內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三講 數(shù)列與不等式 理

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1、內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三講 數(shù)列與不等式(理科) 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題,對(duì)等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前項(xiàng)和公式,對(duì)增長(zhǎng)率、分期付款等數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對(duì)數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間.考試要求（1）數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念. 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公

2、式. 能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)例1（1）已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且、2成等差數(shù)列，求 ; （2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，, 求 .【點(diǎn)撥】（1）依據(jù)等差中項(xiàng)的概念先求等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值. （2）此題的算法較多，如何尋找合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)， 由第一個(gè)條件得出，再由第二個(gè)條件列出方程求.【解】（1）依題意可得：，即，則有可得，解得或（舍） 所以; （2）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，由，得：20

3、，2，又，即38，即（2m1）238，解得m10，【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細(xì)的現(xiàn)象；（2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（3）對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計(jì)算等量，一旦計(jì)算量大一點(diǎn)，解題受阻.變式與引申1：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差 .（1）求的值;（2）當(dāng)為最小時(shí)，求的值.題型二：數(shù)列的通項(xiàng)與求和例2（2009年湖北文科卷第19題）已知是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足 .(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若數(shù)列和數(shù)列滿足等式：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】（1）等差數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個(gè)基本量,再進(jìn)一步

4、求通項(xiàng)及前項(xiàng)和，當(dāng)然若能利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)計(jì)算，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了.（2）分組求和、倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等是常用的求和方法，這里利用（1）的結(jié)論以及的關(guān)系求的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式求前 項(xiàng)和 .【解】（1）解法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則依題設(shè)d0 ，由.得 由得 由得將其代入得.即， ，代入得解法2：等差數(shù)列中， ，公差， （2）設(shè)，則有 兩式相減得，由（1）得，即當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，于是=【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）由的關(guān)系及（1）的結(jié)論找不到的通項(xiàng)公式，使解題受阻；（2）在求的通項(xiàng)公式時(shí)，由得,把這個(gè)條件遺漏；（3）忽略當(dāng)時(shí)，直接寫；（4）計(jì)算數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)隨意添加項(xiàng).變式與引申2：1.已知是數(shù)列的

5、前n項(xiàng)和，并且=1，對(duì)任意正整數(shù)n，；設(shè)）. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)的前n項(xiàng)和，求.2. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （2）當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型三：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3. 為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)；(3)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【點(diǎn)

6、撥】（1）頻率分布直方圖是解決問(wèn)題的關(guān)?。唬?）已知前兩項(xiàng)的頻數(shù)，前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，可求，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng)，的前六項(xiàng)和可求，得，（3）求得、后，根據(jù)題設(shè)條件，按遞推公式求通項(xiàng)公式方法求出.【解】(1)由題意知因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng).公比為3的等比數(shù)列，所以 ，又=100(1+3+9)， 所以=87,解得因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng),公差為5的等差數(shù)列, 所以 (2) 求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)為 (3) 由 可知，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)， , , 又因此數(shù)列是一個(gè)從第2項(xiàng)開始的公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）不理解的意義，解題找不到切入點(diǎn)

7、；（2）計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)忽略“全校100名學(xué)生”這個(gè)重要的已知條件，導(dǎo)致前兩問(wèn)的結(jié)果都不正確；（3）求出、后，由題設(shè)條件不能正確地找出求的方法；（4）計(jì)算由式變?yōu)槭綍r(shí)，缺少這個(gè)條件.變式與引申3： 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：2008年2009年2010年新植畝數(shù)100014001800沙地畝數(shù)252002400022400而一旦植完，則不會(huì)被沙化問(wèn)：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少；圖3-1-2 （2）到那一年可綠化完全部荒沙地.題型四：數(shù)列綜合題例4根據(jù)如圖所示的程

8、序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）寫出，由此猜想出數(shù)列；的一個(gè)通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論;（3）求【點(diǎn)撥】（1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物，因?yàn)槌绦蚩驁D中循環(huán)，與數(shù)列的各項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視；（2）由循環(huán)體寫出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決問(wèn)題 的關(guān)健；（3）掌握錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和及數(shù)列求和的一般方法. 【解】（1）由框圖，知數(shù)列中 （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想證明：由框圖，知數(shù)列yn中， ， 數(shù)列yn+1是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， （3）

