材料力學(xué)第五版 第七章 應(yīng)力狀態(tài)答案

第 七 章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容1 教學(xué)目標(biāo) 通過(guò)本章學(xué)習(xí)，掌握應(yīng)力狀態(tài)的概念及其研究方法；會(huì)從具有受力桿件中截取單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況；會(huì)計(jì)算平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力；掌握平面應(yīng)力狀態(tài)和特殊空間應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、主方向的計(jì)算，并會(huì)排列主應(yīng)力的順序；掌握廣義胡克定律；了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)比能的概念；了解主應(yīng)力跡線的概念。掌握強(qiáng)度理論的概念。了解材料的兩種破壞形式（按破壞現(xiàn)象區(qū)分）。了解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、破壞條件、強(qiáng)度條件。掌握常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力。了解莫爾強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)。會(huì)用強(qiáng)度理論對(duì)一些簡(jiǎn)單的桿件結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。2 教學(xué)內(nèi)容應(yīng)力狀態(tài)的概念；平面應(yīng)力狀態(tài)分析；三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力； 廣義胡克定律體應(yīng)變；復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能；梁的主應(yīng)力主應(yīng)力跡線的概念。講解強(qiáng)度理論的概念及材料的兩種破壞形式。講解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)，并推導(dǎo)其破壞條件從而建立強(qiáng)度計(jì)算方法。介紹幾種強(qiáng)度理論的應(yīng)用范圍和各自的優(yōu)缺點(diǎn)。簡(jiǎn)單介紹莫爾強(qiáng)度理論。二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1、平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力計(jì)算，主應(yīng)力及主方向的計(jì)算，最大剪應(yīng)力的計(jì)算。2、廣義胡克定律及其應(yīng)用。難點(diǎn)：1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況。2、斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式中關(guān)于正負(fù)符號(hào)的約定。3、應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小、方向的確定。4、廣義胡克定律及其應(yīng)用。5 強(qiáng)度理論的概念、常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、強(qiáng)度條件及其強(qiáng)度計(jì)算。6 常用四個(gè)強(qiáng)度理論的理解。7 危險(xiǎn)點(diǎn)的確定及其強(qiáng)度計(jì)算。三、教學(xué)方式 采用啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí) 10學(xué)時(shí)五、講課提綱1、應(yīng)力狀態(tài)的概念 所謂“應(yīng)力狀態(tài)”又稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)（state of stresses at a given point）,是指過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合。應(yīng)力狀態(tài)分析（Analysis of Stress-State）是用平衡的方法，分析過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的相互關(guān)系，確定這些應(yīng)力的極大值和極小值以及它們的作用面。一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，可用同一點(diǎn)在三個(gè)相互垂直的截面上的應(yīng)力來(lái)描述，通常是用圍繞該點(diǎn)取出一個(gè)微小正六面體（簡(jiǎn)稱單元體element）來(lái)表示。單元體的表面就是應(yīng)力作用面。由于單元體微小，可以認(rèn)為單元體各表面上的應(yīng)力是均勻分布的，而且一對(duì)平行表面上的應(yīng)力情況是相同的。