概率論與數(shù)理統(tǒng)計.ppt

概率論與數(shù)理統(tǒng)計,昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 2010.08,2,第八章 方差分析與正交試驗設(shè)計,雙因素方差分析,正交試驗設(shè)計,主要內(nèi)容：,單因素方差分析,引 言,在科學(xué)試驗和生產(chǎn)實際中，影響一事物的因 素往往很多. 例如，在藥品生產(chǎn)中，有原料成分、原料比 例、溫度、時間、機(jī)器設(shè)備、操作人員水平等許多 因素，每一個因素的改變都可能影響產(chǎn)品的質(zhì)量和數(shù)量.在 眾多影響因素中，有的影響較大，有的影響較小. 因此， 常常需要分析哪幾種因素對產(chǎn)品質(zhì)量和產(chǎn)量有顯著影響.為 了解決這類問題，一般需要做兩步工作.,4,第一步是設(shè)計一個試驗，使得這個試驗一方面能 很好地反映我們所感興趣的因素的作用，另一方面 試驗的次數(shù)要盡可能地少，盡可能地節(jié)約人力、物 力和時間.,其次是如何充分地利用試驗結(jié)果的信息，對我們 所關(guān)心的事物（因素的影響）作出合理地推斷. ；,前者通常稱為試驗設(shè)計，后者最常用的統(tǒng)計方法 就是方差分析.,1 單因素方差分析,6,方差分析按影響試驗指標(biāo)的因素個數(shù)進(jìn)行分類，可分為: 單因素方差分析 雙因素方差分析 多因素方差分析,1 實例 例1 燈絲的配料方案選優(yōu) 某燈泡廠用四種不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡 ，在每批燈泡中隨機(jī)地抽取若干個測得其使用壽命（單位 ：小時），所得數(shù)據(jù)如表81. 試問：這四批燈絲生產(chǎn)的燈泡，其使用壽命有無顯著差異？.,一 數(shù)學(xué)模型,表81 燈泡使用壽命數(shù)據(jù)表,在這個例子里，燈泡使用壽命稱為試驗結(jié)果或試驗指標(biāo)，試驗中，除燈絲外其它條件相同，燈絲的配料方案本身稱為因素，四種配料方案稱為四個水平，因此本例稱為一個因素四個水平的試驗.,2 基本概念,方差分析根據(jù)試驗的結(jié)果進(jìn)行分析,鑒別 各個有關(guān)因素對試驗結(jié)果的影響程度.,試驗指標(biāo)試驗中要考察的指標(biāo).,因素影響試驗指標(biāo)的條件.,因素,可 控 因 素,不可控因素,水平因素所處的狀態(tài).,單因素試驗在一項試驗中只有一個因素改變.,多因素試驗在一項試驗中有多個因素在改變.,在每一個水平下進(jìn)行獨立試驗,結(jié)果是一個隨機(jī)變量,將數(shù)據(jù)看成是來自四個總體的樣本值.,例2,問題分析,倘若使用壽命無顯著差異，我們就可以從中選一種既經(jīng)濟(jì)又方便的配料方案；如果有顯著差異，則希望選一種較優(yōu)的配料方案，以便提高燈泡的使用壽命.,檢驗假設(shè),進(jìn)一步假設(shè)各總體均為正態(tài)變量,且各總體的 方差相等,但參數(shù)均未知.,問題檢驗同方差的多個正態(tài)總體均 值是否相等.,解決方法方差分析法,一種統(tǒng)計方法.,數(shù)學(xué)模型,假設(shè),單因素試驗方差分析的數(shù)學(xué)模型,需要解決的問題,1.檢驗假設(shè),數(shù)學(xué)模型的等價形式,檢驗假設(shè),二 統(tǒng)計分析,1 假設(shè)檢驗 下面我們來構(gòu)造檢驗假設(shè) 用的統(tǒng)計量. 首先分析一下各個 為什么不相等？即引起 波動（差異）的原因是什么？這里有兩個原因：,其一，當(dāng)假設(shè) 成立時，有 ，各個 的波動完全由重復(fù)試驗中的隨機(jī)誤差引起. 其二，當(dāng)假設(shè) 不成時, ，各個 的數(shù)學(xué)期望不同，當(dāng)然取值也不會一致.,因此，我們想用一個量來刻劃各個 之間 的波動程度，并且把引起波動的兩個原因區(qū)分 開來，這就是方差分析的總偏差平方和分解方 法，并由此構(gòu)造檢驗用的統(tǒng)計量.,數(shù)據(jù)的總平均,總偏差平方和（總變差）,平方和的分解,定理一(平方和分解定理）在單因素方差分析模型中，平方和有如下的恒等式,注: 定理一的意義是將試驗中的總偏差平方和分解為試驗隨機(jī)誤差的平方和與因素A的偏差平方和.,定理二 在單因素方差分析模型中，有 （1） , （2） ,此時 .,注: 定理二(2)沒有用到假設(shè) ，因此不論 成立與否，定理二(2)都成立.,定理三 在單因素方差分析模型中，當(dāng)假設(shè)成立時，則有 （1） , （2） 與 相互獨立，因而,證明略。,因此，根據(jù)定理三，當(dāng)假設(shè) 成立時，單因素方差分析模型構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量為 (1.15) 我們把上述統(tǒng)計分析過程，歸納為方差分析表，如表83,由試驗數(shù)據(jù)計算得 的觀察值.,表8-3 單因素試驗方差分析表,若 ,則拒絕 ，即認(rèn)為因素A對試驗結(jié)果的影響顯著； 若 , 則接受 ，即認(rèn)為因素A對試驗結(jié)果的影響不顯著.,方差分析的科學(xué)依據(jù)是什么?,例3 例1歸結(jié)為檢驗假設(shè)（ ） 解 計算方差分析表得如下,對給定的 ,查表得 ， 因為 ，所以接受 ，即 這4種配料方案生產(chǎn)的燈泡壽命之間無顯著差異. 換句話說，配料方案對燈泡的壽命沒有顯著的影響.,注: 在這個問題中,四個總體均值的點估計分別是 如果不作方差分析,只根據(jù)四個樣本均值不 同會做出甲種燈泡使用壽命最長的結(jié)論,但 經(jīng)過方差分析,發(fā)現(xiàn)在使用壽命上4種燈絲制 成的燈泡沒有顯著的差別. 因此.燈泡廠在選擇燈絲材料時就可以從其 它方面去考慮,例如在四種燈絲材料中選擇 能使燈泡成本較低的材料等等.,例4設(shè)有三臺機(jī)器,用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄 板.取樣,測量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結(jié) 果如下表所示.,2 參數(shù)估計,（1） 的點估計 由定理二，不論 成立與否， ，此時 ,所以 (1.16) 是的無偏估計.,（2） （ ）的點估計,因為 , ，故 (1.17) 分別是 無偏估計.,（3） 的區(qū)間估計,當(dāng)拒絕假設(shè) 時，常常要作出總體 和 ， 的均值差 的區(qū)間估計.其做法: 由于 ， 由于 與 獨立,于是 據(jù)此得均值差 = 的置信水平為 的置信 區(qū)間為 (1.18),（4） 的點估計,若拒絕 ，這意味者效應(yīng) 不全為零.由于 知 (1.19) 是 的無偏估計.,（5） 的區(qū)間估計,因為 ，所以 . 所以的 區(qū)間估計與 的區(qū)間估計一樣.,例5,本 節(jié) 完,證明：,誤差平方和,效應(yīng)平方和,證明：,(2),方差分析表,各機(jī)器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異.,解：,解：,