9、=13+332+（2n1）3n1+3+（2n1）記Sn=13+332+（2n1）3n， 則3Sn=132+333+（2n1）3n+1 ，得2Sn=3+232+233+23n（2n1）3n+1=2（3+32+3n）3（2n1）3n+1 = 又1+3+（2n1）=n2 .【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）根據(jù)框圖不能正確寫出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（2）對(duì)數(shù)列求和的方法及每種方法所適合的題型認(rèn)識(shí)不清，盲目求和；（3）對(duì)指數(shù)運(yùn)算不夠熟悉，導(dǎo)致利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出的結(jié)果不正確.變式與引申4：已知曲線y=，過(guò)曲線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）作切線.（1）求證：直線與曲線y=交于另一點(diǎn)；（2）在（1）的結(jié)論中，求出的遞推關(guān)系.若，

10、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，記，問(wèn)是否存在自然數(shù)m，M，使得不等式對(duì)一切n恒成立，若存在，求出Mm的最小值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由.【小結(jié)】本節(jié)主要考查：（1）數(shù)列的有關(guān)概念，遞推公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、判定方法、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，數(shù)列求和及數(shù)列的應(yīng)用（2）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，所以數(shù)列常與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率及算法等知識(shí)點(diǎn)交融命題，解決數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和、證明不等關(guān)系等問(wèn)題（3）簡(jiǎn)單的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法，分組求和、倒序相加、裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減等數(shù)列求和方法（4）著重考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等

11、重要的數(shù)學(xué)思想.點(diǎn)評(píng)：（1）“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題中非常重要，樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意解題的目標(biāo)；（2）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題型，要切實(shí)注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化.如：， =等；（3）等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，充分理解公式的變式及適用范圍，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題；

12、（4）求和問(wèn)題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，如公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等；（5）在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)， 進(jìn)一步培養(yǎng)閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力；（6）解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題數(shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)

13、以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解習(xí)題311（2009年遼寧省文科卷）已知為等差數(shù)列，且21, 0,則公差d （ ）A2 B C D22等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若=，則=_3數(shù)列中，（是不為零的常數(shù)，），且成等比數(shù)列（1）求的值；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和 4在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.5已知數(shù)列滿足且 （1）求的表達(dá)式； （2）求； （3）

14、若，試比較的大小，并說(shuō)明理由.第二節(jié) 解不等式 不等式是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，對(duì)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為載體，綜合考查不等式的解法和證明.不等式因它的基礎(chǔ)性（是研究函數(shù)、方程、極限等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識(shí)結(jié)合在一起）、應(yīng)用性（實(shí)際應(yīng)用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點(diǎn).近幾年，高考關(guān)于不等式的命題趨勢(shì)是：（1）單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，若

15、是解答題也是中等難度的題目；（2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為載體，綜合考查不等式的解法和證明，突出不等式的工具性.在高考試卷中，有關(guān)解不等式的試題一般有一到兩道考試要求（1）不等關(guān)系：了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景（2）一元二次不等式 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型 通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系 會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖（3）二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組 了解二元一次不等式的幾何意義，能

16、用平面區(qū)域表示二元一次不等式組 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決題型一： 不等式的解法例1（1）(2008年江西卷文科第13題)不等式的解集為 （2）、 (2008全國(guó)卷理科第9題)設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）A B C D點(diǎn)撥；解不等式的基本思想方法是轉(zhuǎn)化：一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式（通過(guò)化“同底”）轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，抽象函數(shù)不等式（通過(guò)單調(diào)性）轉(zhuǎn)化為具體不等式等.本題是指數(shù)不等式，可通過(guò)化“同底”求解解：（1）原不等式變?yōu)椋芍笖?shù)函數(shù)的增減性，得：，即，由此可得原不等式解集為 （2）由奇函

17、數(shù)可知，而，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又在上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在上為增函數(shù)，或,選D.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）分不清指數(shù)函數(shù)增減性，誤把不等式轉(zhuǎn)化為得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 （2）不考慮奇函數(shù)在上的單調(diào)性，不知道等價(jià)轉(zhuǎn)化，變式與引申1：（1）(2009年山東卷第5題) 在R上定義運(yùn)算: ,則滿足1，解關(guān)于x的不等式；題型三：不等式的恒成立問(wèn)題例3 （2008年上海文科第19題）已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍點(diǎn)撥：不等式恒成立問(wèn)題通常有以下處理方法：（1）分離參數(shù)法，將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決；（2）變換主元法，有些題分離參數(shù)后很難求最值，可考慮變換思維角度，即主元與參數(shù)

