函數(shù)連續(xù)與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算.ppt

,二、 函數(shù)的間斷點(diǎn),一、 函數(shù)連續(xù)性的定義,第七節(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算,第一章,三、 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算,分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù), 研究對(duì)象, 研究方法, 研究橋梁,連續(xù)函數(shù)是微積分研究的主要對(duì)象。,連續(xù)現(xiàn)象、連續(xù)性是自然界、人類社會(huì) 大量呈現(xiàn)的基本現(xiàn)象。,有關(guān)連續(xù)的相關(guān)概念,自變量的改變量（增量）,函數(shù)的改變量 （增量）,說明: 1）函數(shù),在點(diǎn),一、 函數(shù)連續(xù)性（ Continuous ）的定義,定義:,在,的某鄰域內(nèi)有定義 ,則稱函數(shù),(1),在點(diǎn),即,(2) 極限,(3),設(shè)函數(shù),連續(xù)必須具備下列條件:,存在 ;,且,有定義 ,存在 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性,2）對(duì)自變量的增量,有函數(shù)的增量,當(dāng),時(shí), 有,則函數(shù),在點(diǎn),連續(xù)有下列等價(jià)命題:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,左連續(xù),2.左連續(xù)與右連續(xù),右連續(xù), 在 點(diǎn)連續(xù),在 點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù).,3.在區(qū)間上的連續(xù)性,f (x)在(a, b)內(nèi)連續(xù),f 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù).,在a, b上連續(xù),f 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù),且在a點(diǎn)處右連續(xù)，在b點(diǎn)處左連續(xù).,或 f 在(a, b)內(nèi)連續(xù),若 f 在a, b上連續(xù),則記作,continue,若,在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) ,則稱它在該區(qū)間上,連續(xù) ,或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .,例如,在,上連續(xù) .,(多項(xiàng)式函數(shù)),又如, 有理分式函數(shù),在其定義域內(nèi)連續(xù).,注意：只有在定義域上連續(xù)的函數(shù)才是連續(xù)函數(shù),只要,都有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 連續(xù)函數(shù),例1. 證明函數(shù),在,內(nèi)連續(xù) .,證:,即,這表明：,在,內(nèi)連續(xù) .,同理可證: 函數(shù),在,內(nèi)連續(xù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.設(shè),討論,在,處的連續(xù)性.,解:,處連續(xù),需有,即,故,例3.,設(shè)函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間,上 ,若 f (x) 在,連續(xù),證: 由,且對(duì)任意實(shí)數(shù),證明 f (x) 對(duì)一切 x 都連續(xù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,再由 f (x) 在x =0連續(xù) ，有,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在,在,二、 函數(shù)的間斷點(diǎn),(1) 函數(shù),(2) 函數(shù),不存在;,(3) 函數(shù),存在 ,但,不連續(xù) :,設(shè),在點(diǎn),的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形,這樣的點(diǎn),之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn),雖有定義 , 但,雖有定義 , 且,稱為間斷點(diǎn) .,在,無定義 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,如,間斷點(diǎn)分類:,第一類間斷點(diǎn):,及,均存在 ,若,稱,若,稱,第二類間斷點(diǎn):,及,中至少一個(gè)不存在 ,稱,若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱,若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .,為跳躍間斷點(diǎn) .,為無窮間斷點(diǎn) .,為振蕩間斷點(diǎn) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,各類間斷點(diǎn)圖示,為其無窮間斷點(diǎn) .,為其振蕩間斷點(diǎn) .,為可去間斷點(diǎn) .,例5.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,判斷下列函數(shù)在指定間斷點(diǎn)的類型,顯然,為其可去間斷點(diǎn) .,(4),(5),為其跳躍間斷點(diǎn) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 求函數(shù),的間斷點(diǎn)并判斷其類型.,解: 間斷點(diǎn),為無窮間斷點(diǎn);,故,為跳躍間斷點(diǎn).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7.,求,的間斷點(diǎn), 并判別其類型.,解:,x = 1 為第一類可去間斷點(diǎn),x = 1 為第二類無窮間斷點(diǎn),x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,有無窮間斷點(diǎn),及可去間斷點(diǎn),解:,為無窮間斷點(diǎn),所以,為可去間斷點(diǎn) ,極限存在,例8. 設(shè)函數(shù),試確定常數(shù) a 及 b .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2. 連續(xù)的單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù),在其定義域內(nèi)連續(xù),三、函數(shù)連續(xù)性的運(yùn)算法則,定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明),商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .,例如,例如,在,上連續(xù)單調(diào)遞增，,其反函數(shù),(遞減).,(證明略),在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.,遞增,(遞減),也連續(xù)單調(diào),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.,在,上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù),在,上也連續(xù)單調(diào)遞增.,即若 函數(shù),則,即復(fù)合函數(shù),又如,且,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈,因此,在,上連續(xù) .,復(fù)合而成 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,1）復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理可以寫成下面兩種形式,(1)式表示,在定理的條件下,函數(shù)符號(hào)和極限號(hào)可交換.,(2)式表示,在定理的條件下,可通過代換化復(fù)合函數(shù)為,簡(jiǎn)單函數(shù).,2）由于連續(xù)是由極限定義的,因此計(jì)算涉,及連續(xù)函數(shù)的極限時(shí),實(shí)際是如下計(jì)算的：,1.,2.,3）關(guān)于連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則,有如下結(jié)果:,(1)函數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù),g (x) 在 x0 處間斷,則F(x)= f (x) + g (x)在 x0 處必間斷.,(2)函數(shù) f (x)與g (x)在 x0 處都間斷,則F(x) = f (x) g (x)在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.,(3)函數(shù) f (x)在 x0 處連續(xù),g (x)在 x0 處間斷,則F(x) = f (x) g (x)在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.,(4)函數(shù) u=(x) 在 x0 處間斷,u0=(x0) ,y = f(u) 在 u0 處連續(xù),則y = f (x) 在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.,二、初等函數(shù)的連續(xù)性,基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),例如,則連續(xù)區(qū)間為,(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))，,的連續(xù)區(qū)間為,的定義域?yàn)?因此它無連續(xù)點(diǎn),而,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),左右極限都存在,第二類間斷點(diǎn),無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),左右極限至少有一個(gè)不存在,在點(diǎn),間斷的類型,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1 .,設(shè),均在,上連續(xù),證明函數(shù),也在,上連續(xù).,證:,根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 ,可知,也在,上,連續(xù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、例題分析,例2. 求,解:,原式,例3. 求,解: 令,則,原式,說明: 當(dāng),時(shí), 有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 求,解:,原式,說明: 若,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 設(shè),解:,討論復(fù)合函數(shù),的連續(xù)性 .,故此時(shí)連續(xù);,而,故,x = 1為第一類間斷點(diǎn) .,在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),左右極限都存在,第二類間斷點(diǎn),無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),左右極限至少有一個(gè)不存在,在點(diǎn),間斷的類型,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù),連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),說明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3.初等函數(shù)的連續(xù)性,思考與練習(xí),1. 討論函數(shù),x = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn) .,間斷點(diǎn)的類型.,2. 設(shè),時(shí),提示:,為,連續(xù)函數(shù).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn) ,續(xù)?,反例,處處間斷,處處連續(xù) .,反之是否成立?,提示:,“反之” 不成立 .,第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),