學(xué)

7、”工作要求，各校以教師線上指導(dǎo)幫助和學(xué)生居家自主學(xué)習(xí)相結(jié)合的教學(xué)模式積極開展工作，并鼓勵學(xué)生積極開展鍛煉身體和課外閱讀活動.為了解學(xué)生居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體的情況，從某校高三年級隨機抽取了100名學(xué)生，獲得了他們一天中用于居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體的總時間分別在（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）. （Ⅰ）由圖中數(shù)據(jù)求的值，并估計從該校高三年級中隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生該天居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體的總時間在的概率； （Ⅱ）為了進一步了解學(xué)生該天鍛煉身體的情況，現(xiàn)從抽取的100名學(xué)生該天居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體的總時間在和的人

8、中任選3人，求其中在的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望； （III）假設(shè)同一時間段中的每個數(shù)據(jù)可用該時間段的中點值代替，試估計樣本中的100名學(xué)生該天居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體總時間的平均數(shù)在哪個時間段？（只需寫出結(jié)論） （19）（本小題15分） 已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點(在下方)，且．過點的直線與橢圓交于兩點（不與重合）． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）證明：直線的斜率與直線的斜率乘積為定值．

9、 （20）（本小題14分） 已知函數(shù) （Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程； （II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （III）當(dāng)時，比較與的大小. （21）（本小題14分） 已知有限數(shù)列，從數(shù)列中選取第項、第項、、第項，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，，則稱新數(shù)列為的長度為的子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項都是的長度為1的子列．若數(shù)列的每一子列的所有項的和都不相同，則稱數(shù)列為完全數(shù)列． 設(shè)數(shù)列滿足. （Ⅰ）判斷下面數(shù)列的兩個子列是否

10、為完全數(shù)列，并說明由； 數(shù)列⑴：；數(shù)列⑵：． （Ⅱ）數(shù)列的子列長度為，且為完全數(shù)列，證明：的最大值為6； （Ⅲ）數(shù)列的子列長度，且為完全數(shù)列，求的最大值． 昌平區(qū)2020年高三年級第二次統(tǒng)一練習(xí) 數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2020.6 一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） 題 號 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答 案 B D C A B Ｃ Ａ

11、A C B 二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分） （11） （12） 　 （13） （14） ； （15）①② （注：第14題第一空3分,第二空2分；第15題全部選對得5分，不選或有錯選得分，其他得3分.） 三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． （16）（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）在中，由正弦定理， 因為， 所以 ……………..2分 因為， 所以

12、 所以 ……………..4分 因為， 所以. ……………..6分 （Ⅱ）因為，，由余弦定理可得 . ……………..8分 所以 ……………..12分 所以. ……………..14分 （17）（本小題滿分14分

13、） 解1；選擇① 因為平面， 所以，. ……………..1分 因為， 所以. 因為， 所以. 所以. …………….4分 因為， 所以平面. …………….6分 所以. 因為， 所以. …………….7分 所以四邊形是直角梯形. 解2；選擇② 因為平面， 所以，.

14、 ……………..1分 因為， 所以. 因為， 所以. 所以.…………….4分 因為， 所以平面. 所以. …………….6分 因為平面，平面，平面平面， 所以. 所以四邊形是直角梯形. …………….7分 過作的垂線交于點. 因為平面， 所以. ………

15、…….8分 如圖建立空間直角坐標(biāo)系. …………….9分 則. 因為為中點， 所以. 所以. …………….10分 設(shè)平面的法向量為，則 即 …………….11分 令則. 于是. …………….12分 設(shè)直線與平面所成的角為， 所以. 所以直線與平面所成角的正弦值為. …………….14分 (18)（本

16、小題滿分14分） 解：（Ⅰ）因為， 所以. …………….2分 因為， 所以居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體總時間該天在的學(xué)生有人. …….3分 所以從該校高三年級中隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生該天居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體總時間在的概率為. …………….5分 （Ⅱ）由圖中數(shù)據(jù)可知該天居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體總時間在和的人分別有5人和3人. …………….6分

17、 所以的所有可能取值為0,1,2,3. …………….7分 ， , ，. …………….9分 所以的分布列為 所以的期望. ………….11分 （III）樣本中的100名學(xué)生該天居家自主學(xué)習(xí)和鍛煉身體總時間的平均數(shù)在. …14分 (19)（本小題滿分15分） 解：（Ⅰ）由題意得解得

18、 …………….3分 即橢圓的方程為． …………….5分 （Ⅱ）法一 由題意，直線的斜率存在. 當(dāng)時，直線的方程為. 代入橢圓方程有. 則. 所以 所以 …………….8分 當(dāng)時，則直線的方程為． 由，得. …………….9分 設(shè)，， 則． …………10分 又， 所以，.

19、 …………….11分 因為 即直線的斜率與直線的斜率乘積為定值． …………….15分 法二 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為． …………….6分 由，得. …………….7分 設(shè)，， 則． …………….9分 又， 所以，. …………….11分 因為 即直線的斜率與直線的斜率乘積為定值． …………….15分 (20)（

20、本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）當(dāng)時， 因為， …………….1分 所以. …………….2分 所以曲線在點處的切線方程為. …………….4分 （II）定義域為. 因為 ①當(dāng)時，恒成立. 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增. …………….5分 ②當(dāng)時，恒成立. 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增. …………….6分 ③當(dāng)時，令，則或. …………….7分 所以當(dāng)時

21、，或； 當(dāng)時，. …………….8分 所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減. …………….9分 綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減. （III）法一：由（Ⅱ）可知， （1）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 所以當(dāng)時， 因為， 所以. …………….10分 （2）當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減. ①當(dāng)，即時，. 所以當(dāng)時，

22、 函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增， 所以. …………….11分 ②當(dāng)，即時，. 由上可知， 因為， 設(shè). 因為， 所以在上單調(diào)遞增. 所以. 所以 所以. …………….13分 ③當(dāng)，即時，. 因為函數(shù)在上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時，.

23、 所以. 綜上可知，當(dāng)時，. …………….14分 （III）法二： 因為， ①當(dāng)時， 因為， 所以. 所以. ……………10分 ②當(dāng)時， 因為， 所以. 所以.. 11分 設(shè). 因為， 所以當(dāng)時，或， 當(dāng)時，. …………….12分 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. ……………13分 所以. 所以當(dāng)時，. …………….14分 (21)（本小題滿分14分）

24、 解：（Ⅰ）數(shù)列⑴不是的完全數(shù)列；數(shù)列⑵是的完全數(shù)列． …………….2分 理由如下： 數(shù)列⑴：中，因為，所以數(shù)列⑴不是的完全數(shù)列； 數(shù)列⑵：中，所有項的和都不相等，數(shù)列⑵是的完全數(shù)列．….4分 （Ⅱ）假設(shè)數(shù)列長度為，不妨設(shè)，各項為． 考慮數(shù)列的長度為的所有子列，一共有個． 記數(shù)列的長度為的所有子列中，各個子列的所有項之和的最小值為，最大值為. 所以，． 所以其中必有兩個子列的所有項之和相同． 所以假設(shè)不成立． 再考慮長度為6的子列：12，18，21，23，24，25，滿足題意. 所以子列的最大長度為6． …………….9分 （Ⅲ）數(shù)列的子列長度，且為完全數(shù)列，且各項為 ． 所以，由題意得，這5項中任意項之和不小于． 即對于任意的，有， 即. 對于任意的， ， 設(shè)（），則數(shù)列的前項和． 下面證明：． 因為 ， 所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立． 所以的最大值為． …………….14分