《材料力學(xué)第五版 第七章 應(yīng)力狀態(tài)答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《材料力學(xué)第五版 第七章 應(yīng)力狀態(tài)答案（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 七 章 應(yīng)力狀態(tài)與強度理論一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容1 教學(xué)目標(biāo) 通過本章學(xué)習(xí)，掌握應(yīng)力狀態(tài)的概念及其研究方法；會從具有受力桿件中截取單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況；會計算平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力；掌握平面應(yīng)力狀態(tài)和特殊空間應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、主方向的計算，并會排列主應(yīng)力的順序；掌握廣義胡克定律；了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)比能的概念；了解主應(yīng)力跡線的概念。掌握強度理論的概念。了解材料的兩種破壞形式（按破壞現(xiàn)象區(qū)分）。了解常用的四個強度理論的觀點、破壞條件、強度條件。掌握常用的四個強度理論的相當(dāng)應(yīng)力。了解莫爾強度理論的基本觀點。會用強度理論對一些簡單的桿件結(jié)構(gòu)進行強度計算。2 教學(xué)內(nèi)容應(yīng)力狀態(tài)的概念；
2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析；三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力； 廣義胡克定律體應(yīng)變；復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能；梁的主應(yīng)力主應(yīng)力跡線的概念。講解強度理論的概念及材料的兩種破壞形式。講解常用的四個強度理論的基本觀點，并推導(dǎo)其破壞條件從而建立強度計算方法。介紹幾種強度理論的應(yīng)用范圍和各自的優(yōu)缺點。簡單介紹莫爾強度理論。二、重點難點重點：1、平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力計算，主應(yīng)力及主方向的計算，最大剪應(yīng)力的計算。2、廣義胡克定律及其應(yīng)用。難點：1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況。2、斜截面上的應(yīng)力計算公式中關(guān)于正負(fù)符號的約定。3、應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小、方向的確定。4、廣
3、義胡克定律及其應(yīng)用。5 強度理論的概念、常用的四個強度理論的觀點、強度條件及其強度計算。6 常用四個強度理論的理解。7 危險點的確定及其強度計算。三、教學(xué)方式 采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。四、建議學(xué)時 10學(xué)時五、講課提綱1、應(yīng)力狀態(tài)的概念 所謂“應(yīng)力狀態(tài)”又稱為一點處的應(yīng)力狀態(tài)（state of stresses at a given point）,是指過一點不同方向面上應(yīng)力的集合。應(yīng)力狀態(tài)分析（Analysis of Stress-State）是用平衡的方法，分析過一點不同方向面上應(yīng)力的相互關(guān)系，確定這些應(yīng)力的極大值和極小值以及它們的作用面。一點處的應(yīng)力狀態(tài)，可
4、用同一點在三個相互垂直的截面上的應(yīng)力來描述，通常是用圍繞該點取出一個微小正六面體（簡稱單元體element）來表示。單元體的表面就是應(yīng)力作用面。由于單元體微小，可以認(rèn)為單元體各表面上的應(yīng)力是均勻分布的，而且一對平行表面上的應(yīng)力情況是相同的。例如，圖7.1截面mm上ad點的應(yīng)力狀態(tài)表示方式，如圖（c）所示。圖7.17.2節(jié)中的分析將表明，一點處不同方向面上的應(yīng)力是不相同的。我們把在過一點的所有截面中，切應(yīng)力為零的截面稱為應(yīng)力主平面，簡稱為主平面（principal plane）。例如，圖（c）中a、d單元體的三對面及b、c單元體的前后一對表面均為主平面。由主平面構(gòu)成的單元體稱為主單元體（prin
