總體與樣本-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(李長青版).ppt

第一節(jié) 總體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 一、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 一個統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對象 . 1.總體 研究對象的全體稱為 總體 (母體 )， 總體中每個成員稱為 個體 . 研究某批燈泡的質(zhì)量 總體 考察國產(chǎn)轎車的質(zhì)量 總體 然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心 其每個個體的一項(xiàng) (或幾項(xiàng) )數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo) 在總體中的分布情況 . 這時，每個個體具有的數(shù)量 指標(biāo)的全體就是總體 . 該批燈泡壽命的 燈泡的壽命 國產(chǎn)轎車每公里 的耗油量 所有國產(chǎn)轎車每公里耗 油量的全體就是總體 全體就是總體 考察某大學(xué)一年級 學(xué)生的年齡 某大學(xué)一年級全體 學(xué)生的年齡構(gòu)成問 題的總體 總體可以用一個隨機(jī)變量來表示 設(shè)該大學(xué)一年級學(xué)生 的年齡分布如下表 年齡 18 19 20 21 22 比例 0.5 0.3 0.1 0.07 0.03 若從該大學(xué)一年級學(xué)生中任 意抽查一個學(xué)生的年齡，所 得結(jié)果為一隨機(jī)變量，記作 X. X的概率分布是： 03.007.01.03.05.0 2221201918 可見， X的概率分布 也就是說， 總體可以用一個隨機(jī)變量及其分布 來描述 . 反映了總體中各個值的分 布情況 . 很自然地，我們 就用隨機(jī)變量 X來表示所 考察的總體 . 為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體 2. 樣本 從國產(chǎn)轎車中抽 5輛 進(jìn)行耗油量試驗(yàn) 樣本容量為 5 中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信 息 , 這一抽取過程稱為 “抽樣” , 所抽取的部分個體稱 為 樣本 . 樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量 . 但是 , 一旦取定一組樣本 , 得到的是 n個具體的數(shù) 樣本是隨機(jī)變量 . 抽到哪 5輛是隨機(jī)的 容量為 n 的樣本可以看作 n 維隨機(jī)變量 ,記作 12( , , , ) .nX X X (x1 , x2 , , xn)，稱為 樣本的一次觀察值 ，簡稱 樣本值 . 由于抽樣的目的是為了對總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為 了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮 抽樣方法 . 最常用的一種抽樣方法叫作“ 簡單隨機(jī)抽樣 ”， 它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn) : 1. 代表性 ： X1,X2, Xn中每一個與所考察的總體有 相同的分布 . 2. 獨(dú)立性 ： X1,X2, Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 . 由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為 簡單隨機(jī)樣本 ， 它可以用與總體獨(dú)立同分布的 n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變 量 X1,X2, Xn表示 . 若總體的分布函數(shù)為 F(x)，則其簡單隨機(jī)樣本的 聯(lián)合分布函數(shù)為 若總體的分布密度函數(shù)為 f (x) , 則樣本的聯(lián)合密度函 數(shù)為 12 1 ( , , , ) ( ) . n ni i f x x x f x )()()(),( 2121 nn xFxFxFxxxF ,2,1 ipxXP ii 則 X1， X2， ， Xn的聯(lián)合分布律為 1212 1 , , , nj n i i n i i j P X x X x X x p 若 X的分布律為 簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng) 說 1 , 2 , ( 1 , 2 , , )ji j n 到“ X1, X2 , Xn 是取自某總體的樣本”時，若不特別 說明，就指簡單隨機(jī)樣本 . 