2013高一數學必修1教師用書：第二章§5簡單的冪函數(北師大版).ppt

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1、第 二 章 函 數 理解教材新知 5 簡 單 的 冪 函 數 把握熱點考向 應用創(chuàng)新演練 考點一 考點二 考點三 知識點一 知識點二 我們學習過幾種基本初等函數如正比例函數 y x，反 比例函數 y x 1，二次函數 y x2.看下面兩個例子： (1)如果正方體的棱長為 x，正方體的體積為 y； (2)如果正方形場地面積為 x，其邊長為 y. 問題 1：在第一個例子中， y關于 x的函數關系式怎樣？ 提示： y x3. 問題 2 ：在第二個例子中， y 關于 x 的函數關系式怎樣？ 提示： y x ，即

2、y x . 問題 3 ：這兩個問題中的函數關系式與 y x 、 y x 1 、 y x 2 有什么共同特點 提示： 都具備冪的形式，其中冪底數是自變量 x ，冪指 數是常數 12 如果一個函數，底數是 ，指數是 ， 即 y ，這樣的函數稱為冪函數 . 自變量 x 常量 x 給定我們熟悉的四個函數 f ( x ) x 2 ， f ( x ) | x |， f ( x ) x ， f ( x ) 1 x . 問題 1 ：函數 f ( x ) x 2 與 f ( x ) | x |的圖像各關于什么對稱？ 以 x

3、 代替 x 函數值發(fā)生變化嗎？ 提示： 都關于 y 軸對稱；以 x 代替 x 各自的函數值不發(fā) 生變化，即 f ( x ) f ( x ) 問題 2 ：函數 f ( x ) x 與 f ( x ) 1 x 的圖像各關于什么對稱？ 以 x 代替 x 函數值發(fā)生變化嗎？ 提示： 都關于原點對稱；以 x 代替 x 各自的函數值互為 相反數 , 即 f ( x ) f ( x ) (1)一般地，圖像關于 對稱的函數叫作奇函數， 圖像關于 對稱的函數叫作偶函數 (2)一般地，如果對于函數 f(x)的定義域內 一個 x， 都有

4、 ，那么函數 f(x)一定是偶函數 (3)一般地，如果對于函數 f(x)的定義域內 一個 x， 都有 ，那么函數 f(x)一定是奇函數 原點 y軸 任意 f( x) f(x) 任意 f( x) f(x) 1冪函數的定義是一種形式上的定義，只有符合 y x這種形式的函數才是冪函數 2奇偶性是函數在定義域上的對稱性，是相對整 個定義域來說的，是函數的整體性質，只有對定義域中 的每一個 x，都有 f( x) f(x)(或 f( x) f(x))，才能說 f(x)是奇 (偶 )函數 例 1 下列函數中是

5、冪函數的是 ( ) y 1 x 3 ； y ax m ( a ， m 為非零常數，且 a 1) ； y x x 4 ； y x n ； y ( x 6) 3 ； y 8 x 2 ； y x 2 x ； y 1. A B C D 思路點撥 解答本題可先考慮冪函數的定義，緊緊抓 住其形式特點再一一判斷 1 5 精解詳析 由冪函數的定義：形如 y x ( R) 的 函數才是冪函數，則 y 1 x 3 x 3 ， y x n 是冪函數 答案 B 一點通 冪函數 y x(

6、 R)，其中 為常數，其本 質特征是以冪底 x為自變量，指數 為常數 (也可以為 0)這是判斷一個函數是否為冪函數的重要依據之一 1 在函數 y 1 x ， y 2 x 3 ， y x 2 1 ， y ( x 1) 3 中， 冪函數的個數為 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析： 形如 y x 的函數才是冪函數，其 x 前的系 數為 1 ， 為實常數，故只有 y 1 x x 是冪函數 答案： A 12 2 已知 y ( m 2 2 m 2 ) x (2 n 3) 是冪函數， 求 m 、