5、cipal element），如圖（c）中的a、d單元體。主平面的法向稱為應(yīng)力主方向。簡稱主方向（principal direction）。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力（principal stresss），如圖（c）中a、d單元體上的及。用彈性力學(xué)方法可以證明，物體中任一點總可找到三個相互垂直的主方向，因而每一點處都有三個相互垂直的主平面和三個主應(yīng)力；但在三個主應(yīng)力中有兩個或三個主應(yīng)力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會多于三個。一點處的三個主應(yīng)力，通常按其代數(shù)值依次用來表示，如圖（c）中a、d單元體，雖然它們都只有一個不為零且絕對值相等的主應(yīng)力，但須分別用，表示。根據(jù)一點處存在幾個不為零的主
6、應(yīng)力，可以將應(yīng)力狀態(tài)分為三類：1）單向（或簡單）應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中只有一個主應(yīng)力不為零，如圖7.2（a）所示。2）二向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中有兩個主應(yīng)力不為零，如圖7.2（b）所示。3）三向（或空間）應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零，如圖7.2（c）所示。圖7.2單向及二向應(yīng)力狀態(tài)常稱為平面應(yīng)力狀態(tài)（plane state of stresses）。二向及三向應(yīng)力狀態(tài)又統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。因為，一個單向應(yīng)力狀態(tài)與另一個單向應(yīng)力狀態(tài)疊加，可能是單向、二向或零應(yīng)力狀態(tài)；一個單向應(yīng)力狀態(tài)與一個二向應(yīng)力狀態(tài)疊加，可能是單向、二向或三向應(yīng)力狀態(tài)；。也就是說，一個應(yīng)狀態(tài)與另一個應(yīng)力狀態(tài)疊加，不一定屬于原有
7、應(yīng)力狀態(tài)。對于平面應(yīng)力狀態(tài)，由于必有一個主應(yīng)力為零的主方向，可以用與該方向相垂直的平面單元來表示單元體，例如圖7.1（c）示各單元體，可以用圖7.1（d）示平面單元表示。這時，應(yīng)將零主應(yīng)力方向的單元體邊長理解為單位長度。在材料力學(xué)中所遇到的應(yīng)力狀態(tài)，主要為平面應(yīng)力狀態(tài)。本章重點討論平面應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)問題。2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析 在本節(jié)中,將介紹在平面應(yīng)力狀態(tài)下，如何根據(jù)單元體各面上的已知應(yīng)力來確定任意斜截面上的應(yīng)力。在以下討論中，取平面單元位于xy平面內(nèi)，如圖7.3（a）所示。已知x面（法線平行x軸的面）上的應(yīng)力及，y面（法線平行于y軸的面）上有應(yīng)力及。根據(jù)切應(yīng)力互等定理。現(xiàn)在需要求與z軸平行的任
8、意斜截面ab上的應(yīng)力。設(shè)斜截面ab的外法線n與x軸成角，以后簡稱該斜截面為面，并用及分別表示面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力。將應(yīng)力、角正負(fù)號規(guī)定為：角：從x方向反時針轉(zhuǎn)至面外法線n的角為正值；反之為負(fù)值。角的取值區(qū)間為或。正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。切應(yīng)力：使微元體產(chǎn)生順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢為正；反之為負(fù)?；蛘撸孛嫱夥ň€矢順時針向轉(zhuǎn)后的方向為正；反之為負(fù)。求面上的應(yīng)力、的方法，有解析法和圖解法兩種。分別介紹如下：2.1解析法利用截面法，沿截面ab將圖7.3（a）示單元切成兩部分，取其左邊部分為研究對象。設(shè)面的面積為dA，則x面、y面的面積分別為及。于是，得研究對象的受力情況如圖（b）示。該部分沿面法向
9、及切向的平衡方程分別為：圖7.3由此得（a）由，及，式（a）可改寫為： （7.1） 這就是斜面上應(yīng)力的計算公式。應(yīng)用時一定要遵循應(yīng)力及角的符號規(guī)定。如果用替代式（9.1）第一式中的，則： 從而有 （7.2）可見，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，一點處與z軸平行的兩相互垂直面上的正應(yīng)力的代數(shù)和是一個不變量。由式（7.1）可知，斜截面上的應(yīng)力、均為角的函數(shù)，即它們的大小和方向隨斜截面的方位而變化。現(xiàn)在來求它們的極限及平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力。對于斜截面上的正應(yīng)力，設(shè)極值時的角為，由得可見，取極值的截面上切應(yīng)力為零，即的極值便是單元體的主應(yīng)力。這時的可由上式求得為： （7.3）式（7.3）的在取值區(qū)間內(nèi)有兩個根及，它
