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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 2010.08,2,第八章 方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),雙因素方差分析,正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),主要內(nèi)容：,單因素方差分析,引 言,在科學(xué)試驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)際中，影響一事物的因 素往往很多. 例如，在藥品生產(chǎn)中，有原料成分、原料比 例、溫度、時(shí)間、機(jī)器設(shè)備、操作人員水平等許多 因素，每一個(gè)因素的改變都可能影響產(chǎn)品的質(zhì)量和數(shù)量.在 眾多影響因素中，有的影響較大，有的影響較小. 因此， 常常需要分析哪幾種因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量和產(chǎn)量有顯著影響.為 了解決這類問(wèn)題，一般需要做兩步工作.,4,第一步是設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)，使得這個(gè)試驗(yàn)一方面能 很好地反映我們所感興趣的因素的作用，另一方面 試驗(yàn)的次數(shù)
2、要盡可能地少，盡可能地節(jié)約人力、物 力和時(shí)間.,其次是如何充分地利用試驗(yàn)結(jié)果的信息，對(duì)我們 所關(guān)心的事物（因素的影響）作出合理地推斷. ；,前者通常稱為試驗(yàn)設(shè)計(jì)，后者最常用的統(tǒng)計(jì)方法 就是方差分析.,1 單因素方差分析,6,方差分析按影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，可分為: 單因素方差分析 雙因素方差分析 多因素方差分析,1 實(shí)例 例1 燈絲的配料方案選優(yōu) 某燈泡廠用四種不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡 ，在每批燈泡中隨機(jī)地抽取若干個(gè)測(cè)得其使用壽命（單位 ：小時(shí)），所得數(shù)據(jù)如表81. 試問(wèn)：這四批燈絲生產(chǎn)的燈泡，其使用壽命有無(wú)顯著差異？.,一 數(shù)學(xué)模型,表81 燈泡使用壽命數(shù)據(jù)表,在這個(gè)例
3、子里，燈泡使用壽命稱為試驗(yàn)結(jié)果或試驗(yàn)指標(biāo)，試驗(yàn)中，除燈絲外其它條件相同，燈絲的配料方案本身稱為因素，四種配料方案稱為四個(gè)水平，因此本例稱為一個(gè)因素四個(gè)水平的試驗(yàn).,2 基本概念,方差分析根據(jù)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行分析,鑒別 各個(gè)有關(guān)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響程度.,試驗(yàn)指標(biāo)試驗(yàn)中要考察的指標(biāo).,因素影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件.,因素,可 控 因 素,不可控因素,水平因素所處的狀態(tài).,單因素試驗(yàn)在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素改變.,多因素試驗(yàn)在一項(xiàng)試驗(yàn)中有多個(gè)因素在改變.,在每一個(gè)水平下進(jìn)行獨(dú)立試驗(yàn),結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量,將數(shù)據(jù)看成是來(lái)自四個(gè)總體的樣本值.,例2,問(wèn)題分析,倘若使用壽命無(wú)顯著差異，我們就可以從中選一種既經(jīng)濟(jì)又
4、方便的配料方案；如果有顯著差異，則希望選一種較優(yōu)的配料方案，以便提高燈泡的使用壽命.,檢驗(yàn)假設(shè),進(jìn)一步假設(shè)各總體均為正態(tài)變量,且各總體的 方差相等,但參數(shù)均未知.,問(wèn)題檢驗(yàn)同方差的多個(gè)正態(tài)總體均 值是否相等.,解決方法方差分析法,一種統(tǒng)計(jì)方法.,數(shù)學(xué)模型,假設(shè),單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型,需要解決的問(wèn)題,1.檢驗(yàn)假設(shè),數(shù)學(xué)模型的等價(jià)形式,檢驗(yàn)假設(shè),二 統(tǒng)計(jì)分析,1 假設(shè)檢驗(yàn) 下面我們來(lái)構(gòu)造檢驗(yàn)假設(shè) 用的統(tǒng)計(jì)量. 首先分析一下各個(gè) 為什么不相等？即引起 波動(dòng)（差異）的原因是什么？這里有兩個(gè)原因：,其一，當(dāng)假設(shè) 成立時(shí)，有 ，各個(gè) 的波動(dòng)完全由重復(fù)試驗(yàn)中的隨機(jī)誤差引起. 其二，當(dāng)假設(shè) 不成時(shí),