18、互換位置（3）數(shù)形結(jié)合法。本題分離參數(shù)后可求最值.解（1）. 由已知，解得 .（2）當(dāng)即,在上恒成立,.又時(shí),故的取值范圍是.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）絕對(duì)值的處理方法不明確，找不到解題的突破口（2）指數(shù)運(yùn)算不熟悉，不能正確地將參數(shù)與變量進(jìn)行分離（3）能否取等號(hào)也是常見的錯(cuò)誤.變式與引申3：（1）已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍 （2）奇函數(shù)上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使對(duì)所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實(shí)數(shù)m；若不存在，說(shuō)明理由.題型四：線性規(guī)劃問(wèn)題與基本不等式例4 （1） 設(shè)滿足則( ).圖（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，無(wú)最大值（C）有最大值3，無(wú)最小值 （D）既無(wú)最小

19、值，也無(wú)最大值（2）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為 點(diǎn)撥：（1）首先準(zhǔn)確地作出線性約束條件下的可行域，再由yx經(jīng)過(guò)平移得到結(jié)論，這里關(guān)鍵就在于轉(zhuǎn)化與化歸（2）找出定點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程，得，由均值不等式得結(jié)果.解（1）畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由zxy，得yxz，令z0，畫出yx的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過(guò)A（2,0）時(shí)，z取得最小值，最小值為：z2，無(wú)最大值，故選.B（2）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),，,.易錯(cuò)點(diǎn)： 可行域畫不準(zhǔn)確，將yx經(jīng)過(guò)平移后得到的最優(yōu)解不正確，圖變式與引申4：（1）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線 掃過(guò)中的那部分區(qū)域的面積

20、為 ( ) AB1 C D5（2）已知，則的最小值是（ ）A2BC4D5本節(jié)主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性質(zhì)及能轉(zhuǎn)化為它們的分式不等式、絕對(duì)值不等式、指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的解法以及含字母系數(shù)不等式的解法；（2）基本不等式及其應(yīng)用，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等問(wèn)題（3）圖解法、換元法、分析法、綜合法等方法（4）數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點(diǎn)評(píng)：（1）解不等式的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化.分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式；抽象函數(shù)的不等式在確定其單調(diào)性的前提下去掉函數(shù)符號(hào)轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（2）在不

21、等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系.對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，有時(shí)可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化具體地說(shuō)，分式化為整式，高次化為低次，絕對(duì)值化為非絕對(duì)值，指數(shù)與對(duì)數(shù)化為代數(shù)式等分類討論分類討論的目的是處理解決問(wèn)題過(guò)程中遇到的障礙，在無(wú)障礙時(shí)不要提前進(jìn)行分類討論數(shù)形結(jié)合有些不等式的解決可化為兩個(gè)函數(shù)圖像間的位置關(guān)系的討論等幾何問(wèn)題（4）函數(shù)方程思想解不等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的問(wèn)題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間如“穿根法”實(shí)際上就是一種函數(shù)方程思想（5）線性

22、規(guī)劃問(wèn)題的解題步驟：根據(jù)線性約束條件畫出可行域；利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解。最優(yōu)“整點(diǎn)”不一定在可行區(qū)域內(nèi)，這時(shí)需要將相近的點(diǎn)一一列出，再代入約束條件和目標(biāo)函數(shù)逐一檢驗(yàn)，得出正確答案.（6）在利用基本不等式解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，特別注意不等式成立的條件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式時(shí)，要掌握常見的恒等變形技巧。（7）不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用如集合問(wèn)題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題等，無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系.因此不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的靈活性、綜合性在解決問(wèn)題時(shí)，要依

23、據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解 習(xí)題321 (2009年山東卷理科第12題)設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)的值是最大值為12，則的最小值為 ( ) A. B. C. D. 42（2010年山東卷理科第14題）若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍是 3已知、都是奇函數(shù)，的解集是，的解集是，求的解集 4解關(guān)于x的不等式1(a1) 5已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若m、n1，1，m+n0時(shí)0 (1)用定義證明在1，1上是增函數(shù)；(2)解不等式：；(3)若對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍第三節(jié) 推理與證明推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，也是人們經(jīng)常使用的思維