10、說明與有關(guān)的兩個極值（主應(yīng)力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（7.3）求時，可以視，并按、的正負(fù)號來判定、的正負(fù)符號，從而唯一地確定或值。于是有，將以上各式代入式（7.1）的第一式，得的兩個極值（對應(yīng)面）、（對應(yīng)面）為： （7.4）可以證明，式（7.4）中的指向，是介于僅由單元體切應(yīng)力產(chǎn)生的主拉應(yīng)力指向（與x軸夾角為或）與單元體正應(yīng)力、中代數(shù)值較大的一個正應(yīng)力指向之間。式（7.4）的、為平面應(yīng)力狀態(tài)一點處三個主應(yīng)力中的兩個主應(yīng)力，它的另一個主應(yīng)力為零。至于如何根據(jù)這三個主應(yīng)力來排列、的次序，應(yīng)視、的具體數(shù)值來決定。平面應(yīng)力狀態(tài)下，切應(yīng)力極值可按下述方法確定。設(shè)極值時的角為，由得： （7
11、.5）比較式（7.3）和式（7.5），有，可見，即斜截面上切應(yīng)力的極值作用面與正應(yīng)力的極值作用面互成夾角。將由式（7.5）確定的代入式（7.1）的第二式，可以求得斜截面上切應(yīng)力極值（對應(yīng)）、（對應(yīng)）為： （7.6）這說明，斜截面上切應(yīng)力極值的絕對值，等于該點處兩個正應(yīng)力極值差的絕對值的一半。另外，由式（7.5）可得，代入式（7.1）第一式得： （7.7）可見在極值作用面上的正應(yīng)力相等，且為、的平均值。2.2圖解（莫爾圓）法平面應(yīng)力狀態(tài)分析，也可采用圖解的方法。圖解法的優(yōu)點是簡明直觀，勿須記公式。當(dāng)采用適當(dāng)?shù)淖鲌D比例時，其精確度是能滿足工程設(shè)計要求的。這里只介紹圖解法中的莫爾圓法，它是1882年
12、德國工程師莫爾（O. Mohr）對1866年德國庫爾曼（K. Culman）提出的應(yīng)力圓作進一步研究，借助應(yīng)力圓確定一點應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法。2.2.1應(yīng)力圓方程將式（9.1）改寫為： （a）于是，由上述二式得到一圓方程： （b）據(jù)此，若已知、，則在以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系中，可以畫出一個圓，其圓心為，半徑為。圓周上一點的坐標(biāo)就代表單元體一個斜截面上的應(yīng)力。因此，這個圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓（Mohr circle for stresses）。圖7.42.2.2應(yīng)力圓的畫法在已知、及（圖7.4（a），作相應(yīng)應(yīng)力圓時，先在坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，以(,)、(,)為坐標(biāo)確定x（對應(yīng)x面）、y（對
13、應(yīng)y面）兩點，（在應(yīng)力圓中，正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力以與其作用面外法線順時鐘轉(zhuǎn)向后的方向一致時為正）。然后直線連接x、y兩點交軸于C點，并以C點圓心，以或為半徑畫圓，此圓就是應(yīng)力圓，如圖7.4（b）。從圖中不難看出，應(yīng)力圓的圓心及半徑，與式（b）完全相同。2.2.3幾種對應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓上的點與平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力有如下對應(yīng)關(guān)系：1） 點面對應(yīng)應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)對應(yīng)單元體某一方面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖（9.4（a）上的n點的坐標(biāo)即為斜截面面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。2）轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時，半徑端點的坐標(biāo)隨之改變，對應(yīng)地，斜截面外法線亦沿相同方向旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力
14、圓上半徑端點的坐標(biāo)相對應(yīng)。3）二倍角對應(yīng)應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。因為，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差的兩個面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差時才能為同一點。2.2.4應(yīng)力圓的應(yīng)用1）應(yīng)用應(yīng)力圓能確定任意斜截面上應(yīng)力的大小和方向。如果欲求面上的應(yīng)力及，則可從與x面對應(yīng)的x點開始沿應(yīng)力圓圓周逆時針向轉(zhuǎn)2圓心角至n點，這時n點的坐標(biāo)便同外法線與x軸成角的面上的應(yīng)力對應(yīng)。的方向按如下方法確定：過x點作軸的平行線交應(yīng)力圓于P點，以P為極點，連接兩點，則射線便為n點對應(yīng)截面的外法線方向，即為的方位線。2）確定主應(yīng)力的大小和方位。應(yīng)力圓與軸的交點1及2點，其縱坐標(biāo)（即切應(yīng)