例如，圖7.1截面mm上ad點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示方式，如圖（c）所示。圖7.17.2節(jié)中的分析將表明，一點(diǎn)處不同方向面上的應(yīng)力是不相同的。我們把在過(guò)一點(diǎn)的所有截面中，切應(yīng)力為零的截面稱為應(yīng)力主平面，簡(jiǎn)稱為主平面（principal plane）。例如，圖（c）中a、d單元體的三對(duì)面及b、c單元體的前后一對(duì)表面均為主平面。由主平面構(gòu)成的單元體稱為主單元體（principal element），如圖（c）中的a、d單元體。主平面的法向稱為應(yīng)力主方向。簡(jiǎn)稱主方向（principal direction）。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力（principal stresss），如圖（c）中a、d單元體上的及。用彈性力學(xué)方法可以證明，物體中任一點(diǎn)總可找到三個(gè)相互垂直的主方向，因而每一點(diǎn)處都有三個(gè)相互垂直的主平面和三個(gè)主應(yīng)力；但在三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)或三個(gè)主應(yīng)力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會(huì)多于三個(gè)。一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，通常按其代數(shù)值依次用來(lái)表示，如圖（c）中a、d單元體，雖然它們都只有一個(gè)不為零且絕對(duì)值相等的主應(yīng)力，但須分別用，表示。根據(jù)一點(diǎn)處存在幾個(gè)不為零的主應(yīng)力，可以將應(yīng)力狀態(tài)分為三類：1）單向（或簡(jiǎn)單）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)主應(yīng)力不為零，如圖7.2（a）所示。2）二向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)主應(yīng)力不為零，如圖7.2（b）所示。3）三向（或空間）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零，如圖7.2（c）所示。圖7.2單向及二向應(yīng)力狀態(tài)常稱為平面應(yīng)力狀態(tài)（plane state of stresses）。二向及三向應(yīng)力狀態(tài)又統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。因?yàn)?，一個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)與另一個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)疊加，可能是單向、二向或零應(yīng)力狀態(tài)；一個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)與一個(gè)二向應(yīng)力狀態(tài)疊加，可能是單向、二向或三向應(yīng)力狀態(tài)；。也就是說(shuō)，一個(gè)應(yīng)狀態(tài)與另一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)疊加，不一定屬于原有應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，由于必有一個(gè)主應(yīng)力為零的主方向，可以用與該方向相垂直的平面單元來(lái)表示單元體，例如圖7.1（c）示各單元體，可以用圖7.1（d）示平面單元表示。這時(shí)，應(yīng)將零主應(yīng)力方向的單元體邊長(zhǎng)理解為單位長(zhǎng)度。在材料力學(xué)中所遇到的應(yīng)力狀態(tài)，主要為平面應(yīng)力狀態(tài)。本章重點(diǎn)討論平面應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)問(wèn)題。2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析 在本節(jié)中,將介紹在平面應(yīng)力狀態(tài)下，如何根據(jù)單元體各面上的已知應(yīng)力來(lái)確定任意斜截面上的應(yīng)力。在以下討論中，取平面單元位于xy平面內(nèi)，如圖7.3（a）所示。已知x面（法線平行x軸的面）上的應(yīng)力及，y面（法線平行于y軸的面）上有應(yīng)力及。根據(jù)切應(yīng)力互等定理?，F(xiàn)在需要求與z軸平行的任意斜截面ab上的應(yīng)力。設(shè)斜截面ab的外法線n與x軸成角，以后簡(jiǎn)稱該斜截面為面，并用及分別表示面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力。將應(yīng)力、角正負(fù)號(hào)規(guī)定為：角：從x方向反時(shí)針轉(zhuǎn)至面外法線n的角為正值；反之為負(fù)值。角的取值區(qū)間為或。正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。