估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(李長(zhǎng)青版).ppt

第三節(jié) 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),一、 無(wú)偏性,參數(shù)。于是有無(wú)偏估計(jì)量的概念.,在評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞時(shí)，我們當(dāng)然希望估計(jì),量與被估參數(shù)越接近越好。但估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變,量，它的取值隨樣本的觀測(cè)值而變，有時(shí)與被估參數(shù),的真值近些，有時(shí)遠(yuǎn)些，我們只能從平均意義上看,估計(jì)量是否與被估參數(shù)盡量接近，最好是等于被估,定義 1,例1 設(shè)總體 X 服從任意分布,且,是取自該總體的樣本. 證明樣本均值,和樣本方差,分別是和2 的無(wú)偏估計(jì)量.,證,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)知,設(shè)總體X的k階矩E(Xk)存在, 證明樣本的k階矩是E(Xk)的無(wú)偏估計(jì).,證,設(shè)總體的方差D(X)存在,試證樣本二階中心矩B2是總體方差D(X)的有偏估計(jì).,證明,所以, B2是總體方差 D(X)的有偏估計(jì).,注1:,注2：一個(gè)未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)可能有多個(gè), 僅有無(wú),無(wú)偏性標(biāo)準(zhǔn)還不夠。由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度的度量，所以無(wú)偏估計(jì)以方差小者為好。這就引出了估計(jì)量的有效性這一概念。,定義2,證明,由于總體服從泊松分布，故,于是有,同理,但是,例3 設(shè)(X1,X2, X3)是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本,證明下面的三個(gè)估計(jì)量都是總體均值E(X)的無(wú)偏估計(jì)量,證明,定義3 在未知參數(shù)的所有無(wú)偏估計(jì)量中, 如果估,計(jì)量,的方差,最小, 則稱,為 的,的最小方差無(wú)偏估計(jì)量.,若總體 X 分布密度（或分布律）為,為總體 X 的一個(gè)樣本,為未知參數(shù)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量, 則有,其中,稱為Fisher信息量, 它的另一表,羅克拉美(RaoCramer)不等式,達(dá)形式為,羅克拉美不等式右端的項(xiàng)稱為羅克拉美下界.,例4 設(shè)總體,為取自總體 X 的,一個(gè)樣本, 證明: 樣本均值,是參數(shù)的最小方差無(wú)偏,估計(jì)量.,證,由已知可得,從而,又 X 的分布律為,所以,故有,估計(jì)量的無(wú)偏性和有效性都是在樣本容量固定的前提下提出的。我們自然希望隨著樣本容量的增大，一個(gè)估計(jì)量的值穩(wěn)定于待估參數(shù)的真值。這就對(duì)估計(jì)量提出了一致性的要求。,三、一致性,由切比雪夫大數(shù)定律知,是總體均值,的一致估計(jì)量.,即,例4 設(shè)總體 X 服從任何分布, 且,證明樣本均值,是總體均值,的一致估計(jì)量.,證,因?yàn)闃颖?相互獨(dú)立, 且與 X 同分布,故有,