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1、,數形結合思想,萬金圣 南莫中學,2006年高考輔導講座,數形結合思想,復習目標,數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思索，使抽象思維與形象思維結合，通過“以形助數”或“以數解形”，可使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。,數形結合在解題過程中應用十分廣泛，巧妙運用數形結合的數學思想方法來解決一些抽象數學問題，可起到事半功倍的效果。,運用數形結合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程，在選擇、填空中更顯優(yōu)越。,數形結合思想應用,（一）利用函數的圖象性質解題,（二）利用曲線方程的圖象性質解題,（三）利用幾何圖形的性質解題
2、,一.利用函數的圖象性質解題,y=x2,y=2x,y=log2x,.1,.1,x=0.3,C,解析：如圖作出下列三個 函數圖象：,由比較三個函數圖象與直線x=0.3 的交點的位置關系可得結論,2、關于 x 的方程 = - +2x+a， （a0且a 1)解的個數是（ ）,(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 隨a值變化而變化,分析：構造兩個函數y= 與y= - +2x+a 由兩個函數交點個數求得方程解的個數,（1）a 1時,x,y,o,（2）0a1時,x,y,o,（1，1+a）,（1，a）,（1，1+a）,（1，a）,C,y=2-x,y=-x2+,.1,C,一.利用函數的圖象性質解題,例3
3、方程2-x+x2= 的實數解的個數為（ ）,解析：求原方程的解的個數等價 于求兩線交點的個數。,如圖所示：兩線交于兩點A，B 所以原方程解的個數為2個。,例4若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數解,求常數 k的取值范圍,. 1,y=(x+1)2 (x-1),一.利用函數的圖象性質解題,k|k=4或k0,解析：方程lg(kx)=2lg(x+1)的解 等價于兩線交點,顯然當直線y=kx(y0)介于切線 于直線y=kx(y=0)之間時，兩線只 有一個交點。,當直線處于切線位置時，k=4 （由上述方程組可得）,所以，的取值范圍為k=4或k0,如圖：,(二)利用曲線方程的圖象性質解題,解：上
4、述不等式等價于,由圖可知，解出交點A的橫標： x0= ，則上述不等式的 解集為：,x|-3 x ,如圖：,2、設函數 其中 a 0 ，解不等式f (x)1,分析：要解不等式 1 即 1+ax,進而轉化為y= 與y=1+ax兩函 數圖象關系。只要求使y=1+ax圖象在 y= 上方的自變量x取值范圍。,(二)利用曲線方程的圖象性質解題,2設函數 ， 其中 a 0解不等式f (x)1,x,y,o,y= ax+1,當a 1時，x0；,當0a 1時，0 xx0,x0,即：0 x,(二)利用曲線方程的圖象性質解題,3若函數 在區(qū)間 a , b 上的最小值為2a，最大值為2b，求a , b ,x,y,o,3
5、若函數 在區(qū)間 a , b 上的最小值為2a，最大值為2b，求a , b ,a,b,b,a,x,x,y,y,b,b,a,a,x,x,y,y,b,a,x,y,b,a,x,y,f(0)=2b f(a)=2a,f(b)=2b f(a)=2a,無解,a,b,x,y,b,a,x,y,f(0)=2b f(b)=2a,f(a)=2b f(b)=2a,a=1 b=3,無解,(三)利用幾何圖形的性質解題,例1已知定義在區(qū)間-2，2上的偶函數f(x)，它在0，2上的解析式為 ，則不等式 的解集為。,-2,2,1,解： 原不等式可化為 。如圖,例2 設P(x0,y0)是橢圓 上任一點，F2為橢圓的右,(三)利用幾何
6、圖形的性質解題,解：如圖：,取PF2中點M，連OM、F1P,分析：欲證兩圓內切，只證兩圓心距等于半徑差即可。,所以兩圓相內切。,焦點，求證分別以PF2及橢圓長軸為直徑的兩圓必內切。,(三)利用幾何圖形的性質解題,x2=2py,(1)解：如圖：,FBB1B,連A1F，B1F，由定義，, 1 2， 3 4，,FAA1A,A B1800,又A18002 2,B18002 4,A B36002（ 2 4）1800, 2 4900， A1FB1900,A1FB1F,(三)利用幾何圖形的性質解題,x2=2py,(2)解：設A(2ph1,2ph12),B (2ph2,2ph22),(h10),直線AB方程為
7、：,y-2ph12=(h1+h2)(x-2ph1),(三)利用幾何圖形的性質解題,x2=2py,4、集合M=(x,y)|x=3cos,y=3sin,0 , N= (x,y)| y= x + b,若MN= 則b滿足 。,分析： 點集M表示的圖形是半圓，點集N表示的圖形為直線，它隨b值變化位置不斷變化。 本題即轉化為b取何值時，兩圖形沒有公共點,由圖形變化可得結論。,x,y,o,y=x+b,b1,b2,故有：bb2或bb1,即b3 或b-3,問題：b取何值時，MN分別 有兩個子集；四個子集。,b3,L1,L2,L3,如圖,5、若 均為銳角，且滿足: + + =1 求證：tan tan tan,分析：條件中的式子在什么圖形中出現過？,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,故有： tan = tan = tan =,（長方體）,b,c,a,=,tan tan tan =,=,課堂小結,（一）利用函數圖象性質解題,（二）利用曲線方程圖象的性質解題,（三）利用幾何圖形的性質解題,本節(jié)主要討論了利用數形結合思想來解決一些抽象數學問題的題型和方法：,數形結合的重點在于“以形助數”，通過“以形助數”使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。,
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