15、力）為零，因此，對應(yīng)的正應(yīng)力便是平面應(yīng)力狀態(tài)的兩個正應(yīng)力極值，但是，在圖9.4示情況，因，所以用單元體主應(yīng)力、表示，這時的應(yīng)為零。至于在別的情況時，圖7.4（b）中的1、2點應(yīng)取1、2、3中的哪兩個數(shù)，按類似原則確定。主應(yīng)力的方位按如下方法確定：從極點P至1點引射線為作用面外法方向，為主應(yīng)力作用面的外法線方向。從圖7.4（b）中不難看出，主應(yīng)力、的作用面（主平面）的外法線（主方向）相互垂直。由圖7.4（b）不難看出，應(yīng)力圓上的、兩點，是與切應(yīng)力極值面（面和面）上的應(yīng)力對應(yīng)的。不難證明：正應(yīng)力極值面與切應(yīng)力極值面互成的夾角。3、三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力 組成工程結(jié)構(gòu)物的構(gòu)件都是三維體，能按材料力學(xué)
16、方法進行受力分析的，只是一般三維構(gòu)件的特殊情況，但屬三維問題。既然這樣，在建立強度條件時，必須按三維考慮才符合實際。因此，在研究了三向應(yīng)力狀態(tài)的一種特殊情況平面應(yīng)力狀態(tài)后，還應(yīng)將它們返回到三向應(yīng)力狀態(tài)，作進一步的分析，才能符合工程實際。另外，在工程中還是存在不少三向應(yīng)力狀態(tài)的問題。例如，在地層的一定深度處的單元體（圖9.5），在地應(yīng)力作用下便是處于三向應(yīng)力狀態(tài)；滾珠軸承中的滾珠與外環(huán)接觸處、火車輪與軌道接觸處，也是處于三向應(yīng)力狀態(tài)的。圖9.5本節(jié)只討論三個主應(yīng)力均已知的三向應(yīng)力狀態(tài)，對于單元體各面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力的三向應(yīng)力狀態(tài)，可以用彈性力學(xué)方法求得這三個主應(yīng)力。對于材料力學(xué)中的問題，
17、可以用9.2節(jié)的方法以求得三個主應(yīng)力、及。圖7.6對于圖7.6（a）示已知三個主應(yīng)力的主單體，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)分解為三種平面應(yīng)力狀態(tài)，分析平行于三個主應(yīng)力的三組特殊方向面上的應(yīng)力。在平行于主應(yīng)力的方向面上，可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力的方向面上可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力的方向面上，可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)。并可繪出圖（b）示三個應(yīng)力圖，并稱為三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓（stress circle of three dimensional stress state）。用彈性力學(xué)方法可以證明，主單元體中任意斜截面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力，必位于以這三個應(yīng)力圓為界的陰
18、影區(qū)內(nèi)。由三向應(yīng)力圓可以看出，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，代數(shù)值最大和最小的正應(yīng)力為：， （7.8）而最大切應(yīng)力為 （7.9）式（7.8）、（7.9）也適用于三向應(yīng)力狀態(tài)的兩種特殊情況：二向應(yīng)力狀態(tài)及單向應(yīng)力狀態(tài)。4、廣義胡克定律 體應(yīng)變在后續(xù)課程中要考慮單元體的變形，本節(jié)將討論應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系。4.1廣義胡克定律在三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體同時受到主應(yīng)力、及作用，如圖7.6（a）所示。這時，我們把沿單元體主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變（principal strain），習(xí)慣上分別用、及來表示。對于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)，視為三個單向應(yīng)力狀態(tài)疊加來求主應(yīng)變。由工程力學(xué)知，在單獨作用