7、n 的值 解： 由題意得： m 2 2 m 2 1 ， m 2 10 ， 2 n 3 0 ， 解得 m 3 ， n 3 2 . 所以 m 3 ， n 3 2 為所求 . 1 m2 1 例 2 點 ( 2 ， 2) 與點 2 ， 1 2 分別在冪函數 f ( x ) 、 g ( x ) 的圖像上，問當 x 為何值時，有 f ( x ) g ( x ) ； f ( x ) g ( x ) ； f ( x )g(x)； 當 x 1時， f(x) g(x)； 當 x (0,1)時， f(x)0，解得 x2或 x0

8、 和 x <0 的情況下考察 f ( x ) 與 f ( x ) 的關系 精解詳析 ( 1) 函數的定義域為 ( ， 0) (0 ， ) ，關 于原點對稱， 又 f ( x ) 1 3 x 5 1 3 x 5 1 3 x 5 f ( x ) ， 函數 f ( x ) 1 3 x 5 是奇函數； ( 2) 函數的定義域為 ( ， ) ，關于原點對稱 又 f ( x ) 3 x 2 3 x 2 f ( x ) ， f ( x ) 3 x 2 是偶函數； ( 3) 易知定義域為 2,2 ，關于原點對稱 f ( x )

9、0 ，所 以滿足 f ( x ) f ( x ) 且 f ( x ) f ( x ) 所以 f ( x ) 既是奇函數 又是偶函數； (4)當 x 0時， x 0， f( x) ( x)2 2( x) 3 x2 2x 3 f(x)； 當 x 0時， x 0， f( x) ( x)2 2( x) 3 x2 2x 3 ( x2 2x 3) f(x)， 綜上可知， f(x)為奇函數 一點通 利用定義判斷函數奇偶性的步驟： (1)先求函數的定義域，看定義域是否關于原點對稱 (2)若定義域不關于原點對稱，函數非奇非偶 若定義域關于

10、原點對稱，看 f( x)與 f(x)及 f(x)的關系 (3)若 f( x) f(x)，則函數是奇函數； 若 f( x) f(x)，則函數是偶函數； 若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，則函數既是奇函數又是 偶函數 5若函數 y (x 1)(x a)為偶函數，則 a ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 解析： f(x) (x 1)(x a)是偶函數， f( x) ( x 1)( x a) f(x)恒成立 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a恒成立 a 1 0，即 a 1.

11、 答案： C 6 判斷下列函數的奇偶性： (1) f ( x ) 3 x x 2 3 ； (2) f ( x ) | x 1| | x 1| ； (3) f ( x ) 2 x 2 2 x x 1 . 解： ( 1) f ( x ) 的定義域是 R ， 又 f ( x ) 3 x x 2 3 3 x x 2 3 f ( x ) ， f ( x ) 是奇函數； (2) f ( x ) 的定義域是 R ， 又 f ( x ) | x 1| | x 1| | x 1| | x 1| f ( x ) ， f ( x

12、 ) 是偶函數； (3) 函數 f ( x ) 的定義域是 ( ， 1) ( 1 ， ) ， 不關于原點對稱， f ( x ) 是非奇非偶函數 7已知函數 f(x) ax2 bx 3a b為偶函數，其定義 域為 a 1,2a，求 f(x)的值域 解： f ( x ) ax 2 bx 3 a b 為 a 1,2 a 上的偶函數， a 1 2 a 0 ， b 0. a 1 3 ， b 0. 即 f ( x ) 1 3 x 2 1. 所以 f ( x ) 1 3 x 2 1 在 2 3 ， 2 3 上的值域為 1 ， 31 27 . 1 判斷一個函數是否是冪函數應嚴格按其定義判斷 2 冪函數性質可以通過其圖像研究，只需掌握 1,2,3 ， 1 2 ， 1 這幾種情況即可，其它的不做研究 3判斷函數的奇偶性的方法： (1)定義法； (2)圖像法：若函數的圖像關于原點對稱，函數是 奇函數；若函數的圖像關于 y軸對稱，函數是偶函數 點擊下列圖片進 入應用創(chuàng)新演練