切應(yīng)力：使微元體產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正；反之為負(fù)?；蛘?，截面外法線矢順時(shí)針向轉(zhuǎn)后的方向?yàn)檎环粗疄樨?fù)。求面上的應(yīng)力、的方法，有解析法和圖解法兩種。分別介紹如下：2.1解析法利用截面法，沿截面ab將圖7.3（a）示單元切成兩部分，取其左邊部分為研究對(duì)象。設(shè)面的面積為dA，則x面、y面的面積分別為及。于是，得研究對(duì)象的受力情況如圖（b）示。該部分沿面法向及切向的平衡方程分別為：圖7.3由此得（a）由，及，式（a）可改寫為： （7.1） 這就是斜面上應(yīng)力的計(jì)算公式。應(yīng)用時(shí)一定要遵循應(yīng)力及角的符號(hào)規(guī)定。如果用替代式（9.1）第一式中的，則： 從而有 （7.2）可見(jiàn)，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，一點(diǎn)處與z軸平行的兩相互垂直面上的正應(yīng)力的代數(shù)和是一個(gè)不變量。由式（7.1）可知，斜截面上的應(yīng)力、均為角的函數(shù)，即它們的大小和方向隨斜截面的方位而變化?，F(xiàn)在來(lái)求它們的極限及平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力。對(duì)于斜截面上的正應(yīng)力，設(shè)極值時(shí)的角為，由得可見(jiàn)，取極值的截面上切應(yīng)力為零，即的極值便是單元體的主應(yīng)力。這時(shí)的可由上式求得為： （7.3）式（7.3）的在取值區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)根及，它說(shuō)明與有關(guān)的兩個(gè)極值（主應(yīng)力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（7.3）求時(shí)，可以視，并按、的正負(fù)號(hào)來(lái)判定、的正負(fù)符號(hào)，從而唯一地確定或值。于是有，將以上各式代入式（7.1）的第一式，得的兩個(gè)極值（對(duì)應(yīng)面）、（對(duì)應(yīng)面）為： （7.4）可以證明，式（7.4）中的指向，是介于僅由單元體切應(yīng)力產(chǎn)生的主拉應(yīng)力指向（與x軸夾角為或）與單元體正應(yīng)力、中代數(shù)值較大的一個(gè)正應(yīng)力指向之間。式（7.4）的、為平面應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的兩個(gè)主應(yīng)力，它的另一個(gè)主應(yīng)力為零。至于如何根據(jù)這三個(gè)主應(yīng)力來(lái)排列、的次序，應(yīng)視、的具體數(shù)值來(lái)決定。平面應(yīng)力狀態(tài)下，切應(yīng)力極值可按下述方法確定。設(shè)極值時(shí)的角為，由得： （7.5）比較式（7.3）和式（7.5），有，可見(jiàn)，即斜截面上切應(yīng)力的極值作用面與正應(yīng)力的極值作用面互成夾角。將由式（7.5）確定的代入式（7.1）的第二式，可以求得斜截面上切應(yīng)力極值（對(duì)應(yīng)）、（對(duì)應(yīng)）為： （7.6）這說(shuō)明，斜截面上切應(yīng)力極值的絕對(duì)值，等于該點(diǎn)處兩個(gè)正應(yīng)力極值差的絕對(duì)值的一半。另外，由式（7.5）可得，代入式（7.1）第一式得： （7.7）可見(jiàn)在極值作用面上的正應(yīng)力相等，且為、的平均值。2.2圖解（莫爾圓）法平面應(yīng)力狀態(tài)分析，也可采用圖解的方法。圖解法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)明直觀，勿須記公式。當(dāng)采用適當(dāng)?shù)淖鲌D比例時(shí)，其精確度是能滿足工程設(shè)計(jì)要求的。這里只介紹圖解法中的莫爾圓法，它是1882年德國(guó)工程師莫爾（O. Mohr）對(duì)1866年德國(guó)庫(kù)爾曼（K. Culman）提出的應(yīng)力圓作進(jìn)一步研究，借助應(yīng)力圓確定一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法。2.2.1應(yīng)力圓方程將式（9.1）改寫為： （a）于是，由上述二式得到一圓方程： （b）據(jù)此，若已知、，則在以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系中，可以畫出一個(gè)圓，其圓心為，半徑為。圓周上一點(diǎn)的坐標(biāo)就代表單元體一個(gè)斜截面上的應(yīng)力。因此，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓（Mohr circle for stresses）。