19、下，沿主應(yīng)力、及方向的線應(yīng)變分別為：， ， 式中E、為材料的彈性模量及泊松比（Poisson ratio）。同理，在和單獨作用時，上述應(yīng)變分別為：， ， ， ， 將同方向的線應(yīng)變疊加得三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體的主應(yīng)變?yōu)椋?（7.10）式（9.10）中的、及均以代數(shù)值代入，求出的主應(yīng)變?yōu)檎当硎旧扉L，負(fù)值表示縮短。主應(yīng)變的排列順序為，可見，主單元體中代數(shù)值最大的線應(yīng)變?yōu)椋?（7.9）如果不是主單元體，則單元體各面上將作用有正應(yīng)力、和切應(yīng)力、，如圖7.7所示。圖中正應(yīng)力的下標(biāo)表示其作用面的外法線方向；切應(yīng)力有兩個下標(biāo)，前一個下標(biāo)表示其作用面的外法線方向，后一個下標(biāo)表示其作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。如果
20、某一面的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向，該面稱為正面，正面上的各應(yīng)力分量便以指向坐標(biāo)軸正方向為正，反之為負(fù)；如果某一面的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，則稱該面為負(fù)面，負(fù)面上的各應(yīng)力便以指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向為正，反之為負(fù)。須說明，這里的約定與7.2節(jié)的約定是各自獨立的。對于圖7.7，單元體除了沿x、y及z方向產(chǎn)生線應(yīng)變、及外，還在三個坐標(biāo)面xy、yz、zx內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變、及。 圖7.7由理論證明及實驗證實，對于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，正應(yīng)力不會引起切應(yīng)變，切應(yīng)力也不會引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦聯(lián)。于是，線應(yīng)變可以按推導(dǎo)式（7.10）的方法求得，而切應(yīng)變可以利用剪切胡克定律得到，最后有 （7.12
21、）式中G為剪切彈性模量。E，及G均為與材料有關(guān)的彈性常數(shù)，但三者這中只有兩個是獨立的，可以證明這三個常數(shù)之間存在著如下關(guān)系： （7.13）式（7.10）或（7.12）稱為廣義胡克定律（generalization Hooke law）.廣義胡克定律對于二向及單向應(yīng)力狀態(tài)也適用。在二向主單元體中，有一個主應(yīng)力為零，例如，設(shè)，則式（7.10）變?yōu)椋?（7.14）圖7.8在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下，單元體必有一個主應(yīng)力為零的主平面，設(shè)為z面，這時有，及，如圖（7.8）所示。于是，式（7.12）寫成： （7.15）而，由式可以解得： （7.16）4.2體應(yīng)變體應(yīng)變又稱體積應(yīng)變（volume strain），
22、是指在應(yīng)力狀態(tài)下單元體單位體積的體積改變，設(shè)單元體各棱邊的變形前長度分別為dx、dy和dz，變形前的單元體體積便為在三向應(yīng)力狀態(tài)下，主單元體變形后的各棱邊長度將分別為、及，因此，變形后主單元體的體積為因為、及均微小，略去高階微量后根據(jù)主單元體體應(yīng)變的定義，有 （7.17）將式（9.10）的三個主應(yīng)變代入上式，化簡后得 （7.18）上述表明，小變形時的連續(xù)均質(zhì)各同性線彈性體，一點處的體應(yīng)變與該點處的三個主應(yīng)力的代數(shù)和成正比。在純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下，因，由式（7.18）可得該應(yīng)力狀態(tài)下單元體的體變=0。因此，在圖（7.13）示的一般形式的空間應(yīng)力狀態(tài)下，切應(yīng)力、及的存在均不會影響該點處的體應(yīng)變，并
23、可仿照以上推導(dǎo)求得 （7.19）可見，小變形時連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性體內(nèi)，一點處的體應(yīng)變，只與過該點沿三個相互垂直的坐標(biāo)軸方向正應(yīng)力的代數(shù)和成正比，而與坐標(biāo)方位和切應(yīng)力無關(guān)。5、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能 彈性體在外力作用下將產(chǎn)生變形，在變形過程中，外力便要通過外力作用方向的位移做功，并將它積蓄在彈性體內(nèi)，通常稱積蓄在物體內(nèi)的這種能量為應(yīng)變能（strain energy），而把每單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為比能（strain.energy density）。與應(yīng)變能有關(guān)的問題將在第十五章能量法中詳細介紹。在單向應(yīng)力狀態(tài)中，如果棱邊邊長分別為dx、dy、dz的單元體，作用于x面的應(yīng)力為。如圖7.9