24、方式推理一般包括合情推理和演繹推理，證明包括直接證明、間接證明這部分內(nèi)容是每年高考的必考知識(shí)題型可能是選擇題、填空題，主要考查類比或歸納推理等；也可能是解答題，考查問(wèn)題的證明，推理與證明常與數(shù)列、不等到式問(wèn)題綜合，難度一般在之間.考試要求 （1）合情推理與演繹推理 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用; 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理; 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異;（2）直接證明與間接證明 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn); 了解間接證明的一種基

25、本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).題型一：合情推理例1（1）若ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長(zhǎng)為a、b、c，則ABC的面積Sr (a+b+c) 類比到空間，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為S1、S2 、S3 、S4，則四面體的體積 （2）（2009年浙江卷第15題）觀察下列等式： ， ， 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于， 【點(diǎn)撥】（1）類比推理是指兩類對(duì)象具有一些類似特征，由其中一類的某些已知特征推出另一類對(duì)象的某些特征；（2）這是一種歸納推理方法，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為要善于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)字間的特征才能找到規(guī)律，得到一般形式【解】（1）比較兩個(gè)對(duì)象，三邊對(duì)四

26、面，面積對(duì)體積，內(nèi)切圓對(duì)內(nèi)切球，三邊長(zhǎng)對(duì)四個(gè)面的面積，由Sr (a+b+c)等式兩邊的量，類比對(duì)應(yīng)到體積、系數(shù)、半徑R、面積S1S2S3S4， 答：R(S1S2S3S4)（2）在給出的一系列的等式中，右邊為兩項(xiàng)，形成加減輪換的規(guī)律，其中一個(gè)的指數(shù)由構(gòu)成，第二個(gè)的指數(shù)由構(gòu)成，故等式的右邊為：【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）類似特征不明確，類比結(jié)論錯(cuò)誤；（2）不善于尋找數(shù)字間的規(guī)律，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤變式與引申1：（1） 在RtABC中，CACB，斜邊AB上的高為h1，DO圖則；類比此性質(zhì)，如圖，在四面體PABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為_ .（2）在古臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1

27、，3，6，10，15，21，28，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形圖 1 3 6 10 15 則第個(gè)三角形數(shù)為（ ）A B C D題型二：演繹推理例2（2009年江蘇卷第16題）如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.ABCA1B1C1EFD圖A1求證：（1）;（2）.【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)的證明主要是通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行的，證明線面平行時(shí)一定要注意注明直線在平面內(nèi)及直線在平面外這兩個(gè)條件【解】證明：（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，所以；（2）因?yàn)橹比庵?，所以，又，所以，又，所以【易錯(cuò)點(diǎn)】三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、結(jié)論三部分，在書寫證明的過(guò)程中，很多

28、學(xué)生會(huì)出現(xiàn)跳步現(xiàn)象，邏輯關(guān)系不清楚是常見的錯(cuò)誤變式與引申2：（1）已知正方形的對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)角相等；正方形是平行四邊形根據(jù)三段論推理得到一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論的序號(hào)是 ;（2）如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).ABCDEF圖（1）求證：AF平面BCE；（2）求證：平面BCE平面CDE.題型三：直接證明與間接證明例3 （1）已知 求證： （2）已知函數(shù)y=ax+(a1).（）證明：函數(shù)f(x)在（1,+)上為增函數(shù)；（）用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.【點(diǎn)撥】（1）綜合法著力分析已知和求證之間的差異和聯(lián)系，并合理運(yùn)用已知條件進(jìn)行有效的變

29、換是證明的關(guān)鍵，綜合法可以使證明過(guò)程表述簡(jiǎn)潔，但必須首先考慮從哪開始，這一點(diǎn)比較困難，分析法就可以幫助我們克服這一點(diǎn)，運(yùn)用分析法比較容易探求解題的途徑，但過(guò)程不及綜合法簡(jiǎn)單，所以應(yīng)把它們結(jié)合起來(lái) （2）用反證法證明把握三點(diǎn)：必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；導(dǎo)致的矛盾可能多種多樣，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的【解】（1）證法1：（綜合法） ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 即 證法2：（分析法） 要證，只要證 即證 ，即證 即由 得，所以原不等式成立（2）證明 （）任取x1,x2(-1,+), 不妨設(shè)x1x2