圖7.42.2.2應(yīng)力圓的畫法在已知、及（圖7.4（a），作相應(yīng)應(yīng)力圓時(shí)，先在坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，以(,)、(,)為坐標(biāo)確定x（對(duì)應(yīng)x面）、y（對(duì)應(yīng)y面）兩點(diǎn)，（在應(yīng)力圓中，正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力以與其作用面外法線順時(shí)鐘轉(zhuǎn)向后的方向一致時(shí)為正）。然后直線連接x、y兩點(diǎn)交軸于C點(diǎn)，并以C點(diǎn)圓心，以或?yàn)榘霃疆媹A，此圓就是應(yīng)力圓，如圖7.4（b）。從圖中不難看出，應(yīng)力圓的圓心及半徑，與式（b）完全相同。2.2.3幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓上的點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：1） 點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)單元體某一方面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖（9.4（a）上的n點(diǎn)的坐標(biāo)即為斜截面面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。2）轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)隨之改變，對(duì)應(yīng)地，斜截面外法線亦沿相同方向旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。3）二倍角對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。因?yàn)?，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差的兩個(gè)面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差時(shí)才能為同一點(diǎn)。2.2.4應(yīng)力圓的應(yīng)用1）應(yīng)用應(yīng)力圓能確定任意斜截面上應(yīng)力的大小和方向。如果欲求面上的應(yīng)力及，則可從與x面對(duì)應(yīng)的x點(diǎn)開(kāi)始沿應(yīng)力圓圓周逆時(shí)針向轉(zhuǎn)2圓心角至n點(diǎn)，這時(shí)n點(diǎn)的坐標(biāo)便同外法線與x軸成角的面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)。的方向按如下方法確定：過(guò)x點(diǎn)作軸的平行線交應(yīng)力圓于P點(diǎn)，以P為極點(diǎn)，連接兩點(diǎn)，則射線便為n點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面的外法線方向，即為的方位線。2）確定主應(yīng)力的大小和方位。應(yīng)力圓與軸的交點(diǎn)1及2點(diǎn)，其縱坐標(biāo)（即切應(yīng)力）為零，因此，對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力便是平面應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)正應(yīng)力極值，但是，在圖9.4示情況，因，所以用單元體主應(yīng)力、表示，這時(shí)的應(yīng)為零。至于在別的情況時(shí)，圖7.4（b）中的1、2點(diǎn)應(yīng)取1、2、3中的哪兩個(gè)數(shù)，按類似原則確定。主應(yīng)力的方位按如下方法確定：從極點(diǎn)P至1點(diǎn)引射線為作用面外法方向，為主應(yīng)力作用面的外法線方向。從圖7.4（b）中不難看出，主應(yīng)力、的作用面（主平面）的外法線（主方向）相互垂直。由圖7.4（b）不難看出，應(yīng)力圓上的、兩點(diǎn)，是與切應(yīng)力極值面（面和面）上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)的。不難證明：正應(yīng)力極值面與切應(yīng)力極值面互成的夾角。3、三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力 組成工程結(jié)構(gòu)物的構(gòu)件都是三維體，能按材料力學(xué)方法進(jìn)行受力分析的，只是一般三維構(gòu)件的特殊情況，但屬三維問(wèn)題。既然這樣，在建立強(qiáng)度條件時(shí)，必須按三維考慮才符合實(shí)際。因此，在研究了三向應(yīng)力狀態(tài)的一種特殊情況平面應(yīng)力狀態(tài)后，還應(yīng)將它們返回到三向應(yīng)力狀態(tài)，作進(jìn)一步的分析，才能符合工程實(shí)際。另外，在工程中還是存在不少三向應(yīng)力狀態(tài)的問(wèn)題。例如，在地層的一定深度處的單元體（圖9.5），在地應(yīng)力作用下便是處于三向應(yīng)力狀態(tài)；滾珠軸承中的滾珠與外環(huán)接觸處、火車輪與軌道接觸處，也是處于三向應(yīng)力狀態(tài)的。