24、（a）所示，作用在單元體上的外力為，沿外力方向的位移為，外力所做的功為圖7.9根據(jù)能量守恒定律，外力功全部積蓄到彈性體內(nèi)，變成了彈性體的應(yīng)變能。單元體的應(yīng)變能單元體的應(yīng)變比能為應(yīng)變比能為圖9.17（b）示陰影面積。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知、及三個主應(yīng)力（圖11.18a），各對力通過其對應(yīng)位移所做的功的總和，便為積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。因此單元體的比能為式中的、分別表示沿、方向的線應(yīng)變，應(yīng)按廣義胡克定律（式7.10）計算，用三個主應(yīng)力、表示主應(yīng)變、，化簡后有 （7.20）由于單元體的變形有體積改變和形狀改變，因此，可以將比能分為相應(yīng)的兩部分。與體積改變對應(yīng)的比能稱為體積改變比能（strain.e
25、nergy density corresponding to the change of volume），用表示；與形狀改變對應(yīng)的比能稱為形狀改變比能（strain.energy density corresponding to the distortion），用表示。即 （a）現(xiàn)在來推導(dǎo)體積改變比能和形狀改變比能的計算公式。將圖11.18（a）示單元體表示為圖b、c兩部分疊加。圖9.18（b）中的三個主應(yīng)力相等，其值為平均應(yīng)力，有由式（7.18）知，圖11.18（b）與圖11.18（a）的體應(yīng)變是相等的，那么體積改變比能也應(yīng)相等。因此圖11.18（b）的三個主應(yīng)力相等，變形后的形狀與原來的形
26、狀相似，只發(fā)生體積改變而無形狀改變，則全部比能應(yīng)為體積改變化能。這樣，圖11.18（a）的體積改變比能為： （7.21）將式（7.21）代入式（a），并注意到式（7.20），化簡后得單元體的形狀改變能為 （7.22）讀者自己證明，式（7.22）即為圖c的比能。式（7.22）將在強度理論中得到應(yīng)用。6、概述6.1材料在單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)時的強度條件：軸向拉（壓）桿件的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上各點處；而橫力彎曲梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩橫截面的上、下邊緣處，如圖7.1（a）、（b）所示，其應(yīng)力狀態(tài)皆為單向應(yīng)力狀態(tài)，強度條件為：拉壓桿：梁：式中，為材料破壞時的極限應(yīng)力，稱為安全系數(shù)。對于
27、塑性材料，=（屈服極限）；對于脆性材料，=（強度極限），皆可由試驗確定。純扭轉(zhuǎn)圓軸的最大切應(yīng)力發(fā)生在橫截面周邊各點處；而梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力橫截面的中性軸上，如圖7.1（c）、（d）所示，為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，強度條件為：扭轉(zhuǎn)軸：梁：式中，或由實驗確定。 圖7.16.2材料的破壞形式以上列舉的強度條件，用于簡單應(yīng)力狀態(tài)，是直接根據(jù)試驗結(jié)果建立的。然而工程實際中許多構(gòu)件的危險點都處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，其破壞現(xiàn)象較復(fù)雜，但材料的破壞形式可分為如下二類： 脆性斷裂：材料失效時未發(fā)生明顯的塑性變形而突然斷裂。如：鑄鐵在單向拉伸和純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的破壞。塑性屈服：材料失效時產(chǎn)生明顯的塑性變形并伴有屈服現(xiàn)
28、象。如低碳鋼在單向拉伸和純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的破壞。注意：材料的破壞形式并不是以材料為塑性材料或脆性材料為準(zhǔn)來區(qū)分的。如：大理石為脆性材料，在單向壓縮時發(fā)生的破壞為脆性斷裂，圖7.2（a）；若表面受均勻經(jīng)向壓力，施加軸向力后出現(xiàn)明顯的塑性變形，成為腰鼓形，顯然其破壞形式為塑性屈服，圖7.2(b)。 圖7.26.3強度理論的概念在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，一點的3個主應(yīng)力、可能都不為零，而且會出現(xiàn)不同的主應(yīng)力組合。此時如果采用直接試驗的方法來建立強度條件，是非常困難的，原因在于：進行復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)試驗的設(shè)備和加工比較復(fù)雜；不同的應(yīng)力組合需要重新做試驗；不同的材料需重新試驗。 人們經(jīng)過長期的生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究，總