30、,則x2-x10,由于a1,a1且a0, a-a=a (a-1)0. 又x1+10,x2+10,-=0,于是f(x2)-f(x1)=a-a+-0, 故函數(shù)f(x)在(-1,+）上為增函數(shù).（）方法一 假設(shè)存在x00 (x0-1)滿足f(x0)=0, 則a=-. a1,0a1,0-1,即x02， 與假設(shè)x00相矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.方法二 假設(shè)存在x00 (x0-1)滿足f(x0)=0, 若-1x00，則-2,a1,f(x0)-1,與f(x0)=0矛盾.若x0-1,則0,a0, f(x0)0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）用綜合法證明時(shí)難找到突

31、破口，解題受阻；（2）分析法是尋找使不等式成立的充分條件，最后要充分說(shuō)明推出的結(jié)論為什么成立（2）不是把求證結(jié)論的反面作為條件證題（2）不寫明與什么相矛盾變式與引申3： 已知數(shù)列an中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=(n=1,2,),求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.題型四： 數(shù)學(xué)歸納法例4 已知函數(shù)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：（），且.（1）求、的值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：當(dāng)時(shí)，有.【解】（1）由及計(jì)算得：，（2）

32、（）即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立. （）假設(shè)結(jié)論對(duì)（）成立，即.，函數(shù)在上遞增，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.由（）（）知，不等式對(duì)一切都成立.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）得：，.又由得：，且.【易錯(cuò)點(diǎn)】 在證明結(jié)論成立時(shí)，不用數(shù)學(xué)歸納法，不按要求做題.變式與引申4： 已知函數(shù)（1）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且，已知a1 = 4，求證：an 2n + 2；（3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說(shuō)明你的理由 本節(jié)主要考查：（1）知識(shí)點(diǎn)有：歸納推理、類比推理兩種合情推理和演繹推理；直接證明與間接證明（2）推理滲透在每個(gè)高考試題中，證明是推理

33、的一種形式，有的問(wèn)題需要很強(qiáng)的推理論證能力和技巧推理問(wèn)題常常以探索性命題的方式出現(xiàn)在高考題中；（3）常見的論證方法有：綜合法、分析法及反證法等點(diǎn)評(píng)：（1）歸納猜想是一種重要的思維方法，是對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，然后提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，是由部分到整理，由個(gè)別到一般的推理；結(jié)果的正確性還需進(jìn)一步論證，一般地，考查的個(gè)體越多，歸納出的結(jié)論可靠性越大（2）類比的關(guān)健是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某些一致性確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚，在學(xué)習(xí)中要注意通過(guò)類比去發(fā)現(xiàn)探索新問(wèn)題（3）綜合法的特點(diǎn)是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實(shí)際上是尋找使問(wèn)題成立的

34、必要條件，是一個(gè)由因?qū)Ч倪^(guò)程；分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”逐步靠攏“已知”，即尋找使問(wèn)題成立的充分條件，是一個(gè)執(zhí)果索因的過(guò)程（4）一般來(lái)說(shuō)：分析法有兩種證明途徑：由命題結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件，逐步推導(dǎo)下去；由命題結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充要條件，逐步推導(dǎo)下去（5）反證法在高考中的要求不高，但這種“正難則反”的思維方式值得重視，解決問(wèn)題時(shí)要注意從多方面考慮，提高解決問(wèn)題的靈活性習(xí)題331將正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù)1；第二組含兩個(gè)數(shù)3，5；第三組含三個(gè)數(shù)7，9，11；第四組含四個(gè)數(shù)13，15，17，19；記第n組內(nèi)各數(shù)之和為Sn，則Sn與n的關(guān)

35、系為 ( )ASnn2BSnn3CSn2n1DSn3n12為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息設(shè)定原信息為（），傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，例如原信息為111，則傳輸信息為01111傳輸信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列三個(gè)接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有誤的是 （填序號(hào)）3設(shè)滿足且，求證：是周期函數(shù)圖4如圖所示，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PMBB1交AA1于點(diǎn)M，PNBB1交CC1于點(diǎn)N.（1）求證：CC1MN；（2）在任意DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2

