函數(shù)連續(xù)與連續(xù)函數(shù)的運算.ppt

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1、,二、 函數(shù)的間斷點,一、 函數(shù)連續(xù)性的定義,第七節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運算,第一章,三、 連續(xù)函數(shù)的運算,分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù), 研究對象, 研究方法, 研究橋梁,連續(xù)函數(shù)是微積分研究的主要對象。,連續(xù)現(xiàn)象、連續(xù)性是自然界、人類社會 大量呈現(xiàn)的基本現(xiàn)象。,有關(guān)連續(xù)的相關(guān)概念,自變量的改變量（增量）,函數(shù)的改變量 （增量）,說明: 1）函數(shù),在點,一、 函數(shù)連續(xù)性（ Continuous ）的定義,定義:,在,的某鄰域內(nèi)有定義 ,則稱函數(shù),(1),在點,即,(2) 極限,(3),設(shè)函數(shù),連續(xù)必須具備下列條件:,存在 ;,且,有定義 ,存在 ;,機

2、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 函數(shù)在一點的連續(xù)性,2）對自變量的增量,有函數(shù)的增量,當(dāng),時, 有,則函數(shù),在點,連續(xù)有下列等價命題:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,左連續(xù),2.左連續(xù)與右連續(xù),右連續(xù), 在 點連續(xù),在 點既左連續(xù)又右連續(xù).,3.在區(qū)間上的連續(xù)性,f (x)在(a, b)內(nèi)連續(xù),f 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的每一點都連續(xù).,在a, b上連續(xù),f 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù),且在a點處右連續(xù)，在b點處左連續(xù).,或 f 在(a, b)內(nèi)連續(xù),若 f 在a, b上連續(xù),則記作,continue,若,在某區(qū)間上每一點都連續(xù) ,則稱它在該區(qū)間上,連續(xù) ,或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)

3、函數(shù) .,例如,在,上連續(xù) .,(多項式函數(shù)),又如, 有理分式函數(shù),在其定義域內(nèi)連續(xù).,注意：只有在定義域上連續(xù)的函數(shù)才是連續(xù)函數(shù),只要,都有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 連續(xù)函數(shù),例1. 證明函數(shù),在,內(nèi)連續(xù) .,證:,即,這表明：,在,內(nèi)連續(xù) .,同理可證: 函數(shù),在,內(nèi)連續(xù) .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.設(shè),討論,在,處的連續(xù)性.,解:,處連續(xù),需有,即,故,例3.,設(shè)函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間,上 ,若 f (x) 在,連續(xù),證: 由,且對任意實

4、數(shù),證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,再由 f (x) 在x =0連續(xù) ，有,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在,在,二、 函數(shù)的間斷點,(1) 函數(shù),(2) 函數(shù),不存在;,(3) 函數(shù),存在 ,但,不連續(xù) :,設(shè),在點,的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形,這樣的點,之一函數(shù) f (x) 在點,雖有定義 , 但,雖有定義 , 且,稱為間斷點 .,在,無定義 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,如,間斷點分類:,第一類間斷點:,及,均存在 ,若,稱,若,稱,第二類間斷點:,及,中至少一個不存在 ,稱,若其中有一個為振蕩 ,稱,若其中有一個

5、為,為可去間斷點 .,為跳躍間斷點 .,為無窮間斷點 .,為振蕩間斷點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,各類間斷點圖示,為其無窮間斷點 .,為其振蕩間斷點 .,為可去間斷點 .,例5.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,判斷下列函數(shù)在指定間斷點的類型,顯然,為其可去間斷點 .,(4),(5),為其跳躍間斷點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 求函數(shù),的間斷點并判斷其類型.,解: 間斷點,為無窮間斷點;,故,為跳躍間斷點.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7.,求,的間斷點, 并判別其類型.,解:,x = 1 為第一類可去間斷點,x = 1 為第二類無窮間斷點,x

6、= 0 為第一類跳躍間斷點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,有無窮間斷點,及可去間斷點,解:,為無窮間斷點,所以,為可去間斷點 ,極限存在,例8. 設(shè)函數(shù),試確定常數(shù) a 及 b .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2. 連續(xù)的單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù),在其定義域內(nèi)連續(xù),三、函數(shù)連續(xù)性的運算法則,定理1. 在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運算法則證明),商(分母不為 0) 運算,結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .,例如,例如,在,上連續(xù)單調(diào)遞增，,其反函數(shù),(遞減).,(證明略),在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.,遞增,(遞減),也連續(xù)單調(diào),機動

7、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.,在,上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù),在,上也連續(xù)單調(diào)遞增.,即若 函數(shù),則,即復(fù)合函數(shù),又如,且,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈,因此,在,上連續(xù) .,復(fù)合而成 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,1）復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理可以寫成下面兩種形式,(1)式表示,在定理的條件下,函數(shù)符號和極限號可交換.,(2)式表示,在定理的條件下,可通過代換化復(fù)合函數(shù)為,簡單函數(shù).,2）由于連續(xù)是由極限定義的,因此計算涉,及連續(xù)函數(shù)的極限時,實際是如下計算的：,1.,2.,3）關(guān)于連續(xù)函數(shù)運算法則,有如下結(jié)

8、果:,(1)函數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù),g (x) 在 x0 處間斷,則F(x)= f (x) + g (x)在 x0 處必間斷.,(2)函數(shù) f (x)與g (x)在 x0 處都間斷,則F(x) = f (x) g (x)在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.,(3)函數(shù) f (x)在 x0 處連續(xù),g (x)在 x0 處間斷,則F(x) = f (x) g (x)在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.,(4)函數(shù) u=(x) 在 x0 處間斷,u0=(x0) ,y = f(u) 在 u0 處連續(xù),則y = f (x) 在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.,二、初等函數(shù)的連續(xù)性,基本初等函數(shù)在定義域

9、內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),例如,則連續(xù)區(qū)間為,(端點為單側(cè)連續(xù))，,的連續(xù)區(qū)間為,的定義域為,因此它無連續(xù)點,而,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,左右極限都存在,第二類間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,左右極限至少有一個不存在,在點,間斷的類型,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1 .,設(shè),均在,上連續(xù),證明函數(shù),也在,上連續(xù).,證:,根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則 ,可知,也在,上,連續(xù) .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、例題分析,例2. 求,解:,原式,例3.

10、 求,解: 令,則,原式,說明: 當(dāng),時, 有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 求,解:,原式,說明: 若,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 設(shè),解:,討論復(fù)合函數(shù),的連續(xù)性 .,故此時連續(xù);,而,故,x = 1為第一類間斷點 .,在點 x = 1 不連續(xù) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,左右極限都存在,第二類間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,左右極限至少有一個不存在,在點,間斷的類型,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù),連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3.初等函數(shù)的連續(xù)性,思考與練習(xí),1. 討論函數(shù),x = 2 是第二類無窮間斷點 .,間斷點的類型.,2. 設(shè),時,提示:,為,連續(xù)函數(shù).,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,答案: x = 1 是第一類可去間斷點 ,續(xù)?,反例,處處間斷,處處連續(xù) .,反之是否成立?,提示:,“反之” 不成立 .,第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),