29、結(jié)材料破壞的規(guī)律，提出了各種不同的假說：認(rèn)為材料之所以按某種形式破壞，是由于某一特定因素（應(yīng)力、應(yīng)變、形狀改變比能）引起的；對于同一種材料，無論處于何種應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)導(dǎo)致它們破壞的這一共同因素達到某一極限時，材料就會發(fā)生破壞。這樣的一些假說稱為強度理論。7、常用的強度理論由于材料存在著脆性斷裂和塑性屈服兩種破壞形式，因而，強度理論也分為兩類：一類是解釋材料脆性斷裂破壞的強度理論，其中有最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論；另一類是解釋材料塑性屈服破壞的強度理論，其中有最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。7.1第一強度理論最大拉應(yīng)力理論該理論認(rèn)為材料斷裂的主要因素是該點的最大主拉應(yīng)力。即在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)
30、下，只要材料內(nèi)一點的最大主拉應(yīng)力達到單向拉伸斷裂時橫截面上的極限應(yīng)力，材料發(fā)生斷裂破壞。破壞條件為：強度條件為： （7-1）式中單向拉伸時材料的許用應(yīng)力：。試驗表明，該理論主要適用于脆性材料在二向或三向受拉（例如鑄鐵、玻璃、石膏等）。對于存在有壓應(yīng)力的脆性材料，只要最大壓應(yīng)力值不超過最大拉應(yīng)力值，也是正確的。7.2第二強度理論最大伸長線應(yīng)變理論該理論認(rèn)為材料斷裂的主要因素是該點的最大伸長線應(yīng)變。即在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要材料內(nèi)一點的最大拉應(yīng)變達到了單向拉伸斷裂時最大伸長應(yīng)變的極限值時，材料就發(fā)生斷裂破壞。由廣義胡克定律可知單向拉伸斷裂時于是破壞條件為即： 所以，強度條件為 （7.2）此理論考慮了
31、三個主應(yīng)力的影響，形式上比第一強度理論完善，但用于工程上其可靠性很差，現(xiàn)在很少采用。7.3第三強度理論最大切應(yīng)力理論該理論認(rèn)為材料屈服的主要因素是最大切應(yīng)力。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要材料內(nèi)一點處的最大切應(yīng)力達到單向拉伸屈服時切應(yīng)力的屈服極限，材料就在該處發(fā)生塑性屈服。由11章可知：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下最大切應(yīng)力為單向拉伸時破壞條件為于是強度條件為 （7.3）該理論對于單向拉伸和單向壓縮的抗力大體相當(dāng)?shù)牟牧希ㄈ绲吞间摚┦沁m合的。7.4第四強度理論最大形狀改變比能理論該理論認(rèn)為材料屈服的主要因素是該點的形狀改變比能。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，材料內(nèi)一點的形狀改變比能達到材料單向拉伸屈服時形狀改變比能的極限值，材料
32、就會發(fā)生塑性屈服。由11章可知單向拉伸時： ，可得破壞條件為即于是強度條件為 （7.4）試驗表明，對于塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結(jié)果。綜合以上四個強度理論的強度條件，可以把它們寫成如下的統(tǒng)一形式：其中稱為相當(dāng)應(yīng)力。四個強度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為對于梁來講，注意：1、對以上四個強度理論的應(yīng)用，一般說脆性材料如鑄鐵、混凝土等用第一和第二強度理論；對塑性材料如低碳鋼用第三和第四強度理論。2、脆性材料或塑性材料，在三向拉應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)該用第一強度理論；在三向壓應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)該用第三強度理論或第四強度理論。3、第三強度理論概念直觀，計算簡捷，計算結(jié)果偏于保守；第四強度理論著眼于形狀改變比能，但其本質(zhì)仍然是一種切應(yīng)力理論。4、在不同情況下，如何選用強度理論，不單純是個力學(xué)問題，而與有關(guān)工程技術(shù)部門長期積累的經(jīng)驗及根據(jù)這些經(jīng)驗制訂的一整套計算方法和許用應(yīng)力值有關(guān)。
材料力學(xué)第五版 第七章 應(yīng)力狀態(tài)答案