36、2DFEFcosDFE拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明5已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）（1）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，試比較與的大小，并予以證明第四節(jié) 不等式選講 不等式選講是一個(gè)選考內(nèi)容,縱觀近年關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的高考試題,含絕對(duì)值不等式的試題常以選做題的形式出現(xiàn),屬于中檔偏易題.最值與恒成立問(wèn)題是高考的?？键c(diǎn),不等式的證明常與數(shù)列相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等技能方法,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度一般控制在之間. 考試要求：理解絕對(duì)值及其幾何意義. 絕對(duì)值不等式的變式：. 利用絕對(duì)

37、值的幾何意義求解幾類不等式：；.了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法；了解柯西不等式：若，則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).題型一 含絕對(duì)值不等式例 (2009山東卷第13題)不等式的解集為 .對(duì)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)與,當(dāng)時(shí),不等式與的解集分別為、,則與的關(guān)系是( ). A. B. C. D.與的關(guān)系無(wú)法確定點(diǎn)撥：此不等式左邊含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，可考慮采用零點(diǎn)分段法,即令每一項(xiàng)都等于,得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn),然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式,最后應(yīng)求出解集的并集. 仔細(xì)觀察兩不等式左邊的結(jié)構(gòu),聯(lián)想到絕對(duì)值不等式,便把問(wèn)題簡(jiǎn)化.解：原不等式等價(jià)于不等式組或或不等式組無(wú)解,

38、由得,由得,綜上得,所以原不等式的解集為.答案: .由知,使成立的的每個(gè)值,必可使成立,即中的每個(gè)元素都在中,故,選C.易錯(cuò)點(diǎn)：含有多項(xiàng)絕對(duì)值的不等式的轉(zhuǎn)化易出錯(cuò)；不會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想,去掉絕對(duì)值符號(hào). 含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)不能正確轉(zhuǎn)化.變式與引申： (2010年黑龍江省哈爾濱三中等四校三模)已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型二 不等式的性質(zhì)例.(2010年四川卷第12題)設(shè)，則的最小值是( ). A. B. C. D.設(shè)且,求的最大值.點(diǎn)撥：觀察分母能發(fā)現(xiàn)其和為,則已知可配湊成,再利用基本不等式求解；觀察已知條件,可將所求式子轉(zhuǎn)化為,再利用基本不等式求解.【答案

39、】B 解：.當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,如取,滿足條件.（2）,.又,即易錯(cuò)點(diǎn)：忽視基本不等式求最值時(shí)的“一正、二定、三相等”條件.變式與引申2：已知,且,求證:.題型三 不等式的證明例3 已知,且,求證：.點(diǎn)撥：由,得,.可使問(wèn)題得證；也可運(yùn)用柯西不等式證明. 解法1： ,. 解法2：由柯西不等式,得,.易錯(cuò)點(diǎn)：易出現(xiàn)的錯(cuò)誤；忽視基本不等式中等號(hào)成立的條件.變式與引申3： ，求證：.題型四 不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用例已知函數(shù).當(dāng)時(shí).求證：；若,則當(dāng)時(shí),求證：.點(diǎn)撥：本題中所給條件并不足以確定參數(shù),的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值,而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”,因此,我們可以用 、來(lái)表示

40、,因?yàn)橛梢阎獥l件有,可使問(wèn)題獲證.解： (1) 證明：由，從而有,(2)由,.從而 ,將以上三式代入，并整理得,.易錯(cuò)點(diǎn)：不會(huì)用、來(lái)表示、及其它們的和差關(guān)系式,從而解題思路受阻；不能靈活運(yùn)用絕對(duì)值,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；運(yùn)用放縮法時(shí)的放縮程度把握不住.變式與引申4：設(shè)函數(shù),若當(dāng)時(shí),恒成立,求證：；當(dāng)時(shí),. 本節(jié)主要考查：不等式的性質(zhì)(基本不等式與柯西不等式)應(yīng)用；含絕對(duì)值不等式的解法； 逆求參數(shù)取值范圍；數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的不等式問(wèn)題； 函數(shù)方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想以及比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和放縮法等數(shù)學(xué)思想方法. 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用不等式性質(zhì)解有關(guān)問(wèn)題時(shí),要隨時(shí)對(duì)性質(zhì)成立的條