5、，各個(gè) 的數(shù)學(xué)期望不同，當(dāng)然取值也不會(huì)一致.,因此，我們想用一個(gè)量來(lái)刻劃各個(gè) 之間 的波動(dòng)程度，并且把引起波動(dòng)的兩個(gè)原因區(qū)分 開(kāi)來(lái)，這就是方差分析的總偏差平方和分解方 法，并由此構(gòu)造檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量.,數(shù)據(jù)的總平均,總偏差平方和（總變差）,平方和的分解,定理一(平方和分解定理）在單因素方差分析模型中，平方和有如下的恒等式,注: 定理一的意義是將試驗(yàn)中的總偏差平方和分解為試驗(yàn)隨機(jī)誤差的平方和與因素A的偏差平方和.,定理二 在單因素方差分析模型中，有 （1） , （2） ,此時(shí) .,注: 定理二(2)沒(méi)有用到假設(shè) ，因此不論 成立與否，定理二(2)都成立.,定理三 在單因素方差分析模型中，當(dāng)假設(shè)成立
6、時(shí)，則有 （1） , （2） 與 相互獨(dú)立，因而,證明略。,因此，根據(jù)定理三，當(dāng)假設(shè) 成立時(shí)，單因素方差分析模型構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 (1.15) 我們把上述統(tǒng)計(jì)分析過(guò)程，歸納為方差分析表，如表83,由試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得 的觀察值.,表8-3 單因素試驗(yàn)方差分析表,若 ,則拒絕 ，即認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著； 若 , 則接受 ，即認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著.,方差分析的科學(xué)依據(jù)是什么?,例3 例1歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè)（ ） 解 計(jì)算方差分析表得如下,對(duì)給定的 ,查表得 ， 因?yàn)?，所以接受 ，即 這4種配料方案生產(chǎn)的燈泡壽命之間無(wú)顯著差異. 換句話說(shuō)，配料方案對(duì)燈泡的壽命沒(méi)有顯著的影響.,注:
7、 在這個(gè)問(wèn)題中,四個(gè)總體均值的點(diǎn)估計(jì)分別是 如果不作方差分析,只根據(jù)四個(gè)樣本均值不 同會(huì)做出甲種燈泡使用壽命最長(zhǎng)的結(jié)論,但 經(jīng)過(guò)方差分析,發(fā)現(xiàn)在使用壽命上4種燈絲制 成的燈泡沒(méi)有顯著的差別. 因此.燈泡廠在選擇燈絲材料時(shí)就可以從其 它方面去考慮,例如在四種燈絲材料中選擇 能使燈泡成本較低的材料等等.,例4設(shè)有三臺(tái)機(jī)器,用來(lái)生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄 板.取樣,測(cè)量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結(jié) 果如下表所示.,2 參數(shù)估計(jì),（1） 的點(diǎn)估計(jì) 由定理二，不論 成立與否， ，此時(shí) ,所以 (1.16) 是的無(wú)偏估計(jì).,（2） （ ）的點(diǎn)估計(jì),因?yàn)?, ，故 (1.17) 分別是 無(wú)偏估計(jì).,（3） 的區(qū)間估計(jì),當(dāng)拒絕假設(shè) 時(shí)，常常要作出總體 和 ， 的均值差 的區(qū)間估計(jì).其做法: 由于 ， 由于 與 獨(dú)立,于是 據(jù)此得均值差 = 的置信水平為 的置信 區(qū)間為 (1.18),（4） 的點(diǎn)估計(jì),若拒絕 ，這意味者效應(yīng) 不全為零.由于 知 (1.19) 是 的無(wú)偏估計(jì).,（5） 的區(qū)間估計(jì),因?yàn)?，所以 . 所以的 區(qū)間估計(jì)與 的區(qū)間估計(jì)一樣.,例5,本 節(jié) 完,證明：,誤差平方和,效應(yīng)平方和,證明：,(2),方差分析表,各機(jī)器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異.,解：,解：,
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