《估計量的評選標準-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(李長青版).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《估計量的評選標準-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(李長青版).ppt（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三節(jié) 估計量的評價標準,一、 無偏性,參數(shù)。于是有無偏估計量的概念.,在評價一個估計量的好壞時，我們當然希望估計,量與被估參數(shù)越接近越好。但估計量是一個隨機變,量，它的取值隨樣本的觀測值而變，有時與被估參數(shù),的真值近些，有時遠些，我們只能從平均意義上看,估計量是否與被估參數(shù)盡量接近，最好是等于被估,定義 1,例1 設(shè)總體 X 服從任意分布,且,是取自該總體的樣本. 證明樣本均值,和樣本方差,分別是和2 的無偏估計量.,證,由數(shù)學期望的性質(zhì)知,設(shè)總體X的k階矩E(Xk)存在, 證明樣本的k階矩是E(Xk)的無偏估計.,證,設(shè)總體的方差D(X)存在,試證樣本二階中心矩B2是總體方差D(X)的有偏
2、估計.,證明,所以, B2是總體方差 D(X)的有偏估計.,注1:,注2：一個未知參數(shù)的無偏估計可能有多個, 僅有無,無偏性標準還不夠。由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學期望的偏離程度的度量，所以無偏估計以方差小者為好。這就引出了估計量的有效性這一概念。,定義2,證明,由于總體服從泊松分布，故,于是有,同理,但是,例3 設(shè)(X1,X2, X3)是來自總體X的一個樣本,證明下面的三個估計量都是總體均值E(X)的無偏估計量,證明,定義3 在未知參數(shù)的所有無偏估計量中, 如果估,計量,的方差,最小, 則稱,為 的,的最小方差無偏估計量.,若總體 X 分布密度（或分布律）為,為總體 X 的一個樣本,為未知
3、參數(shù)的一個無偏估計量, 則有,其中,稱為Fisher信息量, 它的另一表,羅克拉美(RaoCramer)不等式,達形式為,羅克拉美不等式右端的項稱為羅克拉美下界.,例4 設(shè)總體,為取自總體 X 的,一個樣本, 證明: 樣本均值,是參數(shù)的最小方差無偏,估計量.,證,由已知可得,從而,又 X 的分布律為,所以,故有,估計量的無偏性和有效性都是在樣本容量固定的前提下提出的。我們自然希望隨著樣本容量的增大，一個估計量的值穩(wěn)定于待估參數(shù)的真值。這就對估計量提出了一致性的要求。,三、一致性,由切比雪夫大數(shù)定律知,是總體均值,的一致估計量.,即,例4 設(shè)總體 X 服從任何分布, 且,證明樣本均值,是總體均值,的一致估計量.,證,因為樣本,相互獨立, 且與 X 同分布,故有,
估計量的評選標準-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(李長青版).ppt