41、件保持高度警惕,避免錯(cuò)誤發(fā)生； 應(yīng)用絕對(duì)值不等式解題時(shí),要注意絕對(duì)值不等式中等號(hào)成立的條件；解含絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào),主要思路有：利用絕對(duì)值的幾何意義；零點(diǎn)分段討論；平方轉(zhuǎn)化；借助圖象直觀獲解. 利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式選講的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一,解題中常用技巧是注意創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件,合理地拆分項(xiàng)或配湊因式,即把已知式子轉(zhuǎn)化成基本不等式和柯西不等式的模型.在應(yīng)用求最值時(shí),“一正、二定、三相等”三個(gè)條件不可缺一. 證明不等式的常用方法： 比較法,即作差比較法與作商比較法；綜合法-由因?qū)Ч?；分析?執(zhí)果索因；數(shù)學(xué)歸納法,證明不等式時(shí)應(yīng)把握兩點(diǎn)：一是明確證題的關(guān)鍵是

42、第二步的證明,即運(yùn)用的歸納假設(shè)作為條件去推證時(shí)的命題成立.如果沒(méi)有運(yùn)用歸納假設(shè)條件,就直接證得結(jié)論那么這種證法就不是數(shù)學(xué)歸納法；二是注意明確時(shí)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征,以選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈプC明,若直接證明目標(biāo)式有困難,可借助其他輔助方法(放縮法、分析法等)去證明.放縮法,運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意觀察“放與縮”的方向和“放與縮”的量的大小,把握好放縮的“度”,熟記一些常用放縮技巧和放縮的結(jié)構(gòu)形式. 不等式作為工具,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何結(jié)合在一起,在高考中以綜合題形式出現(xiàn),應(yīng)給予關(guān)注.習(xí)題3-41（2009年重慶卷理第題）不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ).A. B. C. D.2(2008年山

43、東卷第16題）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有,則的取值范圍 .3.設(shè),是大于的常數(shù),若的最小值是,則的值等于_.4.求證：.5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(nN*).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在整數(shù)，使對(duì)任意nN*且n2,都有成立，求的最大值；（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：當(dāng)nN*且n2時(shí)，.第五節(jié) 數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用 數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也有很重要的地位，不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個(gè)突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法.數(shù)列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重. 近幾年，高考關(guān)于數(shù)列與不

44、等式的綜合應(yīng)用的命題趨勢(shì)是：（1）以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯（2）以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大題型一 數(shù)列中的不等關(guān)系例1（2008年四川卷理科第16題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值是 .【點(diǎn)撥】數(shù)列與不等式的小題，主要是運(yùn)用基本不等式、不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃等求范圍或最值本題明為數(shù)列，實(shí)為線性規(guī)劃，著力考查了轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合思想因

45、約束條件只有兩個(gè)，本題也可用不等式的方法求解【解法1】由題意，即，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出可行域（圖略），畫出目標(biāo)函數(shù)即直線，由圖知，當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最大值【解法2】前面同解法1設(shè)，由解得，由不等式的性質(zhì)得： ，即，的最大值是4【解法3】前面同解法1， ，即，的最大值是4【易錯(cuò)點(diǎn)】一方面得出不等式組，之后不知如何運(yùn)用；另一方面用線性規(guī)劃求最值時(shí)，用錯(cuò)點(diǎn)的坐標(biāo)變式與引申1： 等比數(shù)列的公比，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使恒成立的正整數(shù)的取值范圍 設(shè)若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（ ） A8 B4 C2 D1題型二 數(shù)列、函數(shù)與不等式例2 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（1）

46、設(shè)，證明：；（2）設(shè)（1）中的數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明【點(diǎn)撥】數(shù)列參與的不等式的證明問(wèn)題常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法證明；(3)放縮法，利用迭代法、累加法、累乘法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮.【解】（1）由條件知 故（2）由（1）的過(guò)程可知，.【易錯(cuò)點(diǎn)】不易找出放縮的方法，從而無(wú)法證明放縮法中通過(guò)對(duì)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的變式與引申2： 已知數(shù)列中，.（1）求；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，求證當(dāng)時(shí)，有.題型三 數(shù)列與不等式的探索性問(wèn)題例3（2008年湖北卷理科第21題）已知數(shù)列和滿足：，其中為實(shí)數(shù)，

47、為正整數(shù).（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.【點(diǎn)撥】數(shù)列與不等式中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.也可直接推理判斷是否存在.【解】（1）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有a22=a1a3, 即矛盾.