圖9.5本節(jié)只討論三個(gè)主應(yīng)力均已知的三向應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)于單元體各面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力的三向應(yīng)力狀態(tài)，可以用彈性力學(xué)方法求得這三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于材料力學(xué)中的問(wèn)題，可以用9.2節(jié)的方法以求得三個(gè)主應(yīng)力、及。圖7.6對(duì)于圖7.6（a）示已知三個(gè)主應(yīng)力的主單體，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)分解為三種平面應(yīng)力狀態(tài)，分析平行于三個(gè)主應(yīng)力的三組特殊方向面上的應(yīng)力。在平行于主應(yīng)力的方向面上，可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力的方向面上可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力的方向面上，可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)。并可繪出圖（b）示三個(gè)應(yīng)力圖，并稱為三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓（stress circle of three dimensional stress state）。用彈性力學(xué)方法可以證明，主單元體中任意斜截面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力，必位于以這三個(gè)應(yīng)力圓為界的陰影區(qū)內(nèi)。由三向應(yīng)力圓可以看出，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，代數(shù)值最大和最小的正應(yīng)力為：， （7.8）而最大切應(yīng)力為 （7.9）式（7.8）、（7.9）也適用于三向應(yīng)力狀態(tài)的兩種特殊情況：二向應(yīng)力狀態(tài)及單向應(yīng)力狀態(tài)。4、廣義胡克定律 體應(yīng)變?cè)诤罄m(xù)課程中要考慮單元體的變形，本節(jié)將討論應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系。4.1廣義胡克定律在三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體同時(shí)受到主應(yīng)力、及作用，如圖7.6（a）所示。這時(shí)，我們把沿單元體主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變（principal strain），習(xí)慣上分別用、及來(lái)表示。對(duì)于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)，視為三個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)疊加來(lái)求主應(yīng)變。由工程力學(xué)知，在單獨(dú)作用下，沿主應(yīng)力、及方向的線應(yīng)變分別為：， ， 式中E、為材料的彈性模量及泊松比（Poisson ratio）。同理，在和單獨(dú)作用時(shí)，上述應(yīng)變分別為：， ， ， ， 將同方向的線應(yīng)變疊加得三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體的主應(yīng)變?yōu)椋?（7.10）式（9.10）中的、及均以代數(shù)值代入，求出的主應(yīng)變?yōu)檎当硎旧扉L(zhǎng)，負(fù)值表示縮短。主應(yīng)變的排列順序?yàn)?，可?jiàn)，主單元體中代數(shù)值最大的線應(yīng)變?yōu)椋?（7.9）如果不是主單元體，則單元體各面上將作用有正應(yīng)力、和切應(yīng)力、，如圖7.7所示。圖中正應(yīng)力的下標(biāo)表示其作用面的外法線方向；切應(yīng)力有兩個(gè)下標(biāo)，前一個(gè)下標(biāo)表示其作用面的外法線方向，后一個(gè)下標(biāo)表示其作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。如果某一面的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向，該面稱為正面，正面上的各應(yīng)力分量便以指向坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎粗疄樨?fù)；如果某一面的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，則稱該面為負(fù)面，負(fù)面上的各應(yīng)力便以指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，反之為?fù)。須說(shuō)明，這里的約定與7.2節(jié)的約定是各自獨(dú)立的。對(duì)于圖7.7，單元體除了沿x、y及z方向產(chǎn)生線應(yīng)變、及外，還在三個(gè)坐標(biāo)面xy、yz、zx內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變、及。 