例 1 設(shè)總體 X B(1, p)， X1， X2， ， Xn為取自總體 X的樣本，求樣本 X1， X2， ， Xn的聯(lián)合分布（稱為 樣本分布） . 1,0)1( 1 xppxXP xx 解 所以樣本 X1， X2， ， Xn的聯(lián)合分布律為 1 1 2 2, , , nnP X x X x X x 111 1 ( 1 ) ( 1 ) , nn ii i i i i n x n x xx i p p p p 0 , 1 1 , 2 , ,ix i n X的分布律為 若總體 X 服從正態(tài)分布 , 則稱總體 X為正態(tài)總體 . 設(shè) 12( , , , )nX X X 是容量為 n 的簡單隨機(jī)樣本 , 則其聯(lián)合 概率密度函數(shù)為 2 12 1 11( , , , ) e x p 22 n i n i xf x x x 22 1 11 e x p 22 n n i i x 二、簡單數(shù)據(jù)處理 通過觀察或試驗(yàn)得到的樣本值， 一般是雜亂無章的， 需要進(jìn)行整理才能從總體上呈現(xiàn)其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 , 據(jù)統(tǒng)計(jì)表 和 頻率直方圖 是兩種常用的整理方法 . 分組數(shù) 1. 分組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表 若樣本值較多時 ,可將其分成若干組 ,分組的組數(shù) 應(yīng)與樣本容量相適應(yīng) . 分組太少 ,則難以反映出分布的 特征 ,分組太多 , 則由于樣本取值的隨機(jī)性而使分布顯 得雜亂 . 因此 ,分組時 ,確定分組數(shù) (或組距 )應(yīng)以突出 分 布的特征并沖淡樣本的隨機(jī)波動性為原則 . 區(qū)間所含的樣本值個數(shù)稱為該區(qū)間的 組頻數(shù) .組頻 數(shù)與總的樣本容量之比稱為 組頻率 . 2. 頻率直方圖： 頻率直方圖能直觀地表示出組頻 率數(shù)的分布 . 其步驟如下： (1) 設(shè) nxxx , 21 是樣本 n 個觀察值 . 的 nxxx , 21 中 求出 )1(x 和最 的最小者 ;)(nx大者 將區(qū)間 , ba 等分成 m個小區(qū)間 m 使 nm/(一般取 (2) a（略小于 )1(x ） 和 b（略大于 )(nx ), 選取常數(shù) 并 在 10/1 左右， 且小區(qū)間不包含右端點(diǎn) )： );,1(), mim abtttt ii (3) 組頻率 ,ii fnn 及 );,2,1(, nitfh ii ,in求組頻數(shù) (4) 在 , ttt ii 上以 ih 為高， 其面積恰為 ,if 所有小矩形合在一起就構(gòu)成了頻率 所有小矩形合在一起就構(gòu)成了頻率 直方圖 . 典型的頻率直方圖如下圖所示 . t t f i O a bttt ii 3. 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 一組觀察值，將其從小到大排列成 ( 1 ) ( 2 ) ( ) .nx x x 設(shè) 12, , , nX X X 是一個隨機(jī)樣本， 12, , , nx x x 為其 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) () 0 , ; ( ) , ; 1 , . n k k n xx k F x x x x n xx 定義 稱 Fn(x) 為樣本分布函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) . 格里汶科定理： 對于任一實(shí)數(shù) x , 當(dāng) n 時， ()nFx 以概率 1一致收斂于分布函數(shù) ( ),Fx 即 l i m s u p ( ) ( ) 0 1 .nn x P F x F x 關(guān)于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的一個定理 例 2 設(shè)一個樣本由六個 7, 八個 8, 九個 9和十個 10組 成 . 求樣本容量 n 樣本均值 x， 樣本方差 s2 及經(jīng)驗(yàn)分布 函數(shù) ()nFx. 解 樣本容量為 6 7 8 9 1 0 4 0n 40 1 1 6 6 7 7 8 8 9 9 1 0 1 0 8 . 2 5 4 0 4 0iixx 2240 22 1 1 (6 8 . 2 5 ) 6 ( 1 0 8 . 2 5 ) 1 0( ) 1 . 9 8 7 2 3 9 3 9iis x x 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為 0 , 6 , 6 40 , 6 7, 13 40 , 7 8 , () 21 40 , 8 9 , 30 40 , 9 10 , 1 , 10 . n x x x Fx x x x