48、所以an不是等比數(shù)列.(2)因?yàn)閎n+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=又,所以 當(dāng)，,此時(shí)不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，,由上可知bn0，(nN+).故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(3)由（2）知，當(dāng),不滿足題目要求.，故知，于是可得要使aSnb對(duì)任意正整數(shù)n成立，即 (nN+) 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,于是，當(dāng)a3a存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有aSnb,且的取值范圍是.【易錯(cuò)點(diǎn)】證明（2）時(shí)容易丟失這種情況；含的問(wèn)題要對(duì)n分奇偶兩

49、種情況討論變式與引申3：（2009年四川卷文科第22題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記.（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有.題型三 數(shù)列、解幾與不等式例4（2010年安徽卷文科第21題）設(shè)C1， C2， Cn，是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n ，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知rn 為遞增數(shù)列.(1)證明：rn 為等比數(shù)列；(2)設(shè)r1=1，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【點(diǎn)

50、撥】本題明是對(duì)等比數(shù)列的概念及數(shù)列求和的方法的考查，實(shí)是對(duì)數(shù)形結(jié)合及解析法的深層次的考查要求學(xué)生把相關(guān)知識(shí)方法融合，分析題意，找出解決問(wèn)題的路徑，進(jìn)行正確的推理與運(yùn)算，簡(jiǎn)潔明了的表述過(guò)程與結(jié)果【解】（1）將直線的傾斜角記為，則有設(shè)的圓心為，則由題意得知，得，同理可得：從而，又，rn 為公比為3的等比數(shù)列（2）由于，從而，記，則有 兩式相減得： 【易錯(cuò)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法及找出及之間的關(guān)系不易建立，要充分利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題答圖變式與引申4： 如圖，已知曲線從C上的點(diǎn)作x軸的垂線，交于點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)作y軸的垂線，交C于點(diǎn)設(shè)，（1）求點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo)；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證

51、：.本節(jié)主要考查：數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用，此類題型主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能.點(diǎn)評(píng)數(shù)列與不等式作為高中數(shù)學(xué)代數(shù)的兩大核心內(nèi)容，其在高考試卷中處于的核心地位，數(shù)列與不等式的綜合是高考的重中之重，有數(shù)列與不等式的主要交匯，有不等式與函數(shù)的重點(diǎn)交叉，數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出當(dāng)這些兩者甚至三者交匯結(jié)合在一起的時(shí)候，問(wèn)題會(huì)變得非常的靈活，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)

52、題的能力，計(jì)算能力以及數(shù)學(xué)的思想和方法、數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有較高的要求（1）試題主要考查知識(shí)重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學(xué)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.此類題型主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能（2）求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：（1）建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關(guān)系確定最值（3）探索型問(wèn)題常常需

53、要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或探索滿足某些條件的對(duì)象是否存在，問(wèn)題增加了許多可變因素，思維指向不明顯探索型問(wèn)題有：（1）猜想型，即結(jié)論未給出，解題時(shí)需要首選探索結(jié)論，然后再加以證明；（2）判斷型，即判定符合某種條件的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在或其結(jié)論是否成立，解題時(shí)常先假設(shè)存在，然后求出或?qū)С雒?（4） 數(shù)列中的不等式問(wèn)題，一般有放縮，構(gòu)造函數(shù)這兩類常見的方法用放縮法證明不等式有：（1）利用迭代法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮；（2）利用累加法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮；（3）利用累乘法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮； （5）利用可求和的新數(shù)列構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮而放縮主要是把數(shù)列的通項(xiàng)放縮為一個(gè)可求和的數(shù)列，如放縮為等比、等差或可裂

54、項(xiàng)求和的數(shù)列習(xí)題351 (湖北省武漢市六校2010屆高三第一次聯(lián)考)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，2.71828）和任意正整數(shù)，小于的最小正整數(shù)為 （ ） A1 B2 C3 D42已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是_.3(2009年陜西卷理科第22題)已知數(shù)列滿足， .（1）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）證明：4已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng). （1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）求證：；（3）求證：.5已知，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足,.求證：（1）；（2）；（3）若，則當(dāng)時(shí)，有.第三講 測(cè)試卷 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（ ）A或5 B或5 C D2用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程有有理根，那么、中至少有一個(gè)是偶數(shù)下列假設(shè)中正確的是 （ ）A假設(shè)、都是偶數(shù) B假設(shè)、都不是偶數(shù)C假設(shè)、中至多有一個(gè)是偶數(shù) D假設(shè) 、中至多有兩個(gè)是偶數(shù)