圖7.7由理論證明及實(shí)驗(yàn)證實(shí)，對(duì)于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，正應(yīng)力不會(huì)引起切應(yīng)變，切應(yīng)力也不會(huì)引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦聯(lián)。于是，線應(yīng)變可以按推導(dǎo)式（7.10）的方法求得，而切應(yīng)變可以利用剪切胡克定律得到，最后有 （7.12）式中G為剪切彈性模量。E，及G均為與材料有關(guān)的彈性常數(shù)，但三者這中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，可以證明這三個(gè)常數(shù)之間存在著如下關(guān)系： （7.13）式（7.10）或（7.12）稱為廣義胡克定律（generalization Hooke law）.廣義胡克定律對(duì)于二向及單向應(yīng)力狀態(tài)也適用。在二向主單元體中，有一個(gè)主應(yīng)力為零，例如，設(shè)，則式（7.10）變?yōu)椋?（7.14）圖7.8在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下，單元體必有一個(gè)主應(yīng)力為零的主平面，設(shè)為z面，這時(shí)有，及，如圖（7.8）所示。于是，式（7.12）寫成： （7.15）而，由式可以解得： （7.16）4.2體應(yīng)變體應(yīng)變又稱體積應(yīng)變（volume strain），是指在應(yīng)力狀態(tài)下單元體單位體積的體積改變，設(shè)單元體各棱邊的變形前長(zhǎng)度分別為dx、dy和dz，變形前的單元體體積便為在三向應(yīng)力狀態(tài)下，主單元體變形后的各棱邊長(zhǎng)度將分別為、及，因此，變形后主單元體的體積為因?yàn)?、及均微小，略去高階微量后根據(jù)主單元體體應(yīng)變的定義，有 （7.17）將式（9.10）的三個(gè)主應(yīng)變代入上式，化簡(jiǎn)后得 （7.18）上述表明，小變形時(shí)的連續(xù)均質(zhì)各同性線彈性體，一點(diǎn)處的體應(yīng)變與該點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力的代數(shù)和成正比。在純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下，因，由式（7.18）可得該應(yīng)力狀態(tài)下單元體的體變=0。因此，在圖（7.13）示的一般形式的空間應(yīng)力狀態(tài)下，切應(yīng)力、及的存在均不會(huì)影響該點(diǎn)處的體應(yīng)變，并可仿照以上推導(dǎo)求得 （7.19）可見(jiàn)，小變形時(shí)連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性體內(nèi)，一點(diǎn)處的體應(yīng)變，只與過(guò)該點(diǎn)沿三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸方向正應(yīng)力的代數(shù)和成正比，而與坐標(biāo)方位和切應(yīng)力無(wú)關(guān)。5、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能 彈性體在外力作用下將產(chǎn)生變形，在變形過(guò)程中，外力便要通過(guò)外力作用方向的位移做功，并將它積蓄在彈性體內(nèi)，通常稱積蓄在物體內(nèi)的這種能量為應(yīng)變能（strain energy），而把每單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為比能（strain.energy density）。與應(yīng)變能有關(guān)的問(wèn)題將在第十五章能量法中詳細(xì)介紹。在單向應(yīng)力狀態(tài)中，如果棱邊邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz的單元體，作用于x面的應(yīng)力為。如圖7.9（a）所示，作用在單元體上的外力為，沿外力方向的位移為，外力所做的功為圖7.9根據(jù)能量守恒定律，外力功全部積蓄到彈性體內(nèi)，變成了彈性體的應(yīng)變能。單元體的應(yīng)變能單元體的應(yīng)變比能為應(yīng)變比能為圖9.17（b）示陰影面積。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知、及三個(gè)主應(yīng)力（圖11.18a），各對(duì)力通過(guò)其對(duì)應(yīng)位移所做的功的總和，便為積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。因此單元體的比能為式中的、分別表示沿、方向的線應(yīng)變，應(yīng)按廣義胡克定律（式7.10）計(jì)算，用三個(gè)主應(yīng)力、表示主應(yīng)變、，化簡(jiǎn)后有 （7.20）由于單元體的變形有體積改變和形狀改變，因此，可以將比能分為相應(yīng)的兩部分。