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1、 第一節(jié) 總體與樣本、經驗分布函數 一、數理統(tǒng)計的基本概念 一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象 . 1.總體 研究對象的全體稱為 總體 (母體 )， 總體中每個成員稱為 個體 . 研究某批燈泡的質量 總體 考察國產轎車的質量 總體 然而在統(tǒng)計研究中，人們關心總體僅僅是關心 其每個個體的一項 (或幾項 )數量指標和該數量指標 在總體中的分布情況 . 這時，每個個體具有的數量 指標的全體就是總體 . 該批燈泡壽命的 燈泡的壽命 國產轎車每公里 的耗油量 所有國產轎車每公里耗 油量的全體就是總體 全體就是總體 考察某大學一年級 學生的年齡 某大學一年級全體 學生的年齡構成問 題的總體 總體可以用一個隨
2、機變量來表示 設該大學一年級學生 的年齡分布如下表 年齡 18 19 20 21 22 比例 0.5 0.3 0.1 0.07 0.03 若從該大學一年級學生中任 意抽查一個學生的年齡，所 得結果為一隨機變量，記作 X. X的概率分布是： 03.007.01.03.05.0 2221201918 可見， X的概率分布 也就是說， 總體可以用一個隨機變量及其分布 來描述 . 反映了總體中各個值的分 布情況 . 很自然地，我們 就用隨機變量 X來表示所 考察的總體 . 為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體 2. 樣本 從國產轎車中抽 5輛 進行耗油量試驗 樣本容量為 5 中抽取若干個體進行觀
3、察試驗，以獲得有關總體的信 息 , 這一抽取過程稱為 “抽樣” , 所抽取的部分個體稱 為 樣本 . 樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量 . 但是 , 一旦取定一組樣本 , 得到的是 n個具體的數 樣本是隨機變量 . 抽到哪 5輛是隨機的 容量為 n 的樣本可以看作 n 維隨機變量 ,記作 12( , , , ) .nX X X (x1 , x2 , , xn)，稱為 樣本的一次觀察值 ，簡稱 樣本值 . 由于抽樣的目的是為了對總體進行統(tǒng)計推斷，為 了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮 抽樣方法 . 最常用的一種抽樣方法叫作“ 簡單隨機抽樣 ”， 它要求抽取的樣本滿足下面兩點 : 1
4、. 代表性 ： X1,X2, Xn中每一個與所考察的總體有 相同的分布 . 2. 獨立性 ： X1,X2, Xn是相互獨立的隨機變量 . 由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為 簡單隨機樣本 ， 它可以用與總體獨立同分布的 n個相互獨立的隨機變 量 X1,X2, Xn表示 . 若總體的分布函數為 F(x)，則其簡單隨機樣本的 聯合分布函數為 若總體的分布密度函數為 f (x) , 則樣本的聯合密度函 數為 12 1 ( , , , ) ( ) . n ni i f x x x f x )()()(),( 2121 nn xFxFxFxxxF ,2,1 ipxXP ii 則 X1， X2， ， Xn的聯合
5、分布律為 1212 1 , , , nj n i i n i i j P X x X x X x p 若 X的分布律為 簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當 說 1 , 2 , ( 1 , 2 , , )ji j n 到“ X1, X2 , Xn 是取自某總體的樣本”時，若不特別 說明，就指簡單隨機樣本 . 例 1 設總體 X B(1, p)， X1， X2， ， Xn為取自總體 X的樣本，求樣本 X1， X2， ， Xn的聯合分布（稱為 樣本分布） . 1,0)1( 1 xppxXP xx 解 所以樣本 X1， X2， ， Xn的聯合分布律為 1 1 2 2, , , nnP X x
6、X x X x 111 1 ( 1 ) ( 1 ) , nn ii i i i i n x n x xx i p p p p 0 , 1 1 , 2 , ,ix i n X的分布律為 若總體 X 服從正態(tài)分布 , 則稱總體 X為正態(tài)總體 . 設 12( , , , )nX X X 是容量為 n 的簡單隨機樣本 , 則其聯合 概率密度函數為 2 12 1 11( , , , ) e x p 22 n i n i xf x x x 22 1 11 e x p 22 n n i i x 二、簡單數據處理 通過觀察或試驗得到的樣本值， 一般是雜亂無章的， 需要進行整理才能從總體上呈現其統(tǒng)計規(guī)律性 ,
7、據統(tǒng)計表 和 頻率直方圖 是兩種常用的整理方法 . 分組數 1. 分組數據統(tǒng)計表 若樣本值較多時 ,可將其分成若干組 ,分組的組數 應與樣本容量相適應 . 分組太少 ,則難以反映出分布的 特征 ,分組太多 , 則由于樣本取值的隨機性而使分布顯 得雜亂 . 因此 ,分組時 ,確定分組數 (或組距 )應以突出 分 布的特征并沖淡樣本的隨機波動性為原則 . 區(qū)間所含的樣本值個數稱為該區(qū)間的 組頻數 .組頻 數與總的樣本容量之比稱為 組頻率 . 2. 頻率直方圖： 頻率直方圖能直觀地表示出組頻 率數的分布 . 其步驟如下： (1) 設 nxxx , 21 是樣本 n 個觀察值 . 的 nxxx , 2
8、1 中 求出 )1(x 和最 的最小者 ;)(nx大者 將區(qū)間 , ba 等分成 m個小區(qū)間 m 使 nm/(一般取 (2) a（略小于 )1(x ） 和 b（略大于 )(nx ), 選取常數 并 在 10/1 左右， 且小區(qū)間不包含右端點 )： );,1(), mim abtttt ii (3) 組頻率 ,ii fnn 及 );,2,1(, nitfh ii ,in求組頻數 (4) 在 , ttt ii 上以 ih 為高， 其面積恰為 ,if 所有小矩形合在一起就構成了頻率 所有小矩形合在一起就構成了頻率 直方圖 . 典型的頻率直方圖如下圖所示 . t t f i O a bttt ii 3
9、. 經驗分布函數 一組觀察值，將其從小到大排列成 ( 1 ) ( 2 ) ( ) .nx x x 設 12, , , nX X X 是一個隨機樣本， 12, , , nx x x 為其 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) () 0 , ; ( ) , ; 1 , . n k k n xx k F x x x x n xx 定義 稱 Fn(x) 為樣本分布函數或經驗分布函數 . 格里汶科定理： 對于任一實數 x , 當 n 時， ()nFx 以概率 1一致收斂于分布函數 ( ),Fx 即 l i m s u p ( ) ( ) 0 1 .nn x P F x F x 關于經驗分布函數的一個定
10、理 例 2 設一個樣本由六個 7, 八個 8, 九個 9和十個 10組 成 . 求樣本容量 n 樣本均值 x， 樣本方差 s2 及經驗分布 函數 ()nFx. 解 樣本容量為 6 7 8 9 1 0 4 0n 40 1 1 6 6 7 7 8 8 9 9 1 0 1 0 8 . 2 5 4 0 4 0iixx 2240 22 1 1 (6 8 . 2 5 ) 6 ( 1 0 8 . 2 5 ) 1 0( ) 1 . 9 8 7 2 3 9 3 9iis x x 經驗分布函數為 0 , 6 , 6 40 , 6 7, 13 40 , 7 8 , () 21 40 , 8 9 , 30 40 , 9 10 , 1 , 10 . n x x x Fx x x x
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