與體積改變對(duì)應(yīng)的比能稱為體積改變比能（strain.energy density corresponding to the change of volume），用表示；與形狀改變對(duì)應(yīng)的比能稱為形狀改變比能（strain.energy density corresponding to the distortion），用表示。即 （a）現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)體積改變比能和形狀改變比能的計(jì)算公式。將圖11.18（a）示單元體表示為圖b、c兩部分疊加。圖9.18（b）中的三個(gè)主應(yīng)力相等，其值為平均應(yīng)力，有由式（7.18）知，圖11.18（b）與圖11.18（a）的體應(yīng)變是相等的，那么體積改變比能也應(yīng)相等。因此圖11.18（b）的三個(gè)主應(yīng)力相等，變形后的形狀與原來(lái)的形狀相似，只發(fā)生體積改變而無(wú)形狀改變，則全部比能應(yīng)為體積改變化能。這樣，圖11.18（a）的體積改變比能為： （7.21）將式（7.21）代入式（a），并注意到式（7.20），化簡(jiǎn)后得單元體的形狀改變能為 （7.22）讀者自己證明，式（7.22）即為圖c的比能。式（7.22）將在強(qiáng)度理論中得到應(yīng)用。6、概述6.1材料在單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的強(qiáng)度條件：軸向拉（壓）桿件的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上各點(diǎn)處；而橫力彎曲梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩橫截面的上、下邊緣處，如圖7.1（a）、（b）所示，其應(yīng)力狀態(tài)皆為單向應(yīng)力狀態(tài)，強(qiáng)度條件為：拉壓桿：梁：式中，為材料破壞時(shí)的極限應(yīng)力，稱為安全系數(shù)。對(duì)于塑性材料，=（屈服極限）；對(duì)于脆性材料，=（強(qiáng)度極限），皆可由試驗(yàn)確定。純扭轉(zhuǎn)圓軸的最大切應(yīng)力發(fā)生在橫截面周邊各點(diǎn)處；而梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力橫截面的中性軸上，如圖7.1（c）、（d）所示，為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，強(qiáng)度條件為：扭轉(zhuǎn)軸：梁：式中，或由實(shí)驗(yàn)確定。 圖7.16.2材料的破壞形式以上列舉的強(qiáng)度條件，用于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，是直接根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果建立的。然而工程實(shí)際中許多構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)都處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，其破壞現(xiàn)象較復(fù)雜，但材料的破壞形式可分為如下二類： 脆性斷裂：材料失效時(shí)未發(fā)生明顯的塑性變形而突然斷裂。如：鑄鐵在單向拉伸和純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的破壞。塑性屈服：材料失效時(shí)產(chǎn)生明顯的塑性變形并伴有屈服現(xiàn)象。如低碳鋼在單向拉伸和純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的破壞。注意：材料的破壞形式并不是以材料為塑性材料或脆性材料為準(zhǔn)來(lái)區(qū)分的。如：大理石為脆性材料，在單向壓縮時(shí)發(fā)生的破壞為脆性斷裂，圖7.2（a）；若表面受均勻經(jīng)向壓力，施加軸向力后出現(xiàn)明顯的塑性變形，成為腰鼓形，顯然其破壞形式為塑性屈服，圖7.2(b)。 圖7.26.3強(qiáng)度理論的概念在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，一點(diǎn)的3個(gè)主應(yīng)力、可能都不為零，而且會(huì)出現(xiàn)不同的主應(yīng)力組合。此時(shí)如果采用直接試驗(yàn)的方法來(lái)建立強(qiáng)度條件，是非常困難的，原因在于：進(jìn)行復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)試驗(yàn)的設(shè)備和加工比較復(fù)雜；不同的應(yīng)力組合需要重新做試驗(yàn)；不同的材料需重新試驗(yàn)。 人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究，總結(jié)材料破壞的規(guī)律，提出了各種不同的假說(shuō)：認(rèn)為材料之所以按某種形式破壞，是由于某一特定因素（應(yīng)力、應(yīng)變、形狀改變比能）引起的；對(duì)于同一種材料，無(wú)論處于何種應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)導(dǎo)致它們破壞的這一共同因素達(dá)到某一極限時(shí)，材料就會(huì)發(fā)生破壞。這樣的一些假說(shuō)稱為強(qiáng)度理論。7、常用的強(qiáng)度理論由于材料存在著脆性斷裂和塑性屈服兩種破壞形式，因而，強(qiáng)度理論也分為兩類：一類是解釋材料脆性斷裂破壞的強(qiáng)度理論，其中有最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論；另一類是解釋材料塑性屈服破壞的強(qiáng)度理論，其中有最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。7.1第一強(qiáng)度理論最大拉應(yīng)力理論該理論認(rèn)為材料斷裂的主要因素是該點(diǎn)的最大主拉應(yīng)力。即在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要材料內(nèi)一點(diǎn)的最大主拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸斷裂時(shí)橫截面上的極限應(yīng)力，材料發(fā)生斷裂破壞。破壞條件為：強(qiáng)度條件為： （7-1）式中單向拉伸時(shí)材料的許用應(yīng)力：。試驗(yàn)表明，該理論主要適用于脆性材料在二向或三向受拉（例如鑄鐵、玻璃、石膏等）。對(duì)于存在有壓應(yīng)力的脆性材料，只要最大壓應(yīng)力值不超過(guò)最大拉應(yīng)力值，也是正確的。7.2第二強(qiáng)度理論最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論該理論認(rèn)為材料斷裂的主要因素是該點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變。即在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要材料內(nèi)一點(diǎn)的最大拉應(yīng)變達(dá)到了單向拉伸斷裂時(shí)最大伸長(zhǎng)應(yīng)變的極限值時(shí)，材料就發(fā)生斷裂破壞。由廣義胡克定律可知單向拉伸斷裂時(shí)于是破壞條件為即： 所以，強(qiáng)度條件為 （7.2）此理論考慮了三個(gè)主應(yīng)力的影響，形式上比第一強(qiáng)度理論完善，但用于工程上其可靠性很差，現(xiàn)在很少采用。7.3第三強(qiáng)度理論最大切應(yīng)力理論該理論認(rèn)為材料屈服的主要因素是最大切應(yīng)力。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要材料內(nèi)一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力達(dá)到單向拉伸屈服時(shí)切應(yīng)力的屈服極限，材料就在該處發(fā)生塑性屈服。由11章可知：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下最大切應(yīng)力為單向拉伸時(shí)破壞條件為于是強(qiáng)度條件為 （7.3）該理論對(duì)于單向拉伸和單向壓縮的抗力大體相當(dāng)?shù)牟牧希ㄈ绲吞间摚┦沁m合的。7.4第四強(qiáng)度理論最大形狀改變比能理論該理論認(rèn)為材料屈服的主要因素是該點(diǎn)的形狀改變比能。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，材料內(nèi)一點(diǎn)的形狀改變比能達(dá)到材料單向拉伸屈服時(shí)形狀改變比能的極限值，材料就會(huì)發(fā)生塑性屈服。由11章可知單向拉伸時(shí)： ，可得破壞條件為即于是強(qiáng)度條件為 （7.4）試驗(yàn)表明，對(duì)于塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果。綜合以上四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，可以把它們寫成如下的統(tǒng)一形式：其中稱為相當(dāng)應(yīng)力。四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為對(duì)于梁來(lái)講，注意：1、對(duì)以上四個(gè)強(qiáng)度理論的應(yīng)用，一般說(shuō)脆性材料如鑄鐵、混凝土等用第一和第二強(qiáng)度理論；對(duì)塑性材料如低碳鋼用第三和第四強(qiáng)度理論。2、脆性材料或塑性材料，在三向拉應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)該用第一強(qiáng)度理論；在三向壓應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)該用第三強(qiáng)度理論或第四強(qiáng)度理論。3、第三強(qiáng)度理論概念直觀，計(jì)算簡(jiǎn)捷，計(jì)算結(jié)果偏于保守；第四強(qiáng)度理論著眼于形狀改變比能，但其本質(zhì)仍然是一種切應(yīng)力理論。4、在不同情況下，如何選用強(qiáng)度理論，不單純是個(gè)力學(xué)問(wèn)題，而與有關(guān)工程技術(shù)部門長(zhǎng)期積累的經(jīng)驗(yàn)及根據(jù)這些經(jīng)驗(yàn)制訂的一整套計(jì)算方法和許用應(yīng